汎用マトリックスリング

代数学において、一般行列環は普遍行列環の一種です。

変数を持つサイズnの汎用行列環を で表します。これは、可換環RとR上のn行n列の行列が与えられた場合、任意のマッピングは環準同型(評価と呼ばれる)に拡張されるという普遍的な性質によって特徴付けられます。 ${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle X_{1},\dots X_{m}}$ ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{m}}$${\displaystyle X_{i}\mapsto A_{i}}$${\displaystyle F_{n}\to M_{n}(R)}$

明示的には、体 kが与えられた場合、それはn行n列の行列によって生成される行列環の部分代数 です。ここで、 は行列要素であり、定義により可換です。たとえば、m  = 1 の場合、 は1 変数の 多項式環です。${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle M_{n}(k[(X_{l})_{ij}\mid 1\leq l\leq m,\ 1\leq i,j\leq n])}$${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}$${\displaystyle (X_{l})_{ij}}$${\displaystyle F_{1}}$

例えば、中心多項式は、評価によって中心元に写像される環の元である。（実際、中心多項式は不変かつ不変なので、不変環に含まれる。 ^[1]） ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle k[(X_{l})_{ij}]^{\オペレータ名 {GL} _{n}(k)}}$

定義により、は、 k上のすべてのn行n列の行列上で同一に消えるすべてのpからなるイデアルによる自由環の商です。 ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle k\langle t_{1},\dots ,t_{m}\rangle }$${\displaystyle t_{i}\mapsto X_{i}}$

普遍的性質とは、 から への任意の環準同型は を介し​​て因数分解されることを意味します。これは次のような幾何学的な意味を持ちます。代数幾何学では、多項式環はアフィン空間 の座標環であり、の点を与えることは環準同型（評価）を与えることです（ヒルベルトの零点定理またはスキーム理論による）。自由環は、非可換代数幾何学におけるアフィン空間の座標環の役割を果たします（つまり、自由変数が可換であることを要求しません）。したがって、サイズnの一般的な行列環は、点がサイズnの行列環の Spec である非可換アフィン多様体の座標環です（より具体的な議論については以下を参照してください）。 ${\displaystyle k\langle t_{1},\dots ,t_{m}\rangle }$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle k[t,\dots ,t_{m}]}$${\displaystyle k^{m}}$${\displaystyle k^{m}}$${\displaystyle k[t,\dots ,t_{m}]\to k}$${\displaystyle k\langle t_{1},\dots ,t_{m}\rangle }$

簡単にするために、k は代数的に閉じていると仮定します。A をk上の代数とし、がとなるA内のすべての極大イデアルの集合を表すものとします。 Aが可換である場合、 はAの極大スペクトルであり、任意の に対して は空です。 ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{n}(A)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}\approx M_{n}(k)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} _{1}(A)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} _{n}(A)}$${\displaystyle n>1}$

• アルティン、マイケル (1999) 「非可換環」(PDF)。
• コーン、ポール M. (2003)。さらなる代数と応用(代数の改訂版、第 2 版)。ロンドン: Springer - Verlag。ISBN 1-85233-667-6.ZBL1006.00001  。​