準自由代数

抽象代数学において、準自由代数は、可換代数学における形式的に滑らかな代数と同様の持ち上げ特性を満たす結合代数である。この概念は、巡回ホモロジーへの応用を目的として、CuntzとQuillenによって導入された。^{[ 1 ]}準自由代数は、自由代数と滑らかなアフィン複素曲線の座標環を一般化したものである。後者の一般化により、準自由代数は非可換空間上の滑らかさを表すものと考えることができる。^{[ 2 ]}

A を複素数上の結合代数とする。このとき、次の同値条件が満たされる場合、A は準自由であると言われる。 ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

• 二乗ゼロ拡張が与えられた場合${\displaystyle R\to R/I}$各準同型写像${\displaystyle A\to R/I}$エレベーターで${\displaystyle A\to R}$。
• ホッホシルトコホモロジーに関するAのコホモロジー次元は、高々1である。

させて${\displaystyle (\Omega A,d)}$はAの微分包絡線、すなわちAによって生成される普遍微分次数代数を表す。^{[ 6 ] [ 7 ]}すると、A が準自由であるのは、次の場合に限る。$\displaystyle \Omega ^{1}A}$A上の双加群として射影的である。^{[ 3 ]}

接続による特徴付けも存在する。A-双加群Eが与えられたとき、 E上の右接続は線形写像である。

${\displaystyle \nabla _{r}:E\to E\otimes _{A}\Omega ^{1}A}$

満たす${\displaystyle \nabla _{r}(as)=a\nabla _{r}(s)}$そして${\displaystyle \nabla _{r}(sa)=\nabla _{r}(s)a+s\otimes da}$^{[ 8 ]}左接続も同様に定義される。A が準自由であるのは、以下の条件を満たす場合のみである。$\displaystyle \Omega ^{1}A}$正しいつながりを認める。^{[ 9 ]}

準自由代数の基本的な性質の 1 つは、代数が左および右に遺伝的であることです(つまり、射影的左または右モジュールの部分モジュールは射影的であるか、同等に、左または右のグローバル次元が最大で 1 です)。^{[ 10 ]}これは、代数が準自由であるための強い制約となります。たとえば、遺伝的 (可換)整域は、まさにデデキント整域です。特に、体上の多項式環は、変数の数が最大で 1 である場合に限り準自由です。

管状近傍定理の類似物である形式的管状近傍定理は、準自由代数に対して成り立つ。^{[ 11 ]}

• https://ncatlab.org/nlab/show/quasi-free+algebra