局所ラングランズ予想

数学において、ロバート・ラングランズ (1967, 1970)によって導入された局所ラングランズ予想は、ラングランズプログラムの一部である。局所体F上の簡約代数群Gの複素表現と、 Fのラングランズ群のGのL群への表現との間の対応を記述する。この対応は一般に一対一ではない。この予想は、局所類体理論をアーベルガロア群から非アーベルガロア群に 一般化したものと考えることができる。

_{GL 1} ( K )の局所ラングランズ予想は局所類体理論から導かれ、本質的にはそれと同等である 。より正確には、アルティン写像は群 GL ₁ ( K )= K ^*からヴェイユ群のアーベル化への同型を与える。特に、群がアーベルなので GL ₁ ( K ) の既約な滑らかな表現は 1 次元であり、そのためヴェイユ群の GL ₁ ( C )への準同型と同一視できる。これにより、ヴェイユ群の GL ₁ ( C ) への準同型と GL ₁ ( K )の既約な滑らかな表現との間のラングランズ対応が与えられる。

ヴェイユ群の表現は、一般線型群の既約な滑らかな表現と完全には対応していません。全単射を得るには、ヴェイユ群の表現の概念をわずかに修正して、ヴェイユ・ドリーニュ表現と呼ばれるものにする必要があります。これは、ベクトル空間V上のヴェイユ群の表現と、 wNw ⁻¹ =|| w || NとなるようなVの冪零自己準同型N 、または同等のヴェイユ・ドリーニュ群の表現で構成されます。さらに、ヴェイユ群の表現は開核を持ち、(フロベニウス)半単純でなければなりません。

Fの Weil 群のすべてのフロベニウス半単純複素n次元 Weil–Deligne 表現 ρ に対して、 L 関数L ( s ,ρ) と局所 ε 因子ε( s ,ρ,ψ) ( Fのキャラクター ψ に依存) が存在します。

局所ラングランズ対応に現れるGLn(F)の表現は滑らかな既約複素 _表現である。

• 「滑らか」とは、すべてのベクトルが何らかの開いたサブグループによって固定されていることを意味します。
• 「既約」とは、表現がゼロ以外であり、0 とそれ自身以外のサブ表現がないことを意味します。

滑らかな既約複素表現は自動的に許容されます。

Bernstein –Zelevinsky 分類は、既約な滑らかな表現の分類を尖端表現に縮小します。

すべての既約許容複素表現 π に対して、L 関数L ( s ,π) と局所 ε 因子 ε( s ,π,ψ) が存在します ( Fのキャラクタ ψ に依存)。より一般的には、一般線型群の 2 つの既約許容表現 π と π' がある場合、局所 Rankin-Selberg 畳み込み L 関数L ( s ,π×π') と ε 因子 ε( s ,π×π',ψ)が存在します。

Bushnell & Kutzko (1993) は、局所体上の一般線型群の既約許容表現について記述した。

局所体のGL ₂に対する局所ラングランズ予想は、ヴェイユ群の 2 次元半単純ヴェイユ・ドリーニュ表現から GL ₂ ( F ) の既約な滑らかな表現への (唯一の) 全単射 π が存在し、それがL関数、 ε 因子を保存し、F ^*の指標によるねじれと可換になることを述べています。

Jacquet & Langlands (1970)は、留数体が標数 2 を持たない場合のGL ₂に対する局所ラングランズ予想を検証した。この場合、ヴェイユ群の表現はすべて巡回型または二面体型である。Gelfand & Graev (1962) は、 F が奇数の留数特性を持つ場合の GL ₂ ( F )の滑らかな既約表現を分類し ((Gelfand, Graev & Pyatetskii-Shapiro 1969、第 2 章) も参照)、偶数の留数特性の分類は奇数の留数特性の場合とほとんど変わらないと誤って主張した。Weil (1974) は、留数体が標数 2 を持つ場合、PGL ₂ ( C ) の像が四面体型または八面体型であるヴェイユ群のいくつかの例外的な 2 次元表現が存在することを指摘した。 (大域ラングランズ予想では、2 次元表現は 20 面体型にもなり得るが、局所的な場合にはガロア群が解けるため、これは起こり得ない。) Tunnell (1978) は、2 進数上および 1 の立方根を含む局所体上の一般線型群 GL 2 ( K ) に対する局所ラングランズ予想を証明し_た。Kutzko ( 1980、1980b) は、すべての局所体上の一般線型群 GL ₂ ( K ) に対する局所ラングランズ予想を証明した。

Cartier (1981) と Bushnell & Henniart (2006) は証明について解説しました。

一般線型群の局所ラングランズ予想は、 GL _n ( F )の既約許容表現 π の同値類から_、Fのヴェイユ群の連続フロベニウス半単純複素n次元ヴェイユ・ドリーニュ表現 ρ _πの同値類への唯一の全単射 π ↔ ρ π が存在し、これは表現のペアのL関数と ε 因子を保存し、1 次元表現のアルティン写像と一致することを述べている。言い換えると、

• L( s ,ρ _π ⊗ρ _π' ) = L( s ,π×π')
• ε( s ,ρ _π ⊗ρ _π' ,ψ) = ε( s ,π×π',ψ)

Laumon、Rapoport、Stuhler (1993) は、正特性局所体Kに対する一般線型群 GL _n ( K )の局所ラングランズ予想を証明した。Carayol (1992) は、彼らの研究について解説した。

Harris & Taylor (2001) は、特性 0 の局所体Kに対する一般線型群 GL _n ( K )の局所ラングランズ予想を証明しました。Henniart (2000) は別の証明を与えました。Carayol (2000) と Wedhorn (2008) は、その研究の解説を与えました。

Borel (1979) と Vogan (1993) は、より一般的な群に対するラングランズ予想について論じている。任意の簡約群Gに対するラングランズ予想は、一般線型群に対するものよりも述べるのが複雑で、最もよく述べる方法が何であるかは不明である。大まかに言えば、簡約群の許容表現は、Lパケットと呼ばれる互いに素な有限集合にグループ化され、これは、局所ラングランズ群からGのL群へのLパラメータと呼ばれる準同型写像のいくつかのクラスに対応するはずである。以前のバージョンでは、局所ラングランズ群の代わりに、ヴェイユ−ドリーニュ群またはヴェイユ群が使用されていたが、これは予想のやや弱い形式を与える。

ラングランズ（1989）は、アルキメデス局所体RとC上の群のラングランズ予想を、それらの既約許容表現（無限小同値まで）、または同等にそれらの既約-加群のラングランズ分類を与えることによって証明した。 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$

Gan & Takeda (2011)はシンプレクティック相似群GSp(4)の局所ラングランズ予想を証明し、Gan & Takeda (2010)でそれを用いてシンプレクティック群Sp(4)の局所ラングランズ予想を導いた。

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• ハリス、マイケル (2000)、ローカル ラングランズ通信(PDF)、IHP での (半分の) 講義のノート
• ロバート・ラングランズの作品
• 保型形式 - 局所ラングランズ予想 リチャード・テイラーによる講義