偏自己相関関数

時系列分析において、偏自己相関関数( PACF )は、定常時系列とその独自の遅延値との部分相関を示し、すべての短い遅延における時系列の値を回帰します。これは、他の遅延を制御しない 自己相関関数とは対照的です。

この関数は、自己回帰 (AR) モデルにおけるラグの範囲を特定することを目的としたデータ分析において重要な役割を果たします。この関数の使用は、時系列モデリングに対するBox–Jenkinsアプローチの一部として導入されました。これにより、偏自己相関関数をプロットすることで、AR ( p )モデルまたは拡張ARIMA ( p、d、q ) モデルにおける適切なラグp を決定できます。

時系列 が与えられた場合、ラグ の偏自己相関 は、からまでのの線形依存性を除いた と の間の自己相関です。同様に、 から までのラグ (両端を含む) によって説明されない と の間の自己相関です。[ 1 ]ここで、^とはそれぞれとの平均二乗誤差を最小化するの線形結合です。定常プロセスの場合、との係数は同じですが、逆になります。^[2]${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \phi _{k,k}}$${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle z_{t+k}}$${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle z_{t+1}}$${\displaystyle z_{t+k-1}}$${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle z_{t+k}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle k-1}$$${\displaystyle \phi _{1,1}=\operatorname {corr} (z_{t+1},z_{t}),{\text{ for }}k=1,}$$$${\displaystyle \phi _{k,k}=\operatorname {corr} (z_{t+k}-{\hat {z}}_{t+k},\,z_{t}-{\hat {z}}_{t}),{\text{ for }}k\geq 2,}$$${\displaystyle {\hat {z}}_{t+k}}$${\displaystyle {\hat {z}}_{t}}$${\displaystyle \{z_{t+1},z_{t+2},...,z_{t+k-1}\}}$${\displaystyle z_{t+k}}$${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle {\hat {z}}_{t+k}}$${\displaystyle {\hat {z}}_{t}}$ $${\displaystyle {\hat {z}}_{t+k}=\beta _{1}z_{t+k-1}+\cdots +\beta _{k-1}z_{t+1}\qquad {\text{and}}\qquad {\hat {z}}_{t}=\beta _{1}z_{t+1}+\cdots +\beta _{k-1}z_{t+k-1}.}$$

定常時系列の理論的な偏自己相関関数は、ダービン・レビンソンアルゴリズムを使用して計算できます。ここで、は自己相関関数です。^{[3] [4] [5]}$${\displaystyle \phi _{n,n}={\frac {\rho (n)-\sum _{k=1}^{n-1}\phi _{n-1,k}\rho (n-k)}{1-\sum _{k=1}^{n-1}\phi _{n-1,k}\rho (k)}}}$$${\displaystyle \phi _{n,k}=\phi _{n-1,k}-\phi _{n,n}\phi _{n-1,n-k}}$${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$${\displaystyle \rho (n)}$

上記の式は、標本自己相関関数と組み合わせて、任意の時系列の標本部分自己相関関数を求めるために使用できます。^{[6] [7]}

次の表は、さまざまなモデルの偏自己相関関数をまとめたものである。^{[5] [8]}

偏自己相関関数の挙動は、自己回帰モデルや移動平均モデルの自己相関関数の挙動とよく似ています。たとえば、AR( p ) 系列の偏自己相関関数は、ラグqの MA( q ) 系列の自己相関関数と同様に、ラグpの後に停止します。さらに、AR( p ) プロセスの自己相関関数は、MA( q ) プロセスの部分自己相関関数と同様に減少します。^[2]

偏自己相関は、自己回帰モデルの次数を識別するためによく使用されるツールです。^[6]前述のように、AR( p )プロセスの偏自己相関は、 pより大きいラグではゼロになります。^{[5] [8]} ARモデルが適切であると判断された場合、サンプルの偏自己相関プロットを調べて次数を特定します。

AR( p ) 時系列のpより大きいラグの偏自己相関は、ほぼ独立しており、平均0で正規分布しています。^[9]したがって、信頼区間は、選択したz スコアを で割ることで構築できます。信頼区間外の偏自己相関を持つラグは、AR モデルの次数がラグ以上である可能性が高いことを示しています。偏自己相関関数をプロットし、信頼区間の線を引くことは、AR モデルの次数を分析する一般的な方法です。次数を評価するには、プロットを調べて、偏自己相関がすべて信頼区間内になるラグを見つけます。このラグは、AR モデルの次数である可能性が高いと判断されます。^[1]${\displaystyle {\sqrt {n}}}$