独立性（確率論）

独立性は、統計学や確率過程の理論と同様に、確率論における基本的な概念です。2つのイベントが独立している、統計的に独立している、または確率的に独立している^[1]とは、非公式に言えば、一方の発生が他方の発生確率に影響を与えない、または同等に、オッズに影響を与えない場合です。同様に、2つのランダム変数は、一方の実現が他方の 確率分布に影響を与えない場合に独立しています。

2 つ以上のイベントの集合を扱う場合、独立性の 2 つの概念を区別する必要があります。集合内の任意の 2 つのイベントが互いに独立している場合、イベントはペアワイズ独立と呼ばれます。一方、イベントの相互独立性(または集合的独立性) は、非公式に言えば、各イベントが集合内の他のイベントの任意の組み合わせから独立していることを意味します。ランダム変数の集合にも同様の概念が存在します。相互独立性はペアワイズ独立性を意味しますが、その逆は当てはまりません。確率論、統計、確率過程の標準的な文献では、追加の修飾語のない独立性は通常、相互独立性を指します。

2つの事象と が独立（またはと表記されることが多い。後者の記号は条件付き独立 を表す場合にも使用される）であるためには、それらの結合確率がそれらの確率の積に等しい必要がある：^{[2] : p. 29  [3] : p. 10}${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\perp B}$${\displaystyle A\perp \!\!\!\perp B}$

${\displaystyle A\cap B\neq \emptyset }$は、 2 つの独立したイベントとがサンプル空間に共通の要素を持ち、相互に排他的ではない( の場合に限り相互に排他的) ことを示します。これが独立性を定義する理由は、イベントが発生したか発生したと想定される 場合にイベントが発生する確率として条件付き確率を書き直すことで明らかになります。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$ ${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B)\iff \mathrm {P} (A\mid B)={\frac {\mathrm {P} (A\cap B)}{\mathrm {P} (B)}}=\mathrm {P} (A).}$

同様に

${\displaystyle \mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B)\iff \mathrm {P} (B\mid A)={\frac {\mathrm {P} (A\cap B)}{\mathrm {P} (A)}}=\mathrm {P} (B).}$

したがって、 の発生はの確率に影響せず、その逆も同様です。言い換えると、と は互いに独立しています。導出された式はより直感的に思えるかもしれませんが、またはが0 の場合、条件付き確率が未定義になる可能性があるため、推奨される定義ではありません。さらに、推奨される定義では、 がから独立している場合、も から独立していることが対称性によって明らかになっています。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathrm {P} (A)}$${\displaystyle \mathrm {P} (B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

オッズの観点から言えば、2つのイベントが独立しているのは、⁠ ⁠ ⁠と⁠ ⁠ ⁠のオッズ比が1 (1) である場合のみです。確率と同様に、これは条件付きオッズが無条件オッズに等しいことに相当します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle O(A\mid B)=O(A){\text{ and }}O(B\mid A)=O(B),}$

または、あるイベントが発生した場合の別のイベントのオッズは、別のイベントが発生しなかった場合のイベントのオッズと同じになります。

${\displaystyle O(A\mid B)=O(A\mid \neg B){\text{ and }}O(B\mid A)=O(B\mid \neg A).}$

オッズ比は次のように定義される。

${\displaystyle O(A\mid B):O(A\mid \neg B),}$

または、オッズが与えられた場合、対称的に、イベントが${\displaystyle B}$独立${\displaystyle A}$している場合にのみ 1 になります。

有限集合のイベントがペアワイズ独立であるとは、すべてのイベントのペアが独立している場合である^[4]。 つまり、すべての異なるインデックスのペアに対して、${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle m,k}$

有限集合の事象が相互に独立であるとは、すべての事象が他の事象のいかなる交差からも独立している場合を言う^{[4] [3] : p. 11} —つまり、すべてのk個のインデックスに対して、 ${\displaystyle k\leq n}$${\displaystyle 1\leq i_{1}<\dots <i_{k}\leq n}$

これは、独立したイベントの乗法規則と呼ばれます。これは、すべての単一イベントのすべての確率の積のみを含む単一の条件ではなく、イベントのすべてのサブセットに当てはまる必要があります。

2つ以上のイベントの場合、相互に独立したイベントの集合は（定義により）ペアごとに独立しているが、その逆は必ずしも真ではない。^{[2] : p. 30}

対数確率で述べると、2 つのイベントが独立しているのは、結合イベントの対数確率が個々のイベントの対数確率の合計である場合のみです。

${\displaystyle \log \mathrm {P} (A\cap B)=\log \mathrm {P} (A)+\log \mathrm {P} (B)}$

情報理論では、負の対数確率は情報内容として解釈されるため、結合されたイベントの情報内容が個々のイベントの情報内容の合計に等しい場合にのみ、2 つのイベントは独立しています。

${\displaystyle \mathrm {I} (A\cap B)=\mathrm {I} (A)+\mathrm {I} (B)}$

詳細については、情報コンテンツ § 独立したイベントの加法性を参照してください。

2つのランダム変数とが独立であるためには、それらによって生成されるπシステムの要素が独立している必要がある。つまり、すべてのおよびに対して、イベントとイベントは独立したイベントである（式1で定義したとおり）。つまり、累積分布関数とを持つ、およびが独立であるためには、結合されたランダム変数が結合累積分布関数を持つ必要がある^{[3] : p. 15}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \{X\leq x\}}$${\displaystyle \{Y\leq y\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F_{X}(x)}$${\displaystyle F_{Y}(y)}$${\displaystyle (X,Y)}$

あるいは、確率密度 と結合確率密度が存在する場合、 ${\displaystyle f_{X}(x)}$${\displaystyle f_{Y}(y)}$${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$

${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)\quad {\text{for all }}x,y.}$

ランダム変数の有限集合は、ランダム変数のすべてのペアが独立している場合に限り、ペアごとに独立しています。ランダム変数の集合がペアごとに独立している場合でも、次に定義されるように、必ずしも相互に独立しているわけではありません。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$

有限集合のランダム変数が互いに独立であるためには、任意の数列に対して、イベントが互いに独立したイベントである必要がある（式3で定義）。これは、結合累積分布関数の次の条件に等しい。有限集合のランダム変数が互いに独立であるためには、^{[3]の条件に等しい：p. 16}${\displaystyle n}$${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$${\displaystyle \{X_{1}\leq x_{1}\},\ldots ,\{X_{n}\leq x_{n}\}}$${\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$

ここでは、イベントの場合のように、確率分布がすべての可能な- 要素サブセットについて因数分解されることを要求する必要はありません。これは、たとえばを意味するため、必須ではありません。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{X_{1},X_{2},X_{3}}(x_{1},x_{2},x_{3})=F_{X_{1}}(x_{1})\cdot F_{X_{2}}(x_{2})\cdot F_{X_{3}}(x_{3})}$${\displaystyle F_{X_{1},X_{3}}(x_{1},x_{3})=F_{X_{1}}(x_{1})\cdot F_{X_{3}}(x_{3})}$

測度論に傾倒している人は、上記の定義におけるイベントを、任意のボレル集合に置き換えることを好むかもしれません。その定義は、ランダム変数の値が実数である場合の上記の定義とまったく同じです。この定義には、複素数値のランダム変数や、任意の測定可能な空間(適切な σ 代数によって付与された位相空間を含む)で値を取るランダム変数にも機能するという利点があります。 ${\displaystyle \{X\in A\}}$${\displaystyle \{X\leq x\}}$${\displaystyle A}$

2つのランダムベクトルとが独立であるとは、^{[5] : p. 187の ときである。}${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }}$

ここで、 および はの累積分布関数を表し、および はそれらの結合累積分布関数を表します。 および の独立性は、 と表記されることが多いです。 成分ごとに書かれ、およびが独立していると呼ばれるのは、次の場合です。 ${\displaystyle F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}$${\displaystyle F_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle F_{\mathbf {X,Y} }(\mathbf {x,y} )}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle \mathbf {X} \perp \!\!\!\perp \mathbf {Y} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$

${\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n})=F_{X_{1},\ldots ,X_{m}}(x_{1},\ldots ,x_{m})\cdot F_{Y_{1},\ldots ,Y_{n}}(y_{1},\ldots ,y_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n}.}$

独立性の定義は、ランダムベクトルから確率過程に拡張することができる。したがって、独立確率過程には、任意の時点で過程をサンプリングすることによって得られるランダム変数が、任意の に対して独立ランダム変数であることが要求される。^{[6] : p. 163}${\displaystyle n}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$${\displaystyle n}$

正式には、確率過程は、すべての場合とすべての場合において独立であると呼ばれます。${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in {\mathcal {T}}}$

ここで、確率過程の独立性は、確率過程 内の特性であり、2 つの確率過程間の特性ではありません。${\displaystyle F_{X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\mathrm {P} (X(t_{1})\leq x_{1},\ldots ,X(t_{n})\leq x_{n})}$

2つの確率過程の独立性は、同じ確率空間上で定義される2つの確率過程との間の性質である。正式には、2つの確率過程とが独立であるとは、すべての に対して、およびすべての に対して、ランダムベクトルと が独立している場合を言う。 ^{[7] : p. 515}すなわち、 ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in {\mathcal {T}}}$${\displaystyle (X(t_{1}),\ldots ,X(t_{n}))}$${\displaystyle (Y(t_{1}),\ldots ,Y(t_{n}))}$

上記の定義 (式 1と式 2 ) は、どちらもσ-代数の独立性の次の定義によって一般化されます。を確率空間とし、 とをの 2 つの部分 σ-代数とします。と が独立であるとは、 と が次の条件を満たすときを言います。 ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathrm {P} )}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle \mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B).}$

同様に、σ-代数の有限族（ただし、 は添え字集合）は、次の場合に限り独立であると言われる。 ${\displaystyle (\tau _{i})_{i\in I}}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle \forall \left(A_{i}\right)_{i\in I}\in \prod \nolimits _{i\in I}\tau _{i}\ :\ \mathrm {P} \left(\bigcap \nolimits _{i\in I}A_{i}\right)=\prod \nolimits _{i\in I}\mathrm {P} \left(A_{i}\right)}$

σ-代数の無限族は、その有限部分族がすべて独立である場合に独立であると言われる。

新しい定義は以前の定義と非常に直接的に関連しています。

• 2つのイベントが独立である（古い意味で）のは、それらが生成するσ-代数が独立である（新しい意味で）場合に限られます。イベントによって生成されるσ-代数は、定義により、${\displaystyle E\in \Sigma }$

${\displaystyle \sigma (\{E\})=\{\emptyset ,E,\Omega \setminus E,\Omega \}.}$

• 上で定義された2 つのランダム変数とが独立である (古い意味で) のは、それらが生成する σ-代数が独立である (新しい意味で) 場合のみです。ある測定可能な空間で値を取るランダム変数によって生成される σ-代数は、定義により、 の任意の測定可能な部分集合であるの形式をとるすべての部分集合から構成されます。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle X^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle S}$

この定義を使用すると、と がランダム変数で が定数である場合、と は独立であることが簡単に示されます。これは、定数ランダム変数によって生成される σ 代数が自明な σ 代数 であるためです。確率ゼロのイベントは独立性に影響を及ぼさないため、 がPr のみである場合も独立性が保たれ、ほぼ確実に定数になります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \{\varnothing ,\Omega \}}$${\displaystyle Y}$

イベントがそれ自身から独立している場合、そしてその場合のみ、

${\displaystyle \mathrm {P} (A)=\mathrm {P} (A\cap A)=\mathrm {P} (A)\cdot \mathrm {P} (A)\iff \mathrm {P} (A)=0{\text{ or }}\mathrm {P} (A)=1.}$

したがって、ある出来事がほぼ確実に起こるか、またはその補事象がほぼ確実に起こる場合にのみ、ある出来事はそれ自身から独立している。この事実はゼロ-1法則を証明するときに役立つ。^[8]

とが統計的に独立した確率変数である場合、期待値演算子は次の性質を持つ。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {E} }$

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}Y^{m}]=\operatorname {E} [X^{n}]\operatorname {E} [Y^{m}],}$^{[9] : p.10}

そして共分散は ゼロであり、 ${\displaystyle \operatorname {cov} [X,Y]}$

${\displaystyle \operatorname {cov} [X,Y]=\operatorname {E} [XY]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y].}$

逆は成り立ちません。2 つのランダム変数の共分散が 0 の場合、それらは依然として独立していない可能性があります。

同様に、2つの確率過程とについても、それらが独立であれば、それらは相関していない。^{[10] ：p. 151}${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}}$

2つのランダム変数とが独立であるのは、ランダムベクトルの特性関数が次を満たす 場合のみである。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X,Y)}$

${\displaystyle \varphi _{(X,Y)}(t,s)=\varphi _{X}(t)\cdot \varphi _{Y}(s).}$

特に、それらの合計の特性関数は、それらの限界特性関数の積です。

${\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\cdot \varphi _{Y}(t),}$

ただし、逆の含意は真ではありません。後者の条件を満たすランダム変数は、準独立と呼ばれます。

最初にサイコロを振って 6 が出るという事象と、2 回目に 6 が出るという事象は独立しています。対照的に、最初にサイコロを振って 6 が出るという事象と、1 回目と 2 回目の試行で出た数字の合計が 8 になるという事象は独立していません。

トランプのデッキから 2 枚のカードを交換して引く場合、最初の試行で赤いカードを引くイベントと 2 回目の試行で赤いカードを引くイベントは独立しています。対照的に、トランプのデッキから 2 枚のカードを交換せずに引く場合、最初の試行で赤いカードを引くイベントと 2 回目の試行で赤いカードを引くイベントは独立していません。これは、赤いカードが除去されたデッキでは赤いカードの数が比例して少なくなるためです。

示されている 2 つの確率空間について考えます。どちらの場合も、およびです。最初の空間のイベントは、、、および のため、ペアごとに独立していますが、3 つのイベントは相互に独立していません。2 番目の空間のイベントは、ペアごとに独立しており、相互に独立しています。違いを説明するために、2 つのイベントの条件付けを考えます。ペアごとに独立している場合、いずれのイベントも他の 2 つのイベントとは個別に独立していますが、他の 2 つのイベントの交差とは独立していません。 ${\displaystyle \mathrm {P} (A)=\mathrm {P} (B)=1/2}$${\displaystyle \mathrm {P} (C)=1/4}$${\displaystyle \mathrm {P} (A|B)=\mathrm {P} (A|C)=1/2=\mathrm {P} (A)}$${\displaystyle \mathrm {P} (B|A)=\mathrm {P} (B|C)=1/2=\mathrm {P} (B)}$${\displaystyle \mathrm {P} (C|A)=\mathrm {P} (C|B)=1/4=\mathrm {P} (C)}$

${\displaystyle \mathrm {P} (A|BC)={\frac {\frac {4}{40}}{{\frac {4}{40}}+{\frac {1}{40}}}}={\tfrac {4}{5}}\neq \mathrm {P} (A)}$

${\displaystyle \mathrm {P} (B|AC)={\frac {\frac {4}{40}}{{\frac {4}{40}}+{\frac {1}{40}}}}={\tfrac {4}{5}}\neq \mathrm {P} (B)}$

${\displaystyle \mathrm {P} (C|AB)={\frac {\frac {4}{40}}{{\frac {4}{40}}+{\frac {6}{40}}}}={\tfrac {2}{5}}\neq \mathrm {P} (C)}$

しかし、相互に独立した場合には、

${\displaystyle \mathrm {P} (A|BC)={\frac {\frac {1}{16}}{{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16}}}}={\tfrac {1}{2}}=\mathrm {P} (A)}$

${\displaystyle \mathrm {P} (B|AC)={\frac {\frac {1}{16}}{{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16}}}}={\tfrac {1}{2}}=\mathrm {P} (B)}$

${\displaystyle \mathrm {P} (C|AB)={\frac {\frac {1}{16}}{{\frac {1}{16}}+{\frac {3}{16}}}}={\tfrac {1}{4}}=\mathrm {P} (C)}$

3つのイベントの例を作成することができます。

${\displaystyle \mathrm {P} (A\cap B\cap C)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B)\mathrm {P} (C),}$

しかし、3つのイベントのうち2つは互いに独立ではありません（したがって、イベントの集合は相互に独立ではありません）。^[11]この例は、相互独立性には、この例のような単一のイベントだけでなく、イベントのすべての組み合わせの確率の積に対する要件が含まれることを示しています。

事象と事象は、ある事象が与えられたときに 条件付きで独立である。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle \mathrm {P} (A\cap B\mid C)=\mathrm {P} (A\mid C)\cdot \mathrm {P} (B\mid C)}$。

直感的には、が既知であれば、 の値がについての追加情報を追加しない限り、2 つのランダム変数および は条件付きで独立しています。たとえば、同じ基礎量の2 つの測定値と は独立していませんが、条件付きで独立しています(2 つの測定値の誤差が何らかの形で関連していない限り)。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$

条件付き独立性の正式な定義は、条件付き分布の考え方に基づいています。、、が離散確率変数である場合、次の式が与えられたとき、およびが条件付き独立であると定義します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \mathrm {P} (X\leq x,Y\leq y\;|\;Z=z)=\mathrm {P} (X\leq x\;|\;Z=z)\cdot \mathrm {P} (Y\leq y\;|\;Z=z)}$

であり、となるすべての場合においてである。一方、確率変数が連続で、結合確率密度関数を持つ場合、およびは、次の条件が満たされれば条件付きで独立である。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathrm {P} (Z=z)>0}$ ${\displaystyle f_{XYZ}(x,y,z)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle f_{XY|Z}(x,y|z)=f_{X|Z}(x|z)\cdot f_{Y|Z}(y|z)}$

すべての実数 に対して、となり、となります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle f_{Z}(z)>0}$

離散的とが条件付きで独立である場合、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \mathrm {P} (X=x|Y=y,Z=z)=\mathrm {P} (X=x|Z=z)}$

任意の に対して、であり、である。つまり、および が与えられた場合の条件付き分布は、のみが与えられた場合と同じである。連続の場合の条件付き確率密度関数についても同様の式が成り立つ。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathrm {P} (Z=z)>0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$

確率は、いかなるイベントも発生しない条件付き確率の一種と見ることができるため、独立性は、条件付き独立性の特別な種類と見ることができます。

1933 年以前は、確率論における独立性は言葉で定義されていました。たとえば、ド・モアブルは次のように定義しました。「2 つのイベントが独立しているとは、それらのイベントが互いに関連しておらず、一方のイベントの発生がもう一方のイベントの発生を促進したり妨げたりしないことを意味します。」^[12] n 個の独立したイベントがある場合、それらすべてが発生する確率は、これらの n 個のイベントの確率の積として計算されました。どうやら、この式は上記の定義の結果であるという確信があったようです。(これは乗法定理と呼ばれることもあります)。もちろん、彼の主張の証明は、さらにより正式な暗黙の仮定なしには機能しません。

この論文で示された独立性の定義は、1933年にコルモゴロフの確率の公理化の一部として登場して以来、標準的な定義（現在ではすべての書籍で使用されている）となった。^[13] コルモゴロフはこれをSNバーンスタインに帰し、1927年にロシア語で出版された出版物を引用した。^[14]

残念ながら、ベルンシュタインとコルモゴロフはどちらもゲオルク・ボルマンの研究を知らなかった。ボルマンは1901年に2つのイベントに対して同じ定義を与えていた^[15]。また1908年にはn個のイベントに対しても同じ定義を与えていた^[16]。後者の論文では、彼は自分の概念を詳細に研究した。例えば、彼はペアワイズ独立性が相互独立性を意味しないことを示す最初の例を示した。今日でも、ボルマンの名が引用されることはめったにない。彼の研究についての詳細は、ウルリッヒ・クレンゲルの「ゲオルク・ボルマンの確率論への貢献について」^{[17]で見ることができる。}

• コピュラ（統計）
• 独立かつ同一分布の確率変数
• 平均依存性
• 正規分布と無相関は独立性を意味するものではない

• ウィキメディア・コモンズの独立性（確率論）に関連するメディア