ゲルステンハーバー代数

数学と理論物理学において、ゲルステンハーバー代数（ゲルステンハーバーだいすう、英: Gerstenhaber algebra、反括弧代数、組紐代数とも呼ばれる）は、マレー・ゲルステンハーバー（ Murray Gerstenhaber 、1963年）が発見した代数構造であり、超可換環と次数付きリー超代数の構造を組み合わせたものである。これはバタリン・ビルコヴィスキー形式論で使用されている。また、ハミルトン形式の一般化であるド・ドンダー・ワイル理論にも、微分形式上で定義された一般化ポアソン括弧の代数として登場する。

意味

ゲルステンハーバー代数は、ポアソン恒等式を満たす、次数 −1 のリー括弧を持つ次数付き可換代数です。すべては、通常の超代数の符号規則を満たすものと理解されています。より正確には、代数には、通常の乗算と [,] で書かれた 2 つの積と、次数と呼ばれるZ次数(理論物理学ではゴースト数と呼ばれることもあります) があります。要素aの次数は | a |で表されます。これらは、恒等式を満たします。

( ab ) c = a ( bc ) （積は結合的である）
ab = (−1) ^{| a || b |}ba (積は(超)可換である)
| ab | = | a | + | b | (積の次数は 0 です)
|[ a , b ]| = | a | + | b | − 1 （リー括弧の次数は −1 です）
[ a , bc ] = [ a , b ] c + (−1) ^{(| a |−1)| b |}b [ a , c ] (ポアソン恒等式)
[ a , b ] = −(−1) ^{(| a |−1)(| b |−1)} [ b , a ] （リー括弧の反対称性）
[ a ,[ b , c ]] = [[ a , b ], c ] + (−1) ^{(| a |−1)(| b |−1)} [ b ,[ a , c ]] (リー括弧のヤコビ恒等式)

ゲルステンハーバー代数は、リー括弧の次数が0ではなく-1である点でポアソン超代数と異なる。ヤコビ恒等式は対称形式で表現することもできる。

(-1)^{(|a|-1)(|c|-1)}[a,[b,c]]+(-1)^{(|b|-1)(|a|-1)}[b,[c,a]]+(-1)^{(|c|-1)(|b|-1)}[c,[a,b]]=0.\,

例

ゲルステンハーバーは、代数AのホッホシルトコホモロジーH ^* ( A , A )がゲルステンハーバー代数であることを示した。
Batalin -Vilkovisky 代数は、 2 次 Δ 演算子を忘れると、基礎となる Gerstenhaber 代数を持ちます。
リー代数の外部代数はゲルステンハーバー代数です。
ポアソン多様体上の微分形式はゲルステンハーバー代数を形成します。
多様体上の多重ベクトル場は、Schouten-Nijenhuis括弧を用いてゲルステンハーバー代数を形成する。

参考文献

ゲルステンハーバー、マレー (1963)。「結合環のコホモロジー構造」。数学年報。78 ( 2 ) : 267–288。doi : 10.2307/1970343。JSTOR 1970343。
ゲッツラー、エズラ(1994)。「バタリン-ビルコヴィスキー代数と2次元位相場理論」。Communications in Mathematical Physics。159 ( 2): 265–285。arXiv : hep-th/9212043。Bibcode : 1994CMaPh.159..265G。doi :10.1007/BF02102639。
Kosmann-Schwarzbach、Yvette (2001) [1994]、「ポアソン代数」、Encyclopedia of Mathematics、EMS Press
Kanatchikov, Igor V. (1997). 「ポアソン代数の場の理論的一般化について」.数理物理学レポート. 40 (2): 225–234. arXiv : hep-th/9710069 . Bibcode :1997RpMP...40..225K. doi :10.1016/S0034-4877(97)85919-8.