j不変

数学において、j不変量またはj関数は、特別な線形群の重みゼロのモジュラー関数である。${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$複素数の上半平面上で定義される。これは、尖点の単純極から離れた場所で正則となる唯一の関数であり、

$${\displaystyle j{\big (}e^{2\pi i/3}{\big )}=0,\quad j(i)=1728=12^{3}.}$$

有理関数${\displaystyle j}$モジュラーであり、実際には重み 0 のすべてのモジュラー関数を与えます。古典的には、${\displaystyle j}$-不変量は、楕円曲線のパラメータ化として研究された。${\displaystyle \mathbb {C} }$しかし、モンスター群の対称性とも驚くべき関連性がある（この関連性は「怪物の密造酒」と呼ばれている）。

j不変量は上半平面上の関数として定義できる。${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{\tau \in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (\tau )>0\}}$、 による

$${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{\Delta (\tau )}}=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}}}=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{(2\pi )^{12}\,\eta (\tau )^{24}}}}$$

3番目の定義は、${\displaystyle j(\tau )}$1728年以来、立方体として表現できる${\displaystyle {}=12^{3}}$実数直線上の自然な境界のため、関数は上半平面を超えて解析的に拡張することはできない。

与えられた関数はモジュラー判別式である${\displaystyle \Delta (\tau )=g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}=(2\pi )^{12}\,\eta (\tau )^{24}}$デデキントイータ関数${\displaystyle \eta (\tau )}$、およびモジュラー不変量、

$${\displaystyle g_{2}(\tau )=60G_{4}(\tau )=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-4}}$$$${\displaystyle g_{3}(\tau )=140G_{6}(\tau )=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-6}}$$

どこ${\displaystyle G_{4}(\tau )}$、${\displaystyle G_{6}(\tau )}$フーリエ級数であり、

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\,E_{4}(\tau )\\[4pt]G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\,E_{6}(\tau )\end{aligned}}}$$

そして${\displaystyle E_{4}(\tau )}$、${\displaystyle E_{6}(\tau )}$エイゼンシュテインシリーズは、

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\[4pt]E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}}$$

そして${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$（ノームの二乗）。j不変量は、アイゼンシュタイン級数を用いて次のように直接表すことができる。

$${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {E_{4}(\tau )^{3}}{E_{4}(\tau )^{3}-E_{6}(\tau )^{2}}}}$$

1728以外の数値因子はありません。これは、モジュラー判別式を定義する3番目の方法を意味します。^{[ 1 ]}

$${\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\,{\frac {E_{4}(\tau )^{3}-E_{6}(\tau )^{2}}{1728}}}$$

例えば、上記の定義と${\displaystyle \tau =2i}$すると、デデキントのイータ関数${\displaystyle \eta (2i)}$正確な値を持っています、

$${\displaystyle \eta (2i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{11/8}\pi ^{3/4}}}}$$

超越数を意味する、

$${\displaystyle g_{2}(2i)={\frac {11\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{8}}{2^{8}\pi ^{2}}},\qquad g_{3}(2i)={\frac {7\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{12}}{2^{12}\pi ^{3}}}}$$

しかし、代数的数（実際には整数）が得られる。

$${\displaystyle j(2i)=1728{\frac {g_{2}(2i)^{3}}{g_{2}(2i)^{3}-27g_{3}(2i)^{2}}}=66^{3}.}$$

一般に、これは各τを楕円曲​​線の同型類を表すものと見なすことで説明できます。C上のすべての楕円曲線Eは複素トーラスであり、したがってランク2の格子、つまりCの2次元格子と同一視できます。この格子は回転および拡大縮小（同型類を保存する操作）が可能であり、 1とτ ∈ Hによって生成されます。この格子は楕円曲線に対応します。${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}(\tau )x-g_{3}(\tau )}$（ワイエルシュトラスの楕円関数を参照）。

判別式がゼロでないため、jはHのあらゆる場所で定義されていることに注意してください。これは、対応する三次多項式が異なる根を持つためです。

Δは重み 12 のモジュラー形式であり、g ₂は重み 4 のモジュラー形式であることが示され、その 3 乗も重み 12 になります。したがって、それらの商、したがってjは、重み 0 のモジュラー関数、特にSL(2, Z )の作用の下で不変な正則関数H → Cになります。その中心{ ±I }で商を取ると、モジュラー群が得られ、これは射影特殊線形群PSL(2, Z )と同一視できます。

このグループに属する変換を適切に選択することにより、

$${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad ad-bc=1,}$$

τを、 jに対して同じ値を与え、かつjの基本領域内にある値に減らすことができる。基本領域は、条件を満たすτの値から構成される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\tau |&\geq 1\\[5pt]-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )\leq {\tfrac {1}{2}}\\[5pt]-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1\end{aligned}}}$$

関数j ( τ )は、この領域に限定した場合でも、複素数Cのすべての値をちょうど一度ずつ取ります。言い換えれば、Cのすべてのcに対して、基本領域にはc = j ( τ )となる一意の τ が存在します。したがって、j は基本領域を複素平面全体に写像する性質を持っています。

さらに、2つの値τ,τ' ∈ Hが 同じ楕円曲線を生成するのは、あるT ∈ PSL(2, Z )に対してτ = T(τ')となる場合のみである。これは、jがC上の楕円曲線の集合から複素平面への全単射を提供することを意味する。 ^{[ 2 ]}

リーマン面として、基本領域の種数は0であり、すべての（レベル1の）モジュラー関数はjにおける有理関数であり、逆に、jにおけるすべての有理関数はモジュラー関数である。言い換えれば、モジュラー関数の体はC ( j )である。

j不変量には多くの注目すべき性質がある。

• τ が上半平面上の任意の点で、対応する楕円曲線が複素乗法を持つ場合(つまり、τ が正の虚部を持つ虚二次体の任意の要素であり、 jが定義されている場合)、 j ( τ )は代数的整数です。^{[ 3 ]}これらの特別な値は特異モジュライと呼ばれます。
• 体拡大Q [ j ( τ ), τ ]/ Q ( τ )はアーベル群、すなわちアーベルガロア群を持つ。
• Λ を{1, τ }によって生成されるCの格子とする。乗法に関してΛ を固定するQ ( τ )のすべての要素が、位数と呼ばれる単位を持つ環を形成することは容易にわかる。生成元{1, τ ′ }を持つ他の格子は、同じ位数に同様の方法で関連付けられ、 Q ( τ )上のj ( τ )の代数的共役j ( τ ′ )を定義する。包含関係によって順序付けられると、 Q ( τ )の唯一の最大位数はQ ( τ )の代数的整数環であり、それを関連する位数として持つτの値は、Q ( τ )の非分岐拡張につながる。

これらの古典的な結果は、複素乗法理論の出発点となる。

1937年、テオドール・シュナイダーは、τが上半平面上の二次無理数であれば、 j ( τ )は代数的整数であるという前述の結果を証明した。さらに、τが代数的数ではあるが虚二次数でなければ、j ( τ )は超越数であることを証明した。

j関数には他にも多くの超越的な性質があります。 クルト・マーラーは、マーラー予想と呼ばれる特定の超越結果を予想しましたが、これは 1990 年代に Yu. V. Nesterenko と Patrice Phillipon によって結果の系として証明されました。マーラー予想 (現在は証明済み) は、τが上半平面にある場合、e ^{2π iτ}とj ( τ )が同時に代数的になることは決してないというものです。より強力な結果が現在では知られており、たとえば、e ^{2π iτ}が代数的である場合、次の 3 つの数は代数的に独立であり、したがって少なくともそのうちの 2 つは超越的です。

$${\displaystyle j(\tau ),{\frac {j^{\prime }(\tau )}{\pi }},{\frac {j^{\prime \prime }(\tau )}{\pi ^{2}}}}$$

jの注目すべき特性のいくつかは、q展開(フーリエ級数展開)に関係しており、 q = e ^{2π iτ}のローラン級数として記述され、次のように始まります。

$${\displaystyle j(\tau )=q^{-1}+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+20245856256q^{4}+\cdots }$$

j は尖点に単純な極を持つため、そのq展開にはq ⁻¹未満の項はありません。

フーリエ係数はすべて整数であり、その結果、いくつかのほぼ整数値が得られます。特にラマヌジャン定数がそうです。

$${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+744.}$$

q ⁿの係数の漸近式は次のように与えられる。

$${\displaystyle {\frac {e^{4\pi {\sqrt {n}}}}{{\sqrt {2}}\,n^{3/4}}},}$$

ハーディ・リトルウッド円法によって証明できる。^{[ 4 ] [ 5 ]}

我々は持っています

$${\displaystyle j(\tau )={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}}$$

ここで、x = λ (1 − λ )であり、λはモジュラーラムダ関数である。

$${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(e^{\pi i\tau })^{4}}{\theta _{3}(e^{\pi i\tau })^{4}}}=k(\tau )^{2}}$$

はヤコビのシータ関数θ _mの比であり、楕円モジュラスk ( τ )の二乗である。^{[ 7 ]} λを交差比の 6 つの値のいずれかに置き換えても、 jの値は変化しない。^{[ 8 ]}

$${\displaystyle \left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace }$$

jの分岐点は{0, 1, ∞}にあるので、jはBelyi 関数である。^{[ 9 ]}

ノームq = e ^{π iτ}とヤコビのシータ関数を定義します。

$${\displaystyle \vartheta (0;\tau )=\vartheta _{00}(0;\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}$$

ここから、ここで定義される補助的なシータ関数を導出することができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}}$$

ここで、ϑ _ijとθ _nは別の表記法であり、a ⁴ − b ⁴ + c ⁴ = 0である。すると、モジュラー不変量g ₂、g ₃に対して、次のようになる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}(\tau )&={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\g_{3}(\tau )&={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54\left(abc\right)^{8}}{2}}}\\\end{aligned}}}$$

およびモジュラー判別式、

$${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}}$$

デデキントイータ関数η ( τ )を用いると、j ( τ )は迅速に計算できる。

$${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}=32{\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}}{\left(abc\right)^{8}}}}$$

これまで、j を複素変数の関数として考えてきました。しかし、楕円曲線の同型類の不変量として、純粋に代数的に定義することができます。^{[ 10 ]}

$${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$$

を任意の体上の平面楕円曲線とする。すると、連続的な変換を行うことで、上記の式を標準形y ² = 4 x ³ − g ₂ x − g ₃に変換できる（ただし、この変換は体の標数が 2 または 3 でない場合にのみ可能であることに注意）。結果として得られる係数は次のようになる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}b_{2}&=a_{1}^{2}+4a_{2},\quad &b_{4}&=a_{1}a_{3}+2a_{4},\\b_{6}&=a_{3}^{2}+4a_{6},\quad &b_{8}&=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2},\\c_{4}&=b_{2}^{2}-24b_{4},\quad &c_{6}&=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6},\end{aligned}}}$$

ここで、g ₂ = c ₄およびg ₃ = c ₆です。判別式も得られます。

$${\displaystyle \Delta =-b_{2}^{2}b_{8}+9b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}.}$$

楕円曲線のj不変量は次のように定義できる。

$${\displaystyle j={\frac {c_{4}^{3}}{\Delta }}}$$

曲線が定義される領域の特性が2または3と異なる場合、これは次のようになります。

$${\displaystyle j=1728{\frac {c_{4}^{3}}{c_{4}^{3}-c_{6}^{2}}}.}$$

短いワイエルシュトラス楕円曲線の場合${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$この式は次のように簡略化されます。

$${\displaystyle j=1728{\frac {4a^{3}}{4a^{3}+27b^{2}}}.}$$

モンゴメリー楕円曲線の場合${\displaystyle By^{2}=x^{3}+Ax^{2}+x}$簡略化すると

$${\displaystyle j=256{\frac {(A^{2}-3)^{3}}{(A+2)(A-2)}}.}$$。

j不変量の逆関数は、超幾何関数₂ F ₁で表すことができます(ピカール-フックス方程式の記事も参照)。具体的には、数Nが与えられたとき、 τに関する方程式j ( τ ) = Nを解く方法は少なくとも 4 つあります。

方法 1 : λに関する6 次方程式を解く、

$${\displaystyle j(\tau )={\frac {256{\bigl (}1-\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{3}}{{\bigl (}\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{2}}}={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}}$$

ここで、x = λ (1 − λ )であり、λはモジュラーラムダ関数であるため、6次方程式はxに関する3次方程式として解くことができます。すると、

$${\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;1-\lambda \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;\lambda \right)}}=i{\frac {\operatorname {M} (1,{\sqrt {1-\lambda }})}{\operatorname {M} (1,{\sqrt {\lambda }})}}}$$

λの6つの値のいずれに対しても、Mは算術幾何平均である。^{[注1 ]}

方法2：γに関する4次方程式を解く、

$${\displaystyle j(\tau )={\frac {27\left(1+8\gamma \right)^{3}}{\gamma \left(1-\gamma \right)^{3}}}}$$

そして、4つの根のいずれについても、

$${\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {3}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;1-\gamma \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;\gamma \right)}}}$$

方法 3 : βに関する三次方程式を解く、

$${\displaystyle j(\tau )={\frac {64\left(1+3\beta \right)^{3}}{\beta \left(1-\beta \right)^{2}}}}$$

そして、３つの根のいずれについても、

$${\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {2}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;1-\beta \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;\beta \right)}}}$$

方法4：αに関する二次方程式を解く、

$${\displaystyle j(\tau )={\frac {1728}{4\alpha (1-\alpha )}}}$$

それから、

$${\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;1-\alpha \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;\alpha \right)}}}$$

一方の根はτを与え、もう一方の根は− ⁠ 1 / τ ⁠を与えるが、j ( τ ) = j (− ⁠ 1 / τ ⁠ )であるため、どちらのαを選択しても違いはない。後者の3つの方法は、ラマヌジャンの楕円関数の代替基底への理論に見られる。

逆変換は、楕円関数の周期の比率が無限大になる場合でも、高精度の計算に適用されます。関連する結果として、大きさが 2 のべき乗である虚軸上の点におけるjの値は、二次根号で表現できます (これにより、コンパスと定規による作図が可能になります)。後者の結果は、2 次jのモジュラー方程式が 3 次であるため、ほとんど自明ではありません。^{[ 11 ]}

チュドノフスキー兄弟は1987年に発見した^{[ 12 ]}

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!\left(k!\right)^{3}\left(-640320\right)^{3k}}}}$$

その証明は、

$${\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640320^{3}.}$$

同様の公式については、ラマヌジャン-佐藤級数を参照してください。

の${\displaystyle j}$-不変量は、複素数体上の楕円曲線の同型類、より一般的には代数的に閉じた体上の楕円曲線の同型類にのみ敏感である。他の体上には、${\displaystyle j}$-不変量は同じだが、同型ではない。例えば、${\displaystyle E_{1},E_{2}}$多項式に関連付けられた楕円曲線とする

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-25x\\E_{2}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-4x,\end{aligned}}}$$

両方とも${\displaystyle j}$-不変${\displaystyle 1728}$すると、${\displaystyle E_{2}}$計算すると次のようになります。

$${\displaystyle E_{2}(\mathbb {Q} )=\{\infty ,(2,0),(-2,0),(0,0)\}}$$

以来${\displaystyle x^{3}-4x=x(x^{2}-4)=x(x-2)(x+2)}$合理的な解決策はありません${\displaystyle y=a\neq 0}$これはカルダノの公式を用いて示すことができ、その場合の解は次のようになる。${\displaystyle x^{3}-4x-a^{2}}$それらはすべて非合理的だ。

一方、点の集合では

$${\displaystyle \{n(-4,6):n\in \mathbb {Z} \}}$$

の方程式${\displaystyle E_{1}}$になる${\displaystyle 36n^{2}=-64n^{3}+100n}$. で割る${\displaystyle 4n}$排除するために${\displaystyle (0,0)}$解法として、二次方程式の解の公式を用いると、有理数解が得られます。

$${\displaystyle n={\frac {-9\pm {\sqrt {81-4\cdot 16\cdot (-25)}}}{2\cdot 16}}={\frac {-9\pm 41}{32}}.}$$

これらの曲線が考慮されると、${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {10}})}$同型写像が存在する${\displaystyle E_{1}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))\cong E_{2}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))}$送信中

$${\displaystyle (x,y)\mapsto (\mu ^{2}x,\mu ^{3}y)\ {\text{ where }}\ \mu ={\frac {\sqrt {10}}{2}}.}$$