平均値は同じだが分散が異なる2つの母集団からのサンプルの例。赤色の母集団は平均μ = 100σ 2 = 100σ = 10μ = 100σ 2 = 2500σ = 50 確率論 と統計学 において、分散は ばらつき の尺度であり、つまり、一連の数値が平均値からどれだけばらついているかを示す尺度です。これは、確率変数 の平均からの偏差 の二乗の期待値 として定義されます。標準偏差 は分散の平方根です。厳密には、これは分布 の2次中心モーメント であり、確率変数とそれ自身との共分散で あり、多くの場合、で表されます。 σ 2 \displaystyle \sigma ^{2}} s 2 s² バラ （ X ） {\displaystyle \operatorname {Var} (X)} V （ X ） {\displaystyle V(X)} V （ X ） {\displaystyle \mathbb {V} (X)} [ 1 ]
分散をばらつきの尺度として用いる利点は、期待絶対偏差 などの他のばらつきの尺度よりも代数的な操作が容易であることです。例えば、無相関の確率変数の和の分散は、それぞれの分散の和に等しくなります。実用的な応用において分散が不利な点は、標準偏差とは異なり、その単位が確率変数の単位と異なることです。そのため、計算が終わった後は、ばらつきの尺度として標準偏差が報告されるのが一般的です。また、多くの分布において分散が有限ではないことも不利な点です。
「分散」と呼ばれる概念には、大きく分けて2種類あります。1つは、前述のように、理論的な確率分布 の一部であり、方程式で定義されます。もう1つは、観測値の集合の特性です。観測値から分散を計算する場合、それらの観測値は通常、実際のシステムから測定されます。システムのすべての観測値が存在する場合、計算された分散は母集団分散と呼ばれます。しかし、通常は一部の観測値しか得られず、そこから計算された分散は標本分散と呼ばれます。標本から計算された分散は、母集団全体の分散の推定値とみなされます。標本分散に基づいて母集団分散を推定する方法は複数あり、これについては後述します。
2種類の分散は密接に関連しています。その関係性を理解するために、理論的な確率分布を仮想的な観測値の生成器として使用できることを考えてみましょう。ある分布を用いて無限個の観測値を生成すると、その無限集合から計算された標本分散は、その分布の分散の式を用いて計算された値と一致します。分散は統計学において中心的な役割を果たしており、記述統計 、統計的推論 、仮説検定 、適合度 、モンテカルロサンプリング など、分散を用いる概念がいくつかあります。
任意の分布の分散の幾何学的可視化 (2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9):度数分布表が作成される。 分布の重心は、その分布の平均値を示す。 各値について、それぞれの値と平均値との差に等しい辺を持つ正方形が形成される。 正方形を、一辺が値の数n に等しい長方形に配置すると、もう一方の辺が分布の分散σ 2 になります。
意味 確率変数の分散X {\displaystyle X} は、平均からの二乗偏差 の期待値 です。 X {\displaystyle X} μ = E [ X ] {\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]} バラ （ X ） = E [ （ X − μ ） 2 ] 。 {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right].} この定義は、離散的 、連続的 、どちらでもない 、または混合的な プロセスによって生成される確率変数を包含します。分散は、確率変数とそれ自身との 共分散 と考えることもできます。バラ （ X ） = カバー （ X 、 X ） 。 {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {Cov} (X,X)。}
分散は、確率分布の2番目のキュムラントにも相当し 、 X {\displaystyle X} 。 バラ （ X ） {\displaystyle \operatorname {Var} (X)} V （ X ） {\displaystyle V(X)} V （ X ） {\displaystyle \mathbb {V} (X)} σ X 2 \displaystyle \sigma _{X}^{2}} または σ 2 \displaystyle \sigma ^{2}} シグマ 二乗」と発音します）。分散の式は次のように展開できます。 バラ （ X ） = E [ （ X − E [ X ] ） 2 ] = E [ X 2 − 2 X E [ X ] + E [ X ] 2 ] = E [ X 2 ] − 2 E [ X ] E [ X ] + E [ X ] 2 = E [ X 2 ] − 2 E [ X ] 2 + E [ X ] 2 = E [ X 2 ] − E [ X ] 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[{\left(X-\operatorname {E} [X]\right)}^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]^{2}+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}\end{aligned}}}
言い換えれば、 の分散は X {\displaystyle X} は の X {\displaystyle X} 平均値 値 X {\displaystyle X} この式は、浮動小数点演算 を用いた計算には使用しないでください。式の 2つの要素の大きさが似ている場合、致命的な打ち消し が発生するためです。数値的に安定した他の代替方法については、「分散を計算するためのアルゴリズム」を
絶対連続確率変数 ランダム変数X {\displaystyle X} 確率 密度関数 を持つf （ x ） {\displaystyle f(x)} F （ x ） {\displaystyle F(x)} 累積分布関数 であり、 バラ （ X ） = σ 2 = ∫ R （ x − μ ） 2 f （ x ） d x = ∫ R x 2 f （ x ） d x − 2 μ ∫ R x f （ x ） d x + μ 2 ∫ R f （ x ） d x = ∫ R x 2 d F （ x ） − 2 μ ∫ R x d F （ x ） + μ 2 ∫ R d F （ x ） = ∫ R x 2 d F （ x ） − 2 μ ⋅ μ + μ 2 ⋅ 1 = ∫ R x 2 d F （ x ） − μ 2 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}&=\int _{\mathbb {R} }{\left(x-\mu \right)}^{2}f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-2\mu \int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \int _{\mathbb {R} }x\,dF(x)+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }\,dF(x)\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \cdot \mu +\mu ^{2}\cdot 1\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-\mu ^{2},\end{aligned}}} バラ （ X ） = ∫ R x 2 f （ x ） d x − μ 2 、 {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-\mu ^{2},} μ {\displaystyle \mu } X {\displaystyle X} μ = ∫ R x f （ x ） d x = ∫ R x d F （ x ） 。 {\displaystyle \mu =\int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} }x\,dF(x).}
これらの式では、d x {\displaystyle dx} d F （ x ） {\displaystyle dF(x)} それぞれ、ルベーグ積分 とルベーグ・スティルチェス 積分である。
関数がx 2 f （ x ） {\displaystyle x^{2}f(x)} リーマン積分可能 である[ 1 、 b ] ⊂ R 、 {\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} ,} バラ （ X ） = ∫ − ∞ + ∞ x 2 f （ x ） d x − μ 2 、 {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)\,dx-\mu ^{2},} 広義リーマン積分 である。
例
指数分布 パラメータを持つ 分布 λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} は 確率密度関数は 次のように与えられる。 f （ x ） = λ e − λ x {\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}} [ 0, ∞)E [ X ] = ∫ 0 ∞ x λ e − λ x d x = 1 λ 。 {\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }x\lambda e^{-\lambda x}\,dx={\frac {1}{\lambda }}.}
部分積分法を 用い、既に計算済みの期待値を利用すると、次のようになります。 E [ X 2 ] = ∫ 0 ∞ x 2 λ e − λ x d x = [ − x 2 e − λ x ] 0 ∞ + ∫ 0 ∞ 2 x e − λ x d x = 0 + 2 λ E [ X ] = 2 λ 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{2}\right]&=\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx\\&={\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }2xe^{-\lambda x}\,dx\\&=0+{\frac {2}{\lambda }}\operatorname {E} [X]\\&={\frac {2}{\lambda ^{2}}}.\end{aligned}}}
したがって、の X {\displaystyle X} バラ （ X ） = E [ X 2 ] − E [ X ] 2 = 2 λ 2 − （ 1 λ ） 2 = 1 λ 2 。 {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}={\frac {2}{\lambda ^{2}}}-\left({\frac {1}{\lambda }}\right)^{2}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}.}
一般的に使用される確率分布 以下の表は、一般的に用いられるいくつかの確率分布の分散を示しています。
物件
基本特性 分散は非負である。なぜなら、二乗は正またはゼロだからである。 バラ （ X ） ≥ 0. {\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq 0.}
定数の分散はゼロである。 バラ （ 1 ） = 0. {\displaystyle \operatorname {Var} (a)=0.}
逆に、確率変数の分散が0であれば、それはほぼ確実に 定数である。つまり、常に同じ値をとる。 バラ （ X ） = 0 ⟺ ∃ 1 : P （ X = 1 ） = 1. {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=0\iff \exists a:P(X=a)=1.}
有限性の問題 コーシー分布 のように、分布の期待値が有限でない場合、分散も有限にはなり得ません。ただし、期待値が有限であっても、分散が有限でない分布もあります。例えば、指数 が 1/2であるパレート分布などが挙げられます。 k {\displaystyle k} 1 < k ≤ 2. {\displaystyle 1<k\leq 2.}
CDFからの計算 非負の確率変数の母分散は、累積分布関数 F を用いて 表現できます。2 ∫ 0 ∞ u （ 1 − F （ u ） ） d u − [ ∫ 0 ∞ （ 1 − F （ u ） ） d u ] 2 。 {\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }u(1-F(u))\,du-{\left[\int _{0}^{\infty }(1-F(u))\,du\right]}^{2}.}
この式は、累積分布関数は簡単に表現できるが、密度 関数は簡単に表現できないような状況で、分散を計算するために使用できます。
測定単位 期待絶対偏差 とは異なり、変数の分散の単位は、その変数自体の単位の二乗になります。たとえば、メートルで測定された変数の分散は、メートルの二乗で測定されます。このため、データセットを記述する際には、分散を使用するよりも、標準偏差 または二乗平均平方根偏差 を使用する方が好ましい場合が多くあります。サイコロの例では、標準偏差は√ 2.9 1.5 よりわずかに大きくなっています。
標準偏差と期待絶対偏差はどちらも、分布の「ばらつき」を示す指標として使用できます。標準偏差は期待絶対偏差よりも代数的な操作が容易であり、分散とその一般化共分散とともに、理論統計学で頻繁に使用されます。しかし、期待絶対偏差は、 測定異常 や過度に裾の重い分布 から生じる外れ値 の影響を受けにくいため、より頑健な 傾向があります。
伝搬
定数による加算と乗算 分散は、位置パラメータ の変化に対して不変 です。つまり、変数のすべての値に定数を加えた場合、分散は変化しません。 バラ （ X + 1 ） = バラ （ X ） 。 {\displaystyle \operatorname {Var} (X+a)=\operatorname {Var} (X).}
すべての値が定数でスケーリングされている場合、分散はその定数の二乗で スケーリングされます。 バラ （ 1 X ） = 1 2 バラ （ X ） 。 {\displaystyle \operatorname {Var} (aX)=a^{2}\operatorname {Var} (X).}
2つの確率変数の和の分散は次のように表される。 バラ （ 1 X + b Y ） = 1 2 バラ （ X ） + b 2 バラ （ Y ） + 2 1 b カバー （ X 、 Y ） バラ （ 1 X − b Y ） = 1 2 バラ （ X ） + b 2 バラ （ Y ） − 2 1 b カバー （ X 、 Y ） {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (aX+bY)&=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\\[1ex]\operatorname {Var} (aX-bY)&=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)-2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\end{aligned}}} カバー （ X 、 Y ） {\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)} は共分散 です。
線形結合 一般的に、合計はN {\displaystyle N} 変数 { X 1 、 … 、 X N } {\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{N}\}} バラ （ ∑ 私 = 1 N X 私 ） = ∑ 私 、 j = 1 N カバー （ X 私 、 X j ） = ∑ 私 = 1 N バラ （ X 私 ） + ∑ 私 、 j = 1 、 私 ≠ j N カバー （ X 私 、 X j ） 、 {\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i,j=1}^{N}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i,j=1,i\neq j}^{N}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}),} ビエネメ将軍の身元 についても参照してください。
これらの結果から、線形結合 の分散は次のようになる。 バラ （ ∑ 私 = 1 N 1 私 X 私 ） = ∑ 私 、 j = 1 N 1 私 1 j カバー （ X 私 、 X j ） = ∑ 私 = 1 N 1 私 2 バラ （ X 私 ） + ∑ 私 ≠ j 1 私 1 j カバー （ X 私 、 X j ） = ∑ 私 = 1 N 1 私 2 バラ （ X 私 ） + 2 ∑ 1 ≤ 私 < j ≤ N 1 私 1 j カバー （ X 私 、 X j ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}\right)&=\sum _{i,j=1}^{N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\neq j}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{1\leq i<j\leq N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).\end{aligned}}}
ランダム変数X 1 、 … 、 X N {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{N}} カバー （ X 私 、 X j ） = 0 、 ∀ （ 私 ≠ j ） 、 {\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=0\ ,\ \forall \ (i\neq j),} 無相関で あると言われます。先に述べた式から、ランダム変数がX 1 、 … 、 X N {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{N}} バラ （ ∑ 私 = 1 N X 私 ） = ∑ 私 = 1 N バラ （ X 私 ） 。 {\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i}).}
独立な確率変数は常に無相関であるため（共分散§ 無相関と独立性を 参照）、上記の式は特に確率変数がX 1 、 … 、 X n {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}
変数の合計
分散を他のばらつきの尺度よりも優先して用いる理由の一つは、無相関の 確率変数の和（または差）の分散が、それらの分散の和に等しいからである。 バラ （ ∑ 私 = 1 n X 私 ） = ∑ 私 = 1 n バラ （ X 私 ） 。 {\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i}).}
この式はビエネメの 公式[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]。 変数が独立で あるというより強い条件でよく用いられますが、無相関であれば十分です。したがって、すべての変数が同じ分散σ² を n バラ （ X ¯ ） = バラ （ 1 n ∑ 私 = 1 n X 私 ） = 1 n 2 ∑ 私 = 1 n バラ （ X 私 ） = 1 n 2 n σ 2 = σ 2 n 。 {\displaystyle \operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} \left(X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}n\sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.}
つまり、nが増加すると平均の分散は減少します。この平均の分散の式は、 中心極限定理 で使用される標本平均の標準誤差 の定義に用いられます。
最初の主張を証明するには、次のことを示すだけで十分である。 バラ （ X + Y ） = バラ （ X ） + バラ （ Y ） 。 {\displaystyle \operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y).}
一般的な結果は帰納法によって導かれる。定義から始め、 バラ （ X + Y ） = E [ （ X + Y ） 2 ] − （ E [ X + Y ] ） 2 = E [ X 2 + 2 X Y + Y 2 ] − （ E [ X ] + E [ Y ] ） 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {E} \left[(X+Y)^{2}\right]-(\operatorname {E} [X+Y])^{2}\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}+2XY+Y^{2}\right]-(\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y])^{2}.\end{aligned}}}
期待値演算子 の線形性と、 X とY の独立性（または無相関性）の仮定を用いると、これはさらに以下のように簡略化されます。 バラ （ X + Y ） = E [ X 2 ] + 2 E [ X Y ] + E [ Y 2 ] − （ E [ X ] 2 + 2 E [ X ] E [ Y ] + E [ Y ] 2 ） = E [ X 2 ] + E [ Y 2 ] − E [ X ] 2 − E [ Y ] 2 = バラ （ X ） + バラ （ Y ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {E} {\left[X^{2}\right]}+2\operatorname {E} [XY]+\operatorname {E} {\left[Y^{2}\right]}-\left(\operatorname {E} [X]^{2}+2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]+\operatorname {E} [Y]^{2}\right)\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]+\operatorname {E} \left[Y^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}-\operatorname {E} [Y]^{2}\\[5pt]&=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y).\end{aligned}}}
一般に、 n 個の変数の合計の分散は、それらの共分散 の合計に等しい。 バラ （ ∑ 私 = 1 n X 私 ） = ∑ 私 = 1 n ∑ j = 1 n カバー （ X 私 、 X j ） = ∑ 私 = 1 n バラ （ X 私 ） + 2 ∑ 1 ≤ 私 < j ≤ n カバー （ X 私 、 X j ） 。 {\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\operatorname {Cov} \left(X_{i},X_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} \left(X_{i}\right)+2\sum _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {Cov} \left(X_{i},X_{j}\right).} （注：2番目の等式は、Cov( X i X i X i という事実から導かれる。）
ここ、カバー （ ⋅ 、 ⋅ ） {\displaystyle \operatorname {Cov} (\cdot ,\cdot )} は共分散で あり、独立な確率変数の場合（存在する場合）はゼロになります。この式は、和の分散が、構成要素の共分散行列のすべての要素の合計に等しいことを示しています。次の式は、和の分散が共分散行列の対角要素の合計と、その上三角要素（または下三角要素）の合計の 2 倍の合計に等しいことを同等に示しています。これは、共分散行列が対称であることを強調しています。この式は、古典的テスト理論 におけるクロンバックのアルファ の理論で使用されています。
したがって、変数の分散が等しいσ² で 相関が ρ バラ （ X ¯ ） = σ 2 n + n − 1 n ρ σ 2 。 {\displaystyle \operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)={\frac {\sigma ^{2}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\rho \sigma ^{2}.}
これは、平均の分散が相関の平均とともに増加することを意味します。言い換えれば、相関のある観測値を追加しても、独立した観測値を追加しても、平均の不確実 性を減らす効果はそれほど高くありません。さらに、変数の分散が1である場合（例えば、標準化されている場合）、これは次のように単純化されます。 バラ （ X ¯ ） = 1 n + n − 1 n ρ 。 {\displaystyle \operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)={\frac {1}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\rho .}
この式は、古典的テスト理論のスピアマン・ブラウン予測式 で使用されます。平均相関が一定であるか収束する場合、nが無限大に近づくとρに収束します。したがって 、 リム n → ∞ バラ （ X ¯ ） = ρ 。 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)=\rho .}
したがって、多数の標準化変数の平均の分散は、それらの平均相関にほぼ等しくなります。このことから、相関のある変数の標本平均は、独立変数の標本平均が母平均に収束するという大数の法則が あるにもかかわらず、一般的には母平均に収束しないことが明らかになります。
変数の加重和 スケーリング特性とビエネメの公式、および共分散 Cov( aX , bY ) = ab Cov( X , Y ) の特性は 、以下のことを示唆している。 バラ （ 1 X ± b Y ） = 1 2 バラ （ X ） + b 2 バラ （ Y ） ± 2 1 b カバー （ X 、 Y ） 。 {\displaystyle \operatorname {Var} (aX\pm bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)\pm 2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y).}
これは、変数の加重和において、最も重みの大きい変数が全体の分散において不均衡に大きな重みを持つことを意味します。例えば、X とYが無相関であり、 X の重みがY の重みの2倍である場合、 X の分散の重みはY の分散の重みの4倍になります。
上記の式は、複数の変数の加重和に拡張することができます。 バラ （ ∑ 私 n 1 私 X 私 ） = ∑ 私 = 1 n 1 私 2 バラ （ X 私 ） + 2 ∑ 1 ≤ 私 ∑ < j ≤ n 1 私 1 j カバー （ X 私 、 X j ） {\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{1\leq i}\sum _{<j\leq n}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})}
変数の積
独立変数の積 2 つの変数 X と Y が独立で ある場合、それらの積の分散は[ 9 ]で与えられます。 バラ （ X Y ） = [ E （ X ） ] 2 バラ （ Y ） + [ E （ Y ） ] 2 バラ （ X ） + バラ （ X ） バラ （ Y ） 。 {\displaystyle \operatorname {Var} (XY)=[\operatorname {E} (X)]^{2}\operatorname {Var} (Y)+[\operatorname {E} (Y)]^{2}\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y).}
同様に、期待値の基本性質を用いると、次のように表される。 バラ （ X Y ） = E （ X 2 ） E （ Y 2 ） − [ E （ X ） ] 2 [ E （ Y ） ] 2 。 {\displaystyle \operatorname {Var} (XY)=\operatorname {E} \left(X^{2}\right)\operatorname {E} \left(Y^{2}\right)-[\operatorname {E} (X)]^{2}[\operatorname {E} (Y)]^{2}.}
統計的に依存する変数の積 一般に、2つの変数が統計的に従属している場合、それらの積の分散は次のように表されます。
バラ （ X Y ） = E [ X 2 Y 2 ] − [ E （ X Y ） ] 2 = カバー （ X 2 、 Y 2 ） + E （ X 2 ） E （ Y 2 ） − [ E （ X Y ） ] 2 = カバー （ X 2 、 Y 2 ） + （ バラ （ X ） + [ E （ X ） ] 2 ） （ バラ （ Y ） + [ E （ Y ） ] 2 ） − [ カバー （ X 、 Y ） + E （ X ） E （ Y ） ] 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (XY)={}&\operatorname {E} \left[X^{2}Y^{2}\right]-[\operatorname {E} (XY)]^{2}\\[5pt]={}&\operatorname {Cov} \left(X^{2},Y^{2}\right)+\operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} \left(Y^{2}\right)-[\operatorname {E} (XY)]^{2}\\[5pt]={}&\operatorname {Cov} \left(X^{2},Y^{2}\right)+\left(\operatorname {Var} (X)+[\operatorname {E} (X)]^{2}\right)\left(\operatorname {Var} (Y)+[\operatorname {E} (Y)]^{2}\right)\\[5pt]&-[\operatorname {Cov} (X,Y)+\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)]^{2}\end{aligned}}}
任意関数 デルタ法は、 1つ以上の確率変数の関数の分散を近似するために2次テイラー展開を使用します（ 確率変数の関数のモーメントのテイラー展開を バラ [ f （ X ） ] ≈ （ f ′ （ E [ X ] ） ） 2 バラ [ X ] {\displaystyle \operatorname {Var} \left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}\operatorname {Var} \left[X\right]} fは2回微分可能であり、 X
母集団分散と標本分散
現実世界の観測、例えば昨日の一日の降雨量の測定値などは、通常、起こりうるすべての観測値を網羅した完全なデータセットにはなり得ません。そのため、有限のデータセットから計算された分散は、一般的に、起こりうるすべての観測値から計算された分散とは一致しません。つまり、限られた数の観測値から推定 式を用いて平均と分散を推定する 必要があるということです。この推定値は、起こりうるすべての観測値から観測バイアスなく抽出された n個 観測値の サンプル の関数です。この例では、サンプルは、対象となる地域内の利用可能な雨量計から得られた昨日の降雨量の実際の測定値のデータセットになります。
母平均と母分散の最も単純な推定量は、標本の平均と分散、標本平均 と（補正されていない）標本分散 です。これらは一致推定量 （標本数が増えるにつれて母集団全体の値に収束する）ですが、改善することができます。最も単純な方法では、標本分散は（標本）平均からの偏差の二乗の合計を標本数 nで割ったものとして計算されます。ただし、 n n n − 1n + 1n − 1.5は n − 1[ 10 ]、 n + 1平均二乗誤差 を最小化し、 [ 11 ] n − 1.5 は正規分布の標準偏差の不偏推定 におけるバイアスをほぼ排除します。[ 12 ]
まず、真の母平均が不明な場合、標本分散（真の平均値の代わりに標本平均を使用する）は偏りのある推定値 となります。これは分散を（n − 1）/ n の係数で過小評価します。この係数を修正し、標本平均からの偏差の二乗の合計をn n − 1で割った値を補正することをベッセルの補正 [ 10 ] 結果として得られる推定値は偏りがなく、 （補正された）標本分散 または偏りのない標本分散 と呼ばれます。平均が分散の推定に使用した標本とは異なる方法で決定される場合、この偏りは発生せず、分散は（独立して既知の）平均に関する標本の分散として安全に推定できます。
第二に、標本分散は一般的に標本分散と母集団分散の間の平均二乗誤差を 最小化しません。バイアスを補正すると、多くの場合、状況が悪化します。補正された標本分散よりも優れた性能を発揮するスケールファクターを常に選択できますが、最適なスケールファクターは母集団の過剰尖度に依存し（ 平均二乗誤差§ 分散を n − 1より大きい数で割る）することによって行われ、縮小推定量 の簡単な例です。不偏推定量をゼロに向かって「縮小」します。正規分布の場合、n + 1 （ n − 1n [ 11 ] バイアスのある標本変動 として知られています。
母集団の分散 一般に、有限 サイズの母集団 の母分散 は N {\displaystyle N} x i 。 σ 2 = 1 N ∑ 私 = 1 N （ x 私 − μ ） 2 = 1 N ∑ 私 = 1 N （ x 私 2 − 2 μ x 私 + μ 2 ） = （ 1 N ∑ 私 = 1 N x 私 2 ） − 2 μ （ 1 N ∑ 私 = 1 N x 私 ） + μ 2 = E [ x 私 2 ] − μ 2 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\left(x_{i}-\mu \right)}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}^{2}-2\mu x_{i}+\mu ^{2}\right)\\[5pt]&=\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2\mu \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)+\mu ^{2}\\[5pt]&=\operatorname {E} [x_{i}^{2}]-\mu ^{2},\end{aligned}}} μ = E [ x 私 ] = 1 N ∑ 私 = 1 N x 私 {\textstyle \mu =\operatorname {E} [x_{i}]={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}} E [ x 私 2 ] = （ 1 N ∑ 私 = 1 N x 私 2 ） {\displaystyle \textstyle \operatorname {E} [x_{i}^{2}]=\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)} E {\textstyle \operatorname {E} } は期待値 演算子です。
母集団分散は[ 13 ]を用いて計算することもできる。 σ 2 = 1 N 2 ∑ 私 < j （ x 私 − x j ） 2 = 1 2 N 2 ∑ 私 、 j = 1 N （ x 私 − x j ） 2 。 {\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i<j}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}={\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}.}
（右辺には合計に重複する項があるが、中央の辺には合計する項が重複しない。）これは、 1 2 N 2 ∑ 私 、 j = 1 N （ x 私 − x j ） 2 = 1 2 N 2 ∑ 私 、 j = 1 N （ x 私 2 − 2 x 私 x j + x j 2 ） = 1 2 N ∑ j = 1 N （ 1 N ∑ 私 = 1 N x 私 2 ） − （ 1 N ∑ 私 = 1 N x 私 ） （ 1 N ∑ j = 1 N x j ） + 1 2 N ∑ 私 = 1 N （ 1 N ∑ j = 1 N x j 2 ） = 1 2 （ σ 2 + μ 2 ） − μ 2 + 1 2 （ σ 2 + μ 2 ） = σ 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}{\left(x_{i}-x_{j}\right)}^{2}\\[5pt]={}&{\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\left(x_{i}^{2}-2x_{i}x_{j}+x_{j}^{2}\right)\\[5pt]={}&{\frac {1}{2N}}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}x_{j}\right)+{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}x_{j}^{2}\right)\\[5pt]={}&{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)-\mu ^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)\\[5pt]={}&\sigma ^{2}.\end{aligned}}}
母集団の分散は、生成確率分布の分散と一致する。この意味で、母集団の概念は、無限母集団を持つ連続確率変数にも拡張できる。
標本分散
偏りのない標本分散 このバイアスを補正すると、不偏標本分散 が得られ、それは と表記される。 S 2 {\displaystyle S^{2}} S 2 = n n − 1 S ～ Y 2 = n n − 1 [ 1 n ∑ 私 = 1 n （ Y 私 − Y ¯ ） 2 ] = 1 n − 1 ∑ 私 = 1 n （ Y 私 − Y ¯ ） 2 {\displaystyle S^{2}={\frac {n}{n-1}}{\tilde {S}}_{Y}^{2}={\frac {n}{n-1}}\left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}\right]={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}}
どちらの推定量も、文脈からどちらのバージョンであるかが判断できる場合は、単に標本分散 と呼ぶことができる。同様の証明は、連続確率分布から抽出された標本にも適用できる。
n − 1ベッセル補正 と呼ばれ、標本共分散 や標本標準偏差 （分散の平方根）にも用いられます。平方根は凹関数で あるため、分布に依存する負のバイアス（イェンセンの不等式 による）が生じ、ベッセル補正を用いた補正済み標本標準偏差はバイアスを持ちます。標準偏差の不偏推定は 技術的に複雑な問題ですが、正規分布の場合、n − 1.5
不偏標本分散は、関数f ( y 1 , y 2 ) = ( y 1 − y 2 ) 2 /2の U 統計量 であり、これは母集団の 2 要素のサブセットについて 2 標本統計量を平均することによって得られることを意味します。
例 数値の集合{10, 15, 30, 45, 57, 52, 63, 72, 81, 93, 102, 105} について、この集合が何らかの測定値の全データ母集団である場合、分散は、この集合の平均からの偏差の二乗の合計である母集団分散 932.743 を、集合の要素数である 12 で割った値になります。集合が母集団全体からの標本である場合、不偏標本分散は、標本の平均からの偏差の二乗の合計である 1017.538 を 12 ではなく 11 で割った値として計算できます。Microsoft Excel の関数 VAR.S は不偏 標本分散を、VAR.P は母集団分散を返します。
標本分散の分布 y i が ν = n − 1のさまざまな値に対するS 2 / σ 2 の分布と累積分布。
標本分散は確率変数 の関数であるため、それ自体が確率変数であり、その分布を研究するのは自然なことです。 Y i が 正規分布 からの独立した観測値である場合、コックランの定理は、 不偏標本分散 S 2 がスケーリングされたカイ二乗分布 に従うことを示しています(漸近特性 と初歩的な証明 も参照)。[ 17 ] （ n − 1 ） S 2 σ 2 ～ χ n − 1 2 、 {\displaystyle (n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2},} σ 2 は母集団分散 である。直接的な結果として、次のことが導かれる。 E （ S 2 ） = E （ σ 2 n − 1 χ n − 1 2 ） = σ 2 、 {\displaystyle \operatorname {E} \left(S^{2}\right)=\operatorname {E} \left({\frac {\sigma ^{2}}{n-1}}\chi _{n-1}^{2}\right)=\sigma ^{2},} [ 18 ] バラ [ S 2 ] = バラ （ σ 2 n − 1 χ n − 1 2 ） = σ 4 （ n − 1 ） 2 バラ （ χ n − 1 2 ） = 2 σ 4 n − 1 。 {\displaystyle \operatorname {Var} \left[S^{2}\right]=\operatorname {Var} \left({\frac {\sigma ^{2}}{n-1}}\chi _{n-1}^{2}\right)={\frac {\sigma ^{4}}{{\left(n-1\right)}^{2}}}\operatorname {Var} \left(\chi _{n-1}^{2}\right)={\frac {2\sigma ^{4}}{n-1}}.}
Y i [ 19 ] E [ S 2 ] = σ 2 ; バラ [ S 2 ] = σ 4 n （ κ − 1 + 2 n − 1 ） = 1 n （ μ 4 − n − 3 n − 1 σ 4 ） 、 {\displaystyle \operatorname {E} \left[S^{2}\right]=\sigma ^{2};\quad \operatorname {Var} \left[S^{2}\right]={\frac {\sigma ^{4}}{n}}\left(\kappa -1+{\frac {2}{n-1}}\right)={\frac {1}{n}}\left(\mu _{4}-{\frac {n-3}{n-1}}\sigma ^{4}\right),} κ は分布の尖度 であり、 μ4 は 中心モーメント である。
二乗観測値に対して大数の法則 の条件が満たされる場合、 S 2は σ 2 一致推定量 となります。実際、推定量の分散は漸近的にゼロに近づくことがわかります。漸近的に等価な式は、Kenney と Keeping (1951:164)、Rose と Smith (2002:264)、および Weisstein (nd) で与えられています。[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]
サムエルソンの不等式 は、標本平均と（偏りのある）分散が計算されている場合、標本内の個々の観測値が取り得る値の上限を示す結果である。[ 23 ] 。 y ¯ ± σ Y （ n − 1 ） 1 / 2 {\displaystyle {\bar {y}}\pm \sigma _{Y}(n-1)^{1/2}}
慣性モーメント 確率分布の分散は、 古典力学 における、重心周りの回転に関する、線に沿った対応する質量分布の慣性モーメントに類似している。 [ 27 ] この類似性から、分散のようなものは確率分布 のモーメント [ 27 ] 共分散行列は、多変量分布の慣性モーメントテンソル と関連している。共分散行列を持つn 個の点のクラウドの慣性モーメントは、Σ {\displaystyle \Sigma } 私 = n （ 1 3 × 3 tr （ Σ ） − Σ ） 。 {\displaystyle I=n\left(\mathbf {1} _{3\times 3}\operatorname {tr} (\Sigma )-\Sigma \right).}
物理学と統計学における慣性モーメントの違いは、直線上に集まった点の場合に明らかです。多くの点がx軸の近くにあり、x 軸に沿って分布していると仮定します。共分散行列は次のようになります 。Σ = [ 10 0 0 0 0.1 0 0 0 0.1 ] 。 {\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}10&0&0\\0&0.1&0\\0&0&0.1\end{bmatrix}}.}
つまり、 x方向の変動 が 最も大きい。物理学者はこれをx軸周りの モーメントが小さいとみなすので、慣性モーメントテンソルは 私 = n [ 0.2 0 0 0 10.1 0 0 0 10.1 ] 。 {\displaystyle I=n{\begin{bmatrix}0.2&0&0\\0&10.1&0\\0&0&10.1\end{bmatrix}}.}
半分散 半分散 は分散と同じ方法で計算されますが、計算には平均値より低い観測値のみが含まれます。 半分散 = 1 n ∑ 私 : x 私 < μ （ x 私 − μ ） 2 {\displaystyle {\text{Semivariance}}={\frac {1}{n}}\sum _{i:x_{i}<\mu }{\left(x_{i}-\mu \right)}^{2}} [ 28 ]
半変性に関連する不等式については、チェビシェフの不等式 § 半変性 を
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![{\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce1b41598b8e8f45f57c1550ebb8d5c7ab8e1210)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55622d2a1cf5e46f2926ab389a8e3438edb53731)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[{\left(X-\operatorname {E} [X]\right)}^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]^{2}+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/585a9f8a8fef3eadeae1fffda36eaafb13d2fbcf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}&=\int _{\mathbb {R} }{\left(x-\mu \right)}^{2}f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-2\mu \int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \int _{\mathbb {R} }x\,dF(x)+\mu ^{2}\int _{\mathbb \end{aligned}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaea988ed1efdf962e37d57a8eb05cb1b6ca85da)
![{\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16929783780dae7bb2272902a6ee9345436b481)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }x\lambda e^{-\lambda x}\,dx={\frac {1}{\lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df94d1e04be55285495cdd70755f439ef7ead6c8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{2}\right]&=\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx\\&={\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }2xe^{-\lambda x}\,dx\\&=0+{\frac {2}{\lambda }}\operatorname {E} [X]\\&={\frac {2}{\lambda ^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a34e6570e22517596b887949af797b1c824799a)
![\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}={\frac {2}{\lambda ^{2}}}-\left({\frac {1}{\lambda }}\right)^{2}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5064d28d7da067a7a675ae68d992b83bc339c32)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\sum _{i=1}^{6}{\frac {1}{6}}\left(i-{\frac {7}{2}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{6}}\left((-5/2)^{2}+(-3/2)^{2}+(-1/2)^{2}+(1/2)^{2}+(3/2)^{2}+(5/2)^{2}\right)\\[5pt]&={\frac {35}{12}}\approx 2.92.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1b6a74f544d9422366dc015805d67149030ec7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left(X^{2}\right)-(\operatorname {E} (X))^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}-\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}\\[4pt]&={\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a476607e0a4d7f3ba660d8f260abd520b2ffbed)
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![{\displaystyle \sigma _{i}^{2}=\operatorname {Var} [X\mid Y=y_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f02e555171b20f14167f31a43ad480f720a6fa6)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (\operatorname {E} [X\mid Y])=\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\left(\sum _{i}p_{i}\mu _{i}\right)^{2}=\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\mu ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/069ee9f564216faf173487039b77447b1ef07da2)
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\sum _{i}p_{i}\sigma _{i}^{2}+\left(\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\mu ^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5653ed0b0a55e26b4763766d3e118bc05ed569f4)
![{\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }u(1-F(u))\,du-{\left[\int _{0}^{\infty }(1-F(u))\,du\right]}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73eef824f2fbc50de74a86a8a272ea9f894f5d73)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (aX+bY)&=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\\[1ex]\operatorname {Var} (aX-bY)&=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)-2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4da5a8bce49b7c5571b1f52fd82229eb4fa1977a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {E} \left[(X+Y)^{2}\right]-(\operatorname {E} [X+Y])^{2}\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}+2XY+Y^{2}\right]-(\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y])^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f68b26d8eddd872d85cb9b846a7b8253c30a18)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {E} {\left[X^{2}\right]}+2\operatorname {E} [XY]+\operatorname {E} {\left[Y^{2}\right]}-\left(\operatorname {E} [X]^{2}+2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]+\operatorname {E} [Y]^{2}\right)\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]+\operatorname {E} \left[Y^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}-\operatorname {E} [Y]^{2}\\[5pt]&=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b05ebe531ec88cb2d661433c5cce683c816b52b)
![\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\operatorname {E} \left[N\right]\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (N)(\operatorname {E} \left[X\right])^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6964bc1704783f6ecc80ed1370b84719c52e4b86)
![{\displaystyle \operatorname {E} [N]=\operatorname {Var} (N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c09780cf49339279202c5155f367541bd5978065)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (XY)=[\operatorname {E} (X)]^{2}\operatorname {Var} (Y)+[\operatorname {E} (Y)]^{2}\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y)。](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/217846baaed2d1a73bd83728419c8199c66c06f0)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (XY)=\operatorname {E} \left(X^{2}\right)\operatorname {E} \left(Y^{2}\right)-[\operatorname {E} (X)]^{2}[\operatorname {E} (Y)]^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f81d984aa103aed089cc56c27406c845fa50da)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (XY)={}&\operatorname {E} \left[X^{2}Y^{2}\right]-[\operatorname {E} (XY)]^{2}\\[5pt]={}&\operatorname {Cov} \left(X^{2},Y^{2}\right)+\operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} \left(Y^{2}\right)-[\operatorname {E} (XY)]^{2}\\[5pt]={}&\operatorname {Cov} \left(X^{2},Y^{2}\right)+\left(\operatorname {Var} (X)+[\operatorname {E} (X)]^{2}\right)\left(\operatorname {Var} (Y)+[\operatorname {E} (Y)]^{2}\right)\\[5pt]&-[\operatorname {Cov} (X,Y)+\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)]^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f71664172a74f8d3dbf6f1b17addf168e55f11)
![{\displaystyle \operatorname {Var} \left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}\operatorname {Var} \left[X\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c58412ffa8fdf818b89bafb3318c4ace7cd8e9b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\left(x_{i}-\mu \right)}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}^{2}-2\mu x_{i}+\mu ^{2}\right)\\[5pt]&=\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2\mu \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)+\mu ^{2}\\[5pt]&=\operatorname {E} [x_{i}^{2}]-\mu ^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b2c776545b0c5439fb0c91e48885ae0fc91f4b)
![{\textstyle \mu =\operatorname {E} [x_{i}]={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0708485ad21c14cc61f7362b541ec051259965)
![{\displaystyle \textstyle \operatorname {E} [x_{i}^{2}]=\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/461cd960634ec9e20f13cc46d7885ccb39ce284a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}{\left(x_{i}-x_{j}\right)}^{2}\\[5pt]={}&{\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\left(x_{i}^{2}-2x_{i}x_{j}+x_{j}^{2}\right)\\[5pt]={}&{\frac {1}{2N}}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}x_{j}\right)+{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}x_{j}^{2}\right)\\[5pt]={}&{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)-\mu ^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)\\[5pt]={}&\sigma ^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca29071d5a79cff68f7bc625535c70fb52a2188)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [{\tilde {S}}_{Y}^{2}]&=\operatorname {E} \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\left(Y_{i}-{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}\right)}^{2}\right]\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}-{\frac {2}{n}}Y_{i}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}\sum _{k=1}^{n}Y_{k}\right]\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}\right]-{\frac {2}{n}}\left(\sum _{j\neq i}\operatorname {E} \left[Y_{i}Y_{j}\right]+\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}\right]\right)+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k\neq j}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}Y_{k}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}^{2}\right]\right)\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {n-2}{n}}\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}\right]-{\frac {2}{n}}\sum _{j\neq i}\operatorname {E} \left[Y_{i}Y_{j}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k\neq j}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}Y_{k}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}^{2}\right]\right)\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {n-2}{n}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)-{\frac {2}{n}}(n-1)\mu ^{2}+{\frac {1}{n^{2}}}n(n-1)\mu ^{2}+{\frac {1}{n}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)\right]\\[5pt]&={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a41e704653d1a637c02cac7338e615038504f8)
![{\textstyle \sigma ^{2}=\オペレータ名 {E} [Y_{i}^{2}]-\mu ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576fabda8f2071ae145c54421c8d3140e5ce3d1e)
![{\textstyle \オペレーター名 {E} [Y_{i}Y_{j}]=\オペレーター名 {E} [Y_{i}]\オペレーター名 {E} [Y_{j}]=\mu ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c406ba73149488a80669d078b4e6d7a82de6fcf4)
![{\displaystyle S^{2}={\frac {n}{n-1}}{\tilde {S}}_{Y}^{2}={\frac {n}{n-1}}\left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}\right]={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7aceabda7de5a66183e73abc088ff3ac4e3e5b)
![\displaystyle \operatorname {Var} \left[S^{2}\right]=\operatorname {Var} \left({\frac {\sigma ^{2}}{n-1}}\chi _{n-1}^{2}\right)={\frac {\sigma ^{4}}{{\left(n-1\right)}^{2}}}\operatorname {Var} \left(\chi _{n-1}^{2}\right)={\frac {2\sigma ^{4}}{n-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2479af870c1e7c8943e0acaf40c63cfb6ba46d87)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[S^{2}\right]=\sigma ^{2};\quad \operatorname {Var} \left[S^{2}\right]={\frac {\sigma ^{4}}{n}}\left(\kappa -1+{\frac {2}{n-1}}\right)={\frac {1}{n}}\left(\mu _{4}-{\frac {n-3}{n-1}}\sigma ^{4}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fed75de66c2780b27e9ddbe66514418842cce06)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{y}^{2}&\leq {\frac {y_{\max }(AH)(y_{\max }-A)}{y_{\max }-H}},\\[1ex]\sigma _{y}^{2}&\geq {\frac {y_{\min }(AH)(A-y_{\min })}{H-y_{\min }}},\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68571303bf4c209679c20acc01d930b7d5bf2b43)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[(x-\mu )(x-\mu )^{*}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb62b4d8683749664cb8df919f0726880ca928d0)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[(X-\mu ){(X-\mu )}^{\mathsf {T}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18539d8224803a675561d173f864a4b057c06758)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[(X-\mu ){(X-\mu )}^{\dagger }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ea020e8047a8899bff6f8966c63a60e5a98b91)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ac1c9fd605039c61a11cbc4acb64d27e40daa6)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[(X-\mu )^{\mathsf {T}}(X-\mu )\right]=\operatorname {tr} (C),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7fd455b28bcb0a13414514d34a9d90ded7cc144)