テンパリー・リーブ代数

統計力学において、テンパリー・リーブ代数は、ネヴィル・テンパリーとエリオット・リーブによって発明された、特定の転送行列が構築される代数である。また、可積分モデル、結び目理論と編組群、量子群、フォン・ノイマン代数のサブファクターとも関連している 。

を可換環とし、を固定します。テンパリー・リーブ代数は、ジョーンズ関係に従って、 要素 によって生成される-代数です。${\displaystyle R}$${\displaystyle \delta \in R}$${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n-1}}$

• ${\displaystyle e_{i}^{2}=\delta e_{i}}$全ての${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$
• ${\displaystyle e_{i}e_{i+1}e_{i}=e_{i}}$全ての${\displaystyle 1\leq i\leq n-2}$
• ${\displaystyle e_{i}e_{i-1}e_{i}=e_{i}}$全ての${\displaystyle 2\leq i\leq n-1}$
• ${\displaystyle e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}}$そのようなすべての${\displaystyle 1\leq i,j\leq n-1}$${\displaystyle |ij|\neq 1}$

これらの関係を使用すると、任意の生成子の積をジョーンズの正規形にすることができます。 ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle E={\big (}e_{i_{1}}e_{i_{1}-1}\cdots e_{j_{1}}{\big )}{\big (}e_{i_{2}}e_{i_{2}-1}\cdots e_{j_{2}}{\big )}\cdots {\big (}e_{i_{r}}e_{i_{r}-1}\cdots e_{j_{r}}{\big )}}$

ここで、およびは2つの厳密に増加な列である。このタイプの要素はテンパリー-リーブ代数の基底を形成する。^[1]${\displaystyle (i_{1},i_{2},\dots ,i_{r})}$${\displaystyle (j_{1},j_{2},\dots ,j_{r})}$${\displaystyle \{1,2,\dots ,n-1\}}$

テンパリー・リーブ代数の次元はカタラン数である: ^[2]

${\displaystyle \dim(TL_{n}(\delta ))={\frac {(2n)!}{n!(n+1)!}}}$

テンパリー・リーブ代数はブラウアー代数の部分代数であり、^[3]したがって分割代数の部分代数でもある。テンパリー・リーブ代数は、 が既知の有限集合であるとき、に対して半単純である。 ^[4]与えられた に対して、すべての半単純テンパリー・リーブ代数は同型である。^[3]${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{n}(\delta )}$ ${\displaystyle P_{n}(\delta )}$${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$${\displaystyle \delta \in \mathbb {C} -F_{n}}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$長方形の 2 辺にそれぞれn個の点がある、2 辺の 交差しない点のペア上のベクトル空間として図式的に表すことができます。${\displaystyle 2n}$

恒等元は、各点が長方形の真向かいの点と接続されている図です。生成元は、左側の- 番目の点と- 番目の点が互いに接続され、同様に右側のこれらの 2 つの点と反対側の 2 つの点が接続され、他のすべての点が長方形の真向かいの点に接続されている図です。 ${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (i+1)}$

のジェネレータは次のとおりです。 ${\displaystyle TL_{5}(\delta )}$

左から順に、 ユニット1と発電機、、、。${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle e_{4}}$

基底要素の乗算は連結によって実行できます。つまり、2 つの長方形を並べて配置し、閉じたループを係数 に置き換えます。次に例を示します。 ${\displaystyle \delta}$${\displaystyle e_{1}e_{4}e_{3}e_{2}\times e_{2}e_{4}e_{3}=\delta \,e_{1}e_{4}e_{3} e_{2}e_{4}e_{3}}$

× = = ${\displaystyle \delta}$ 。

ジョーンズ関係はグラフで見ることができます:

= ${\displaystyle \delta}$

=

=

の 5 つの基本要素は次のとおりです。 ${\displaystyle TL_{3}(\delta )}$

。

左から順に、ユニット 1、発電機、、、。 ${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{1}e_{2}}$${\displaystyle e_{2}e_{1}}$

が半単純である場合、単純加群の完全な集合はの整数によってパラメータ化される。単純加群の次元は二項係数で次のように表される^[4]。${\displaystyle \delta }$${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$${\displaystyle \{W_{\ell }\}}$${\displaystyle 0\leq \ell \leq n}$${\displaystyle \ell \equiv n{\bmod {2}}}$

${\displaystyle \dim(W_{\ell })={\binom {n}{\frac {n-\ell }{2}}}-{\binom {n}{{\frac {n-\ell }{2}}-1}}}$

単純モジュールの基底は、左側の点から右側の点への一重交差しないペアリングの集合です。(一重とは、右側の各点が左側の点に接続されていることを意味します。)と を生成する図の集合の間には自然な一対一の関係があります。つまり、このような図は、何らかの に対して の2 つの要素に分割できます 。 ${\displaystyle W_{\ell }}$${\displaystyle M_{n,\ell }}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \cup _{\begin{array}{c}0\leq \ell \leq n\\\ell \equiv n{\bmod {2}}\end{array}}M_{n,\ell }\times M_{n,\ell }}$${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$${\displaystyle M_{n,\ell }}$${\displaystyle \ell }$

次に、左からダイアグラムの連結によって作用します。 ^[3]（連結によって非モニックペアが生成されることがあり、これは修正する必要があります。）モジュールは標準モジュールまたはリンクモジュールと呼ばれることがあります。^[1]${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$${\displaystyle W_{\ell }}$${\displaystyle W_{\ell }}$

単位根を持つ場合、半単純ではない可能性があり、また既約ではない可能性があります。 ${\displaystyle \delta =q+q^{-1}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$${\displaystyle W_{\ell }}$

${\displaystyle W_{\ell }{\text{ reducible }}\iff \exists j\in \{1,2,\dots ,\ell \},\ q^{2n-4\ell +2+2j}=1}$

が既約な場合、その最大固有サブモジュールによる商は既約ではない。^[1]${\displaystyle W_{\ell }}$

ブラウアー代数の単純モジュールは、テンパリー・リープ代数の単純モジュールに分解できます。この分解は分岐規則と呼ばれ、正の整数係数を持つ直和です。 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{n}(\delta )}$

${\displaystyle W_{\lambda }\left({\mathfrak {B}}_{n}(\delta )\right)=\bigoplus _{\begin{array}{c}|\lambda |\leq \ell \leq n\\\ell \equiv |\lambda |{\bmod {2}}\end{array}}c_{\ell }^{\lambda }W_{\ell }\left(TL_{n}(\delta )\right)}$

係数はに依存せず、^{[4]で与えられる。}${\displaystyle c_{\ell }^{\lambda }}$${\displaystyle n,\delta }$

${\displaystyle c_{\ell }^{\lambda }=f^{\lambda }\sum _{r=0}^{\frac {\ell -|\lambda |}{2}}(-1)^{r}{\binom {\ell -r}{r}}{\binom {\ell -2r}{\ell -|\lambda |-2r}}(\ell -|\lambda |-2r)!!}$

ここで、 はフックの長さの公式によって与えられる、形状 の標準ヤング図形の数です。 ${\displaystyle f^{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$

アフィンテンパリー・リーブ代数は、 となる無限次元代数である。これは、 ^[5]となる生成元を加えることで得られる。${\displaystyle aTL_{n}(\delta )}$${\displaystyle TL_{n}(\delta )\subset aTL_{n}(\delta )}$${\displaystyle e_{n},\tau ,\tau ^{-1}}$

• ${\displaystyle \tau e_{i}=e_{i+1}\tau }$すべて、${\displaystyle 1\leq i\leq n}$
• ${\displaystyle e_{1}\tau ^{2}=e_{1}e_{2}\cdots e_{n-1}}$、
• ${\displaystyle \tau \tau ^{-1}=\tau ^{-1}\tau ={\text{id}}}$。

指数は周期的、すなわち であると想定され、テンパリー-リーブ関係はすべての に対して成り立つと想定されます。すると が中心的になります。 代数 の有限次元商は、非方向性ジョーンズ-テンパリー-リーブ代数とも呼ばれ、^{[6] は}と仮定し、収縮不可能な直線を収縮可能な直線と同じ係数で置き換えることによって得られます(たとえば の場合、 が成り立ちます)。 ${\displaystyle e_{n+1}=e_{1},e_{n}=e_{0}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle \tau ^{n}}$${\displaystyle aTL_{n}(\delta )}$${\displaystyle \tau ^{n}={\text{id}}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle e_{1}e_{3}e_{2}e_{4}e_{1}e_{3}=\delta ^{2}e_{1}e_{3}}$

のダイアグラム代数は、長方形を円筒形にすることで、のダイアグラム代数から演繹されます。直線は円筒の周りに巻き付くことができるため、代数は無限次元です。 が偶数の場合、収縮できない閉じた巻き線が存在することもあります。 ${\displaystyle aTL_{n}(\delta )}$${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$${\displaystyle aTL_{n}(\delta )}$${\displaystyle n}$

テンパリー・リーブ代数は対応するアフィンテンパリー・リーブ代数の商である。^[5]

のセルモジュール は、 のモジュールと同様に、点から点へのモニック ペアリングのセットによって生成されます。ただし、ペアリングは円筒上にあり、 との右乗法は、ある に対してと同一視されます。 の場合、 との右乗法はなく、 と同一視されるのは右側の非縮約ループの追加です。セル モジュールは有限次元であり、 ${\displaystyle W_{\ell ,z}}$${\displaystyle aTL_{n}(\delta )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle W_{\ell }}$${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle z\cdot {\text{id}}}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \ell =0}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle z+z^{-1}}$

${\displaystyle \dim(W_{\ell ,z})={\binom {n}{\frac {n-\ell }{2}}}}$

セル加群はすべての に対して既約である。ただし、集合は可算である。 に対して 、は既約商を持つ。 既約セル加群とその商は、 の既約加群の完全な集合を形成する。^[5]向き付けられていないジョーンズ・テンパリー・リーブ代数のセル加群は、の場合、およびの場合に従わなければならない。 ${\displaystyle W_{\ell ,z}}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}-R(\delta )}$${\displaystyle R(\delta )}$${\displaystyle z\in R(\delta )}$${\displaystyle W_{\ell ,z}}$${\displaystyle aTL_{n}(\delta )}$${\displaystyle z^{\ell }=1}$${\displaystyle \ell \neq 0}$${\displaystyle z+z^{-1}=\delta }$${\displaystyle \ell =0}$

相互作用面モデル、例えば正方格子モデルを考え、格子上のサイトの数をとする。TemperleyとLieb ^[7]に従って、 Temperley–Liebハミルトニアン（TLハミルトニアン）を次のように 定義する。${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{j=1}^{n-1}(\delta -e_{j})}$

以下では、特殊なケースについて考えます。 ${\displaystyle \delta =1}$

まず、 の場合を考えます。TLハミルトニアンは、つまり ${\displaystyle n=3}$${\displaystyle {\mathcal {H}}=2-e_{1}-e_{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ = 2 - - 。

2つの状態が考えられます。

そして。

これらの州に 作用すると、${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ = 2 - - = - 、

そして

${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ = 2 - - = - + 。

我々が持つ可能性のある状態を行列として 書き表すと、${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\left({\begin{array}{rr}1&-1\\-1&1\end{array}}\right)}$

最小の固有値を持つの固有ベクトルは基底状態として知られています。この場合、の最小の固有値は です。対応する固有ベクトルは です。サイトの数を変えると、次の表が見つかります^[8]${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \lambda _{0}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \lambda _{0}=0}$${\displaystyle \psi _{0}=(1,1)}$${\displaystyle n}$

ここでは、-倍の表記を使用しています（例：）。 ${\displaystyle m_{j}=(m,\ldots ,m)}$ ${\displaystyle j}$${\displaystyle 5_{2}=(5,5)}$

興味深い観察は、基底状態の最大の成分は、サイトの数を変化させると、組み合わせ列挙を持つということである^{[9] 。これは、}マレー・バチェラー、ヤン・デ・ギア、バーナード・ニーンフイスによって最初に観察された^{[8] 。バチェラー}らは、整数列のオンライン百科事典のリソースを使用して、偶数のサイト数に対して、 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle 1,2,11,170,\ldots =\prod _{j=0}^{\frac {n-2}{2}}\left(3j+1\right){\frac {(2j)!(6j)!}{(4j)!(4j+1)!}}\qquad (n=2,4,6,\dots )}$

奇数サイトの場合

${\displaystyle 1,3,26,646,\ldots =\prod _{j=0}^{\frac {n-3}{2}}(3j+2){\frac {(2j+1)!(6j+3)!}{(4j+2)!(4j+3)!}}\qquad (n=3,5,7,\dots )}$

驚いたことに、これらのシーケンスはよく知られた組み合わせオブジェクトに対応していました。偶数の場合、これ ( OEISのシーケンスA051255 ) は周期的に対称な転置補平面分割に対応し、奇数の場合 ( OEISのシーケンスA005156 ) は垂直軸を中心に対称な 交代符号行列に対応します。${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

• カウフマン、ルイス H. (1991)。結び目と物理学。ワールドサイエンティフィック。ISBN 978-981-02-0343-6。
• カウフマン、ルイス H. ( 1987)。「状態モデルとジョーンズ多項式」。トポロジー。26 (3): 395–407。doi : 10.1016 /0040-9383(87)90009-7。MR  0899057 。
• バクスター、ロドニー J. (1982)。統計力学における正確に解かれたモデル。ロンドン: アカデミック プレス社。ISBN 0-12-083180-5MR  0690578 。