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数学において、数論幾何学は、大まかに言えば代数幾何学の手法を数論の問題に応用したものである。[1]数論幾何学は、代数多様体の有理点を研究するディオファントス幾何学を中心にしている。[2] [3]
より抽象的な言葉で言えば、数論幾何学は整数環のスペクトル上の有限型のスキームの研究として定義することができます。[4]
概要
数論幾何学における古典的な対象は有理点である。有理点とは、数体、有限体、p進体、または関数体（実数を除く代数的に閉じていない体）上の多項式方程式系の解の集合である。有理点は、その算術的複雑さを測定する高さ関数によって直接特徴付けることができる。[5]
非代数的に閉じた体上で定義された代数多様体の構造は、代数幾何学の現代の抽象的発展とともに生まれた中心的な関心領域となっている。有限体上では、エタールコホモロジーによって代数多様体に関連する位相不変量が提供される。[6] p進ホッジ理論は、複素数上の多様体のコホモロジー的性質がp進体上のものにいつ拡張されるかを調べるためのツールを提供する。[7]
歴史
19世紀: 初期の算術幾何学
19世紀初頭、カール・フリードリヒ・ガウスは、非ゼロの有理数解が存在する場合、有理係数を持つ同次多項式方程式に非ゼロの整数解が存在することを観察した。[8]
1850年代、レオポルド・クロネッカーはクロネッカー・ウェーバーの定理を定式化し、約数の理論を導入し、数論と代数学の間に数多くの関連を作った。その後、彼は「青春の夢」を予想したが、これは後にヒルベルトによって修正された形で第12の問題として提唱され、整数論が多項式環の整数に対する商である環でのみ機能するという目標を概説した。[9]
20世紀初頭から中期: 代数的発展とヴェイユ予想
1920年代後半、アンドレ・ヴェイユは代数幾何学と数論の間に深いつながりがあることを、モーデル・ヴェイユの定理につながる博士論文で証明した。この定理は、アーベル多様体の有理点の集合が有限生成アーベル群であることを証明した。[10]
代数幾何学の現代的な基礎は、1930年代から1940年代にかけてオスカー・ザリスキらによって提唱された付値理論やイデアル理論などの当時の可換代数学に基づいて発展した。 [11]
1949年、アンドレ・ヴェイユは有限体上の代数多様体の局所ゼータ関数に関する画期的なヴェイユ予想を提起した。 [12]これらの予想は代数幾何学と数論の間に枠組みを提供し、アレクサンダー・グロタンディークが1950年代と1960年代に層理論（ジャン＝ピエール・セールと共に）とその後のスキーム理論を使用して基礎を作り直すきっかけとなった。[13]ベルナール・ドゥワークは1960年に4つのヴェイユ予想のうちの1つ（局所ゼータ関数の有理性）を証明した。[14]グロタンディークはエタールコホモロジー理論を開発し、 1965年までに（マイケル・アルティンとジャン＝ルイ・ヴェルディエと共同で）ヴェイユ予想のうちの2つを証明した。 [6] [15]最後のヴェイユ予想（リーマン予想の類似物）は、1974年にピエール・ドリーニュによって最終的に証明された。[16]
20 世紀中期から後半: モジュラリティ、p 進法などの発展
1956年から1957年にかけて、谷山豊と志村五郎は、楕円曲線とモジュラー形式を関連付ける谷山・志村予想（現在はモジュラー定理として知られている）を提唱した。[17] [18]この関係は、 1995年にアンドリュー・ワイルズが開発したモジュラー性解除の代数幾何学的手法を通じて、最終的に数論におけるフェルマーの最終定理の最初の証明につながった。 [19]
1960年代に志村五郎はモジュラー曲線の一般化として志村多様体を導入した。[20] 1979年以来、志村多様体はラングランズ計画において予想を検証するための自然な例の領域として重要な役割を果たしてきた。[21]
1977年と1978年の論文で、バリー・マズールは有理数上の楕円曲線の可能な捩れ部分群の完全なリストを与えて捩れ予想を証明した。マズールによるこの定理の最初の証明は、特定のモジュラー曲線上の有理点の完全な解析に依存していた。[22] [23] 1996年、捩れ予想の証明はロイック・メレルによってすべての数体に拡張された。[24]
1983年、ゲルト・ファルティングスはモーデル予想を証明し、種数が1より大きい曲線には有限個の有理点しか存在しないことを実証した（モーデル・ヴェイユの定理は有限性ではなく有理点の集合の有限生成のみを実証している）。 [25] [26]
2001年、 GLnの局所ラングランズ予想の証明は、特定の志村多様体の幾何学に基づいて行われた。[27]
2010年代には、ピーター・ショルツがp進体上の数論幾何学におけるパーフィクトイド空間と新しいコホモロジー理論を開発し、ガロア表現や重みモノドロミー予想の特定のケースに応用した。[28] [29]
参照
参考文献
- ^ Sutherland, Andrew V. (2013年9月5日). 「算術幾何学入門」(PDF) . 2019年3月22日閲覧。
- ^ Klarreich, Erica (2016年6月28日). 「ピーター・ショルツと算術幾何学の未来」 . 2019年3月22日閲覧。
- ^ Poonen, Bjorn (2009). 「算術幾何学入門」(PDF) . 2019年3月22日閲覧。
- ^ n研究室における数論幾何学
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