移動平均モデル

時系列解析において、移動平均モデル（MAモデル）は移動平均プロセスとも呼ばれ、単変量時系列をモデル化する一般的なアプローチです。 ^{[1] [2]}移動平均モデルは、出力変数がそれ自身と同一ではないランダム変数と 相互相関していることを指定します。

自己回帰（AR）モデルとともに、移動平均モデルは、より複雑な確率構造を持つ時系列のより一般的なARMAモデルとARIMAモデル^[3]の特殊なケースであり、重要な構成要素です。ARモデルとは対照的に、有限MAモデルは常に定常です。

移動平均モデルは、いくつかの類似点があるものの、異なる概念である移動平均と混同しないでください。 ^[1]

MA( q )という表記は、次数qの移動平均モデルを表します。

${\displaystyle X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\theta _{1}\varepsilon _{t-1}+\cdots +\theta _{q}\varepsilon _{tq}=\mu +\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{ti}+\varepsilon _{t},}$

ここで、は級数の平均、はモデルの係数^{[例が必要]}、は誤差項です。qの値はMAモデルの次数と呼ばれます。これは、バックシフト演算子Bを使用して次のように同等に記述できます^[4]${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \theta _{1},...,\theta _{q}}$${\displaystyle \varepsilon _{t},\varepsilon _{t-1},...,\varepsilon _{tq}}$

${\displaystyle X_{t}=\mu +(1+\theta _{1}B+\cdots +\theta _{q}B^{q})\varepsilon _{t}.}$

したがって、移動平均モデルは、概念的には、系列の現在の値と、現在および以前の（観測された）ホワイト ノイズ エラー項またはランダム ショックとの線形回帰です。各ポイントでのランダム ショックは、相互に独立しており、ゼロの位置と一定のスケールを持つ同じ分布（通常は正規分布）から発生するものと想定されます。

移動平均モデルは、本質的には白色ノイズに適用される有限インパルス応答フィルタであり、それに何らかの追加の解釈が加えられています。^{[説明が必要]} MA モデルにおけるランダムショックの役割は、自己回帰 (AR) モデルにおけるその役割とは 2 つの点で異なります。第 1 に、それらは時系列の将来の値に直接伝播されます。たとえば、 については、 は方程式の右側に直接現れます。対照的に、AR モデルでは、 は方程式の右側には現れませんが、方程式の右側には現れ、 は方程式の右側に現れ、 に対する の間接的な影響のみを与えます。第 2 に、MA モデルでは、ショックによる影響は現在の期間と将来q期間のみに及びます。対照的に、AR モデルでは、ショックによる影響は無限に遠い将来まで及びます。これは、 が に影響し、 が に影響し、 が に影響し、 が に影響し、というように永遠に影響が続くためです( 「インパルス応答」を参照)。 ${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle X_{t-1}}$${\displaystyle X_{t-1}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varepsilon _{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle X_{t+1}}$${\displaystyle X_{t+2}}$

移動平均モデルのフィッティングは、一般的に自己回帰モデルのフィッティングよりも複雑です。^[5]これは、遅延誤差項が観測できないためです。つまり、線形最小二乗法の代わりに反復非線形フィッティング手順を使用する必要があります。移動平均モデルは過去のホワイトノイズ項の線形結合ですが、自己回帰モデルは過去の時系列値の線形結合です。^[6] ARMAモデルは、自己回帰と移動平均の両方の要素を組み合わせているため、純粋なARモデルやMAモデルよりも複雑です。^[5]

MA( q ) プロセスの自己相関関数( ACF)は、ラグq + 1 以上ではゼロになります。したがって、サンプルの自己相関関数を調べて、特定のラグ (最大ラグqとして指定) を超えるすべてのラグでゼロと有意に異ならなくなる場所を特定することで、推定に適切な最大ラグを決定します。

ACF と部分自己相関関数(PACF) によって、MA モデルの方が適切なモデル選択であることが示唆される場合もあれば、同じモデルで AR 項と MA 項の両方を使用する必要がある場合もあります ( Box–Jenkins 法を参照)。

自己回帰和分移動平均（ARIMA）モデルは、セグメント回帰の代替であり、移動平均モデルの適合にも使用できます。^[7]

• 自己回帰移動平均モデル
• 自己回帰積分移動平均
• 自己回帰モデル
• 有限インパルス応答
• 無限インパルス応答

• エンダース、ウォルター (2004)。「定常時系列モデル」。応用計量時系列(第 2 版)。ニューヨーク: ワイリー。pp. 48–107。ISBN 0-471-45173-8。

• 単変量時系列への一般的なアプローチ

 この記事には、国立標準技術研究所の パブリックドメイン資料が組み込まれています。