三重相関

実数直線上の通常の関数の三重相関は、その関数とそれ自身の 2 つの独立にシフトしたコピーの積の積分です。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f^{*}(x)f(x+s_{1})f(x+s_{2})dx.}$

三重相関のフーリエ変換はバイスペクトルです。三重相関は自己相関の概念を拡張したもので、関数をそれ自体の単一のシフトされたコピーと相関させ、それによって潜在的な周期性を強化します。

三重相関の理論は、非ガウスランダム過程のキュムラント構造を調べる統計学者によって最初に研究されました。また、物理学者によってレーザー光線の分光法のツールとして独立に研究されました。1963 年に Hideya Gamo はレーザー光線の三重相関を測定する装置について説明し、また、位相情報をバイスペクトルの実部から (符号反転と線形オフセットまで) 回復する方法を示しました。しかし、Gamo の方法では、暗黙的にフーリエ変換がどの周波数でもゼロにならないことが要求されます。この要件は、Yellott と Iverson (1992) の研究によって緩和され、三重 (および高次) 相関によって一意に識別されることが知られている関数のクラスが大幅に拡張されました。Yellott と Iverson は、三重相関とBela Juleszによって提案された視覚テクスチャ識別理論との関係も指摘しました。

三重相関法は、信号処理において、加法性ホワイトガウスノイズによって破損した信号を処理する場合によく使用されます。特に、三重相関技術は、信号の複数の観測値が利用可能で、観測間で信号が移動する可能性がある場合 (たとえば、ノイズの多い背景上で移動するオブジェクトの一連の画像) に適しています。このようなタスクに三重相関が特に役立つのは、次の 3 つの特性があるためです。(1) 基になる信号の変換に対して不変である。(2) 加法性ガウスノイズに対して偏りがない。(3) 基になる信号の関連する位相情報のほぼすべてを保持する。三重相関の特性 (1) ～ (3) は、多くの場合、任意の局所コンパクト群上の関数、特にコンピュータービジョンや信号処理で生じるユークリッド空間の回転と剛体運動の群に拡張されます。

三重相関は、群の左不変ハール測度を使用することにより、任意の局所コンパクト群に対して定義できます。結果として得られるオブジェクトは、基礎となる関数の左平行移動に対して不変であり、加法的なガウスノイズに対して偏りがないことは簡単に示されます。さらに興味深いのは、一意性の問題です。2 つの関数が同じ三重相関を持つ場合、それらの関数はどのように関連しているのでしょうか。実用的な関心のある多くの場合、抽象群上の関数の三重相関は、単一の未知の群作用まで、その関数を一意に識別します。この一意性は、ポンチャギン双対定理、タナカ–クライン双対定理、および岩堀–杉浦と辰馬の関連する結果に依存する数学的結果です。帯域制限された関数をユークリッド空間上の三重相関から回復するアルゴリズムや、2 次元と 3 次元の回転群から回復するアルゴリズムが存在します。ウィーナーのタウバー定理との興味深いつながりもあります。つまり、 （ここで は局所コンパクトアーベル群）において変換が稠密である任意の関数は、その三重相関によっても一意に識別されます。 ${\displaystyle L_{1}(G)}$${\displaystyle G}$

• K. Hasselman、W. Munk、G. MacDonald (1963)、「海洋波のバイスペクトル」、Time Series Analysis、M. Rosenblatt 編、ニューヨーク: Wiley、125-139 ページ。
• Gamo, H. (1963). 「分光ツールとしての光電変動の三重相関器」。応用物理学ジャーナル。34 ( 4): 875–876。Bibcode : 1963JAP ....34..875G。doi : 10.1063/1.1729553。
• Yellott, J.; Iverson, GJ (1992). 「高次自己相関関数の一意性特性」Journal of the Optical Society of America A . 9 (3): 388. Bibcode :1992JOSAA...9..388Y. doi :10.1364/JOSAA.9.000388.
• R. Kakarala (1992) 「群上の三重相関」、博士論文、カリフォルニア大学アーバイン校数学科。
• R. Kondor (2007)、「画像の回転および並進不変特徴の完全なセット」、arXiv :cs/0701127