光学的自己相関

光学では、さまざまな自己相関関数を実験的に実現できます。フィールド自己相関は光源のスペクトルを計算するために使用できますが、強度自己相関と干渉自己相関は、モードロックレーザーによって生成される超短パルスの持続時間を推定するために一般的に使用されます。フォトダイオードとオシロスコープの応答時間はせいぜい 200フェムト秒のオーダーであるため、レーザーパルスの持続時間は光電子的方法では簡単に測定できませんが、レーザーパルスは数フェムト秒まで短くすることができます。

以下の例では、自己相関信号は第二高調波発生（SHG）の非線形プロセスによって生成されます。自己相関測定には、 2光子吸収に基づく他の技術も使用できます。^[1]また、第三高調波発生などの高次非線形光学プロセスも使用できます。この場合、信号の数学的表現はわずかに変更されますが、自己相関トレースの基本的な解釈は同じです。干渉計による自己相関に関する詳細な説明は、いくつかの有名な教科書に記載されています。^{[2] [3]}

複素電場の場合、場の自己相関関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle E(t)}$

${\displaystyle A(\tau )=\int _{-\infty }^{+\infty }E(t)E^{*}(t-\tau )dt}$

ウィーナー・ヒンチンの定理によれば、場の自己相関のフーリエ変換は のスペクトル、つまりのフーリエ変換の大きさの二乗になります。その結果、場の自己相関はスペクトル位相の影響を受けません。 ${\displaystyle E(t)}$${\displaystyle E(t)}$

電界の自己相関は、マイケルソン干渉計の出力に低速検出器を配置することで実験的に簡単に測定できます。^[4] 検出器は、一方のアームからの入力電界と、もう一方のアームからの遅延されたレプリカによって照射されます。検出器の時間応答が信号の持続時間よりもはるかに大きい場合、または記録された信号が積分されている場合、検出器は遅延がスキャンされるときに強度を測定します。 ${\displaystyle E(t)}$${\displaystyle E(t-\tau )}$${\displaystyle E(t)}$${\displaystyle I_{M}}$${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle I_{M}(\tau )=\int _{-\infty }^{+\infty }|E(t)+E(t-\tau )|^{2}dt}$

を展開すると、項の 1 つが であることが明らかになり、マイケルソン干渉計を使用して場の自己相関、つまり のスペクトル (および のスペクトルのみ) を測定できることが証明されます。この原理は、フーリエ変換分光法の基礎となります。 ${\displaystyle I_{M}(\tau )}$${\displaystyle A(\tau )}$${\displaystyle E(t)}$

複素電場には強度と強度自己相関関数が対応しており、これは次のように定義される。 ${\displaystyle E(t)}$${\displaystyle I(t)=|E(t)|^{2}}$

${\displaystyle A(\tau )=\int _{-\infty }^{+\infty }I(t)I(t-\tau )dt}$

強度自己相関の光学的な実装は、フィールド自己相関の場合ほど単純ではありません。前の設定と同様に、可変遅延の2つの平行ビームが生成され、第2高調波発生結晶（非線形光学を参照）に焦点が当てられ、に比例する信号が得られます。光軸上を伝播するビームのみがクロス積に比例し、保持されます。この信号は、低速検出器によって記録され、測定されます。 ${\displaystyle (E(t)+E(t-\tau ))^{2}}$${\displaystyle E(t)E(t-\tau )}$

${\displaystyle I_{M}(\tau )=\int _{-\infty }^{+\infty }|E(t)E(t-\tau )|^{2}dt=\int _{-\infty }^{+\infty }I(t)I(t-\tau )dt}$

${\displaystyle I_{M}(\tau )}$まさに強度の自己相関です。 ${\displaystyle A(\tau )}$

結晶内での第二高調波の生成は、以前の設定とは異なり、高いピークパワーを必要とする非線形プロセスです。しかし、そのような高いピークパワーは、超短パルスによって限られた量のエネルギーから得られるため、その結果、その強度の自己相関が実験的に測定されることがよくあります。この設定のもう 1 つの難点は、第二高調波を生成するために 遅延をスキャンするときに、両方のビームを結晶内の同じポイントに焦点を合わせる必要があることです。

パルスの強度自己相関幅は強度幅と関連していることが示されています。ガウス時間プロファイルの場合、自己相関幅は強度の幅よりも長く、双曲正弦二乗 (sech ² ) パルスの場合は 1.54 長くなります。パルスの形状に依存するこの数値係数は、デコンボリューション係数と呼ばれることもあります。この係数が既知または想定される場合、強度自己相関を使用してパルスの時間持続時間 (強度幅) を測定できます。ただし、位相は測定できません。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

前述の2つのケースを組み合わせると、非線形結晶を使用して、共線配置でマイケルソン干渉計の出力で第2高調波を生成することができます。この場合、低速検出器によって記録された信号は

${\displaystyle I_{M}(\tau )=\int _{-\infty }^{+\infty }|(E(t)+E(t-\tau ))^{2}|^{2}dt}$

${\displaystyle I_{M}(\tau )}$これは干渉自己相関と呼ばれる。これはパルスの位相に関する情報を含んでいる。自己相関トレースの縞はスペクトル位相が複雑になるにつれて消えていく。^[5]

光学系の光学伝達関数 T ( w )は、瞳関数 f ( x , y )の自己相関によって与えられる。

${\displaystyle T(w)={\frac {\int _{w/2}^{1}\int _{0}^{\sqrt {1-x^{2}}}f(x,y)f^{*}(xw,y)dydx}{\int _{0}^{1}\int _{0}^{\sqrt {1-x^{2}}}f(x,y)^{2}dydx}}}$

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