ピリオドグラム

信号処理において、ピリオドグラムは信号のスペクトル密度の推定値です。この用語は、1898年にアーサー・シュスターによって造られました。 ^[1]今日、ピリオドグラムはより洗練された方法の構成要素です（スペクトル推定を参照）。これは、 FIRフィルターとウィンドウ関数の振幅対周波数特性を調べるための最も一般的なツールです。FFT スペクトルアナライザーも、ピリオドグラムの時系列として実装されています。

現在、少なくとも 2 つの異なる定義が使用されています。^[2] 1 つは時間平均を含み、^[3]もう 1 つは含みません。^[4]時間平均は他の記事でも取り上げられています ( Bartlett 法とWelch 法)。この記事は時間平均についてのものではありません。ここで興味深い定義は、連続関数のパワー スペクトル密度は、その自己相関関数のフーリエ変換  であるというものです(相互相関定理、スペクトル密度、およびWiener–Khinchin 定理を参照)。 ${\displaystyle x(t),}$$${\displaystyle {\mathcal {F}}\{x(t)\circledast x^{*}(-t)\}=X(f)\cdot X^{*}(f)=\left|X(f)\right|^{2}.}$$

パラメータTの値が十分に小さい場合、  関数の 領域で  X ( f )の任意の正確な近似値を観察することができます。${\displaystyle -{\tfrac {1}{2T}}<f<{\tfrac {1}{2T}}}$

$${\displaystyle X_{1/T}(f)\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(fk/T\right),}$$

これはx ( t )の非ゼロ期間にわたるサンプルx ( nT )によって正確に決定されます  （離散時間フーリエ変換を参照）。

また、パラメータNの値が十分に大きい場合、  次の形式の合計によって任意に近い周波数で評価できます。 ${\displaystyle X_{1/T}(f)}$

$${\displaystyle X_{1/T}\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot x(nT)} _{x[n]}\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}},}$$

ここで、k は整数です。 の周期性  により、これは離散フーリエ変換  で非常に簡単に記述できます。 ${\displaystyle e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}}$

$${\displaystyle X_{1/T}\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\underbrace {\sum _{n}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}},} _{\text{DFT}}\quad \scriptstyle {{\text{(長さ }}N の任意の }}n{\text{-シーケンスの合計)},}$$

ここで、周期的な合計は次のようになります。  ${\displaystyle x_{_{N}}}$${\displaystyle x_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN].}$

0からN -1までのすべての整数kについて評価すると、配列は ピリオドグラム となる。^{[4] [5] [6]}$${\displaystyle S\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\left|\sum _{n}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}\right|^{2}}$$

ピリオドグラムをFIRフィルタまたはウィンドウ関数の詳細な特性を調べるために使用する場合、パラメータNはx [ n ]シーケンス の非ゼロ持続時間の複数の倍数になるように選択され、これをゼロパディングと呼びます（§ DTFTのサンプリングを参照）。^[A]フィルタバンクの  実装に使用する場合、Nはx [ n ]シーケンスの非ゼロ持続時間の複数の約数になります（§ DTFTのサンプリングを参照）。

ピリオドグラムの欠点の 1 つは、計算に使用されるサンプル数が増えても、特定の周波数での分散が減少しないことです。ノイズのような信号や、信号対ノイズ比が低い正弦波を分析するために必要な平均化は提供されません。ウィンドウ関数とフィルターのインパルス応答はノイズがありませんが、他の多くの信号では、より高度なスペクトル推定方法が必要です。代替方法のうち 2 つは、プロセスの一部としてピリオドグラムを使用します。

• 平均ピリオドグラム法[ ^8]は、ウェルチ法^{[9] [10]}  としてよく知られており、  長いx[n]シーケンスを複数の短い、場合によっては重複するサブシーケンスに分割します。各サブシーケンスのウィンドウ化されたピリオドグラムを計算し、配列平均、つまり各要素がすべてのピリオドグラムの対応する要素の平均である配列を計算します。定常プロセスの場合、これにより各要素のノイズ分散が、ピリオドグラムの数の逆数にほぼ等しい係数で減少します。
• 平滑化は時間ではなく周波数で平均化する手法である。平滑化されたピリオドグラムはスペクトルプロットと呼ばれることもある。^{[11] [12]}

ピリオドグラムベースの手法では、一部のアプリケーションでは許容できない小さなバイアスが発生します。ピリオドグラムに依存しない他の手法については、スペクトル密度推定の記事で紹介されています。

• マッチしたフィルタ
• フィルタ逆投影（ラドン変換）
• ウェルチ法
• バートレット法
• 離散時間フーリエ変換
• 最小二乗スペクトル解析、等間隔でないデータのピリオドグラムを計算する
• 人気のパラメトリック超解像法である多重信号分類（MUSIC）
• サム