球面座標系

数学において、球面座標系は、空間内の任意の点の位置が3つの実数、すなわち、その点と固定原点とを結ぶ放射状線に沿った放射距離r、放射状線と任意の極軸との間の極角θ、^[a]および極軸の周りの放射状線の回転角としての方位角φによって指定される3次元空間の座標系です。 ^[b]（「物理学の慣例」に関する図を参照）。半径が固定されると、3つの座標（r、θ、φ ）は、3組として知られ、球面上の座標系を提供し、通常は球面極座標と呼ばれます。原点を通り、極軸に垂直な平面（極角が直角の場合）は、基準平面（基本平面と呼ばれることもあります）と呼ばれます。

固定原点からの放射距離は、半径、放射線、または放射座標とも呼ばれます。極角は、傾斜角、天頂角、法線、または余緯度と呼ばれることもあります。ユーザーは傾斜角を無視し、代わりに仰角を使用することもできます。仰角は、基準面と放射線の間、つまり基準面から放射線に向かって上向きに (正の Z 軸に向かって) 測定されます。俯角は仰角の負数です。(「数学の慣例」ではなく「物理学の慣例」に関する図を参照してください。)

シンボルの使用とタプル座標の命名順序は、情報源や分野によって異なります。この記事では、物理学でよく見られるISO 規則^[1]を使用します。この規則では、命名タプルは、半径距離、極角、方位角、または という順序で示されます。(「物理学の規則」については図を参照してください。)一方、多くの数学の本やテキストの規則では、命名順序が、半径距離、「方位角」、「極角」、または と異なっており、シンボル θ と φ の用途と意味が入れ替わっています。原点からではないz軸からの半径を表すrなど、他の規則も使用される場合があります。シンボルの意味を確認するには特に注意が必要です。 ${\displaystyle (r,\theta,\varphi)}$${\displaystyle (\rho ,\theta ,\varphi )}$${\displaystyle (r,\theta,\varphi)}$

地理座標系の慣例によれば、位置は緯度、経度、高度で測定される。天体座標系は数多くあり、それぞれ異なる基本平面に基づき、さまざまな座標に異なる用語が用いられる。数学で使用される球面座標系では、通常、度ではなくラジアンが使用される（90 度は π _/2ラジアンに等しいことに注意）。また、これらの 数学慣例のシステムでは、方位角を反時計回りに（つまり、南方向のx軸、つまり 180° から東方向のy軸、つまり +90° に向かって）測定することがある。水平座標系の場合のように時計回りに（つまり、北方向の x 軸、つまり 0° から東方向の y 軸、つまり +90° に向かって）測定するのではない。^[2] （「数学慣例」の図を参照。）

物理学の慣例における球面座標系は、三次元空間における極座標系の一般化と見ることができます。さらに高次元空間に拡張することができ、超球面座標系と呼ばれます。

球面座標系を定義するには、空間内の原点Oと、2 つの直交方向、すなわち天頂基準方向と方位基準方向を指定する必要があります。これらの選択によって、通常、原点とx 軸および y 軸を含むものとして定義される基準面が決定されます。いずれか一方が方位基準方向として指定される場合があります。基準面は天頂方向に垂直 (直交) であり、通常、天頂方向の「垂直」に対して「水平」に指定されます。点Pの球面座標は次のように定義されます。

• 半径または放射距離は、原点OからPまでのユークリッド距離です。
• 傾斜角（または極角）は、天頂基準方向から線分OPまでの符号付き角度です。（傾斜角の代わりに標高を極角として使用することもできます。以下を参照してください。）
• 方位角（または方位角）は、方位基準方向から基準平面上の放射状線分OPの直交投影まで測定された符号付き角度です。

方位角の符号は、天頂を中心とする正方向の回転を指定することによって決定されます。この選択は任意であり、座標系の定義の一部です。(傾斜が 0 度または 180 度 (= πラジアン) のいずれかの場合、方位角は任意です。半径が 0 の場合、方位角と傾斜角は両方とも任意です。)

仰角は、xy基準面から放射状線分OPまでの符号付き角度であり、正の角度は上向き、つまり天頂基準に向かって指定されます。仰角は90度（= ⁠π/2⁠ラジアン）から傾斜を引いた値です。したがって、傾斜が60度（＝⁠π/3⁠ラジアン）の場合、仰角は30度（＝⁠π/6⁠ラジアン)。

線型代数学では、原点Oから点Pへのベクトルは、しばしばPの位置ベクトルと呼ばれます。

球面座標を表し、その記号の命名順序を規定するためのさまざまな規則が存在します。3 組の数字セットは、半径距離、極角 (「傾斜」または「仰角」)、および方位角を表します。これは、 ISO標準80000-2:2019で指定され、以前はISO 31-11 (1992) で指定されているように、物理学の規則では一般的な方法です。${\displaystyle (r,\theta,\varphi)}$

前述のように、特に明記しない限り、この記事では ISO の「物理学の慣例」について説明します。

しかし、著者の中には（数学者を含む） 、半径または放射距離にρ (ロー)記号、傾斜角 (または仰角) にφ 、方位角にθという記号を使用する者もいるが、半径にrを使い続ける者もいる。これらはすべて「通常の極座標表記の論理的拡張」を提供している。^[3]順序に関しては、著者の中には傾斜角 (または仰角) の前に方位角を記載する者もいる。これらの選択の組み合わせによっては、左手座標系になる。標準的な「物理学の慣例」である 3 組のセットは、2 次元極座標と 3 次元円筒座標の通常の表記法と矛盾しており、方位角にはθ がよく使用される。^[3]${\displaystyle (r,\theta,\varphi)}$

角度は通常、度(°) またはラジアン(rad)で測定されます。この場合、360° = 2 π rad です。度の使用は地理学、天文学、工学で最も一般的であり、ラジアンは数学と理論物理学でよく使用されます。半径距離の単位は通常、コンテキストによって決まります。これは、「単位球」のアプリケーションで発生します (アプリケーションを参照)。

このシステムを使用して物理的な 3 次元空間を指定する場合、基準平面の基準方向から反時計回りに測定された方位角に正を割り当てるのが通例です (平面の「天頂」側から見た場合)。この規則は特に地理座標に使用され、地理座標では「天頂」方向が北で、正の方位角 (経度) は本初子午線から東方向に測定されます。

注: 東 ( E )、北 ( N )、上向き ( U )。 ( U、S、E )の場合、ローカル方位角はSからEへ反時計回りに測定されます。

任意の球面座標トリプレット（またはタプル）は、3 次元空間の 1 つのポイントを指定します。逆に言えば、任意の 1 つのポイントには、無限の数の同等の球面座標があります。つまり、ユーザーは角度自体を変更せずに、したがってポイントを変更せずに、角度測定に任意の数の完全な回転を加えたり減算したりできます。多くのコンテキストでは、負の半径距離を使用すると便利です。慣例的に、 は、任意のr、θ、およびφに対してまたは と同等です。さらに、はと同等です。 ${\displaystyle (r,\theta,\varphi)}$${\displaystyle (-r,\theta ,\varphi )}$${\displaystyle (r,\theta {+}180^{\circ },\varphi )}$${\displaystyle (r,90^{\circ }{-}\theta ,\varphi {+}180^{\circ })}$${\displaystyle (r,-\theta ,\varphi )}$${\displaystyle (r,\theta ,\varphi {+}180^{\circ })}$

各ポイントに対して一意の球面座標セットを定義する必要がある場合、ユーザーは各座標の範囲、つまり間隔を制限する必要があります。一般的な選択肢は次のとおりです。

しかし、方位角φ は、区間[0°, 360°)ではなく、通常は半開区間(−180°, +180°]、または(− π , + π ]ラジアンに制限されます。これは、地理経度の標準的な規則です。

極角θの場合、傾斜の範囲（間隔）は[0°, 180°]であり、これは標高の範囲（間隔） [−90°, +90°]に相当します。地理学では、緯度は標高です。

これらの制限があっても、極角 (傾斜) が 0° または 180° (仰角が -90° または +90°) の場合、方位角は任意です。また、rがゼロの場合、方位角と極角の両方が任意です。座標を一意に定義するには、(これらの場合) 任意の座標をゼロに設定するという規則をユーザーが主張できます。

球面座標( r、θ、φ )から任意のドットをプロットするには( θは傾斜)、ユーザーは次のように操作します。まず、原点から天頂基準方向 ( Z 軸 ) にr単位移動します。次に、指定された方位基準方向 (つまり、 x 軸または y 軸のいずれか、上記の定義を参照)から原点を中心に 方位角 ( φ ) の量だけ回転させます。次に、 Z 軸からθ角度 の量だけ回転させます。

2 次元の直交座標系が平面上で有用で、幅広い用途があるのと同様に、2 次元の球面座標系は球面上で有用です。たとえば、直交座標でx ² + y ² + z ² = c ² という式で表される球は、球面座標ではr = cという簡単な式で表すことができます。(このシステム (ここでは数学の慣例に従って示されています) では、球は単位球として適応され、半径は 1 に設定され、通常は無視できます。図を参照してください。)

この（単位球）簡略化は、回転行列などのオブジェクトを扱うときにも役立ちます。球座標は、球体内部の体積積分、集中した質量または電荷を取り囲む位置エネルギー場、惑星の大気圏における全球気象シミュレーションなど、点を中心にある程度の対称性を持つシステムを解析するときにも役立ちます。

スピーカーの出力パターンの 3 次元モデリングは、スピーカーの性能を予測するために使用できます。パターンは周波数によって大きく変化するため、幅広い周波数範囲で取得した多数の極座標プロットが必要です。極座標プロットは、多くのスピーカーが低周波数で全方向性になる傾向があることを示すのに役立ちます。

球面座標の重要な応用は、多くの物理的問題で生じる2つの偏微分方程式（ラプラス方程式とヘルムホルツ方程式）の変数の分離です。このような方程式の解の角度部分は、球面調和関数の形をとります。もう1つの応用は人間工学設計です。ここで、rは静止した人の腕の長さであり、角度は腕が伸びる方向を表します。球面座標系は、3Dゲーム開発でプレイヤーの位置を中心にカメラを回転させるためにもよく使用されます^[4]

地理座標系では、傾斜角の代わりに仰角（または緯度）を使用し、範囲（別名ドメイン）が−90° ≤ φ ≤ 90°で、赤道面から北に回転します。緯度（すなわち緯度の角度）は、地球の中心から測定（回転）された地心緯度（ ψ、q、φ ′、φ _c、φ _gでさまざまに指定される）または観測者の局所的な鉛直線から測定（回転）された測地緯度（通常はφで指定される）のいずれかです。極角（傾斜）は 90° から緯度を引いたもので、範囲は 0 から 180° であり、地理学では余緯度と呼ばれます。

地球上の特定の位置の方位角（または経度）は、一般にλで表され、従来の基準子午線（最も一般的にはIERS 基準子午線）からの東または西の度数で測定されます。したがって、そのドメイン（または範囲）は-180° ≤ λ ≤ 180°であり、特定の読み取り値は通常「東」または「西」で示されます。地球または他の固体天体上の位置の場合、基準面は通常、回転軸に垂直な面と見なされます。

地理学者は、半径距離r の代わりに、たとえば平均海面などの、ある局所的な基準面 (鉛直基準面)の上または下の高度を一般的に使用します。必要に応じて、高度に地球の半径( 約 6,360 ± 11 km (3,952 ± 7 マイル )を加算することで、半径距離を計算できます。

しかし、現代の地理座標系は非常に複雑で、これらの単純な式で示される位置は数キロメートル不正確になる可能性があります。緯度、経度、高度の正確な標準的な意味は現在、世界測地系(WGS)によって定義されており、極地での地球の平坦化 (約 21 km または 13 マイル) やその他の多くの詳細が考慮されています。

惑星座標系は、地理座標系に類似した定式化を使用します。

一連の天文座標系は、いくつかの基本平面からの仰角を測定するために使用されます。これらの基準平面には、観測者の地平線、銀河の赤道（天の川の回転によって定義されます）、天の赤道（地球の回転によって定義されます）、黄道面（太陽の周りの地球の軌道によって定義されます）、および地赤道面（太陽の瞬間方向に対して垂直です）が含まれます。

球面座標系は数ある 3 次元座標系のうちの 1 つにすぎないため、球面座標系と他の座標系の間で座標を変換するための方程式が存在します。

ISO規約における点の球面座標（物理学では半径 r、傾斜 θ、方位角 φ ）は、その直交座標 （x、y、z）から次の式で 得ることができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arccos {\frac {z}{\ sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\arccos {\frac {z}{r}}={\begin{cases}\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z>0\\\pi +\arctan {\frac {\sqrt {x^{2 }+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}z=0{ \text{ と}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\neq 0\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=y=z=0\\\end{cases}}\\\varphi &=\operatorname {sgn}(y)\arccos { \frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{if }}x>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{if }}x<0{\text{かつ }}y\geq 0,\\ \arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{x<0{\text{かつy<0の場合、\\+{\frac {\pi }{ 2}}&{\text{x=0{\text{かつy>0の場合、\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ かつ }}y<0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0 {\text{ および }}y=0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

逆正接はφ = arctanと表される⁠ええ/x⁠ は、上記の式で行ったように、 ( x , y )の正しい象限を考慮して適切に定義する必要があります。atan2の記事を参照してください。

あるいは、この変換は、直交座標から極座標への 2 つの連続した変換と考えることもできます。1 つ目は、直交座標xy平面で( x、y )から( R、φ )への変換 ( R はrのxy平面への投影)であり、2 つ目は直交座標zR平面で( z、R )から( r、θ )への変換です。 φとθの正しい象限は、平面直交座標から極座標への変換が正しいことによって示されます。

これらの式は、2 つのシステムの原点が同じであること、球面基準面が直交座標のxy平面であること、θ がz方向からの傾斜であること、方位角が直交座標のx軸から測定されること ( y軸はφ = +90°となること) を前提としています。θが天頂からの傾斜ではなく基準面からの仰角を測定する場合、上記の arccos は arcsin になり、以下のcos θとsin θは入れ替わります。

逆に、直交座標は球面座標（半径 r、傾斜角 θ、方位角 φ）から次のように求めることができる。ここでr∈ [ 0,∞)、θ∈ [ 0, π ]、φ∈ [0,2π )である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&=r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&=r\cos \theta .\終了{整列}}}$$

円筒座標（軸 半径 ρ、方位角 φ、仰角 z ）は、次の式によって 球面座標（中心半径 r、傾斜角 θ、方位角 φ ）に変換できる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta &=\arctan {\frac {\rho }{z}}= \arccos {\frac {z}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}},\\\varphi &=\varphi .\end{aligned}}}$$

逆に、球面座標は、次の式によって円筒座標に変換することができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=r\sin \theta ,\\\varphi &=\varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}}$$

これらの式は、2 つのシステムが同じ原点と同じ基準面を持ち、方位角φ を同じ軸から同じ方向に測定し、球面角θ が円筒形のz軸からの傾斜であることを前提としています。

球面座標の修正版を使用して、直交座標で楕円体を扱うことも可能です。

Pをレベルセットによって指定される楕円体とする

$${\displaystyle axe^{2}+by^{2}+cz^{2}=d.}$$

ISO規約におけるP内の点の修正球面座標（すなわち、物理学では半径 r、傾斜 θ、方位角 φ ）は、その直交座標 （x、y、z）から次の式で 得られる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{\sqrt {a}}}r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&={\frac {1}{\sqrt {b}}}r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&={\frac {1}{\sqrt {c}}}r\cos \theta ,\\r^{2}&=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}.\end{aligned}}}$$

無限小体積要素は次のように与えられる。

$${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,dr\,d \theta \,d\varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega .}$$

平方根係数は、列から定数を引き出すことができる 行列式の特性から生じます。

$${\displaystyle {\begin{vmatrix}ka&b&c\\kd&e&f\\kg&h&i\end{vmatrix}}=k{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}.}$$

次の式 (Iyanaga 1977)では、議論されている物理学の慣例に従って、余緯度θ が正のz軸からの傾斜であると仮定しています。

( r , θ , φ )から( r + d r , θ + d θ , φ + d φ )への微小変位の線要素は、 それぞれr、θ、φの増加する方向の 局所直交単位ベクトルであり、x̂、ŷ、ẑ は直交座標の単位ベクトル で ある。この右手座標トリプレットへの線形変換は、回転行列である。 $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\hat {\mathbf {r} }}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} ,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\sin \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=\cos \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}&=-\sin \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle R={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \theta \\\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \\-\sin \varphi &\cos \varphi &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}}.}$$

これは、直交座標から球面座標への変換を与え、その逆は逆行列で与えられます。注意: 行列は直交行列です。つまり、その逆行列は単に転置行列です。

したがって、直交座標単位ベクトルは球面座標単位ベクトルと次のように関係します。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \varphi \\\cos \theta &-\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\end{bmatrix}}}$$

微分直線要素を証明するための公式の一般的な形は^[5] であり 、すなわち、 の変化は個々の座標の変化に対応する個々の変化に分解される。 $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|{\frac {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}{\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|\,\mathrm {d} x_{i}\,{\hat {\boldsymbol {x}}}_{i},}$$${\displaystyle \mathbf {r} }$

これを今回のケースに適用するには、各座標でどのように変化するかを計算する必要があります。使用される規則では、 ${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}r\sin \theta \,\cos \varphi \\r\sin \theta \,\sin \varphi \\r\cos \theta \end{bmatrix}},x_{1}=r,x_{2}=\theta ,x_{3}=\varphi .}$$

したがって、 $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi \\\cos \theta \end{bmatrix}}=\mathbf {\hat {r}} ,\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}={\begin{bmatrix}r\cos \theta \,\cos \varphi \\r\cos \theta \,\sin \varphi \\-r\sin \theta \end{bmatrix}}=r\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}={\begin{bmatrix}-r\sin \theta \,\sin \varphi \\{\hphantom {-}}r\sin \theta \,\cos \varphi \\0\end{bmatrix}}=r\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} .}$$

望ましい係数はこれらのベクトルの大きさである: ^[5] $${\displaystyle \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}\right|=1,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right|=r,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\right|=r\sin \theta .}$$

（一定の）半径rの球面上のθからθ + d θまで、およびφからφ + d φまでの表面要素は、 $${\displaystyle \mathrm {d} S_{r}=\left\|{\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \varphi }}\right\|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\left|r{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\times r\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\right|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.}$$

したがって、微分立体角は $${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ={\frac {\mathrm {d} S_{r}}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}$$

極角θが一定の曲面（原点を頂点とする円錐）の曲面要素は $${\displaystyle \mathrm {d} S_{\theta }=r\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} r.}$$

方位角φ一定面（垂直半平面） の表面要素は$${\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi }=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta .}$$

rからr + d r、θからθ + d θ、φからφ + d φに及ぶ体積要素は、 偏微分ヤコビ行列の行列式によって指定され、 すなわち $${\displaystyle J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega ~.}$$

例えば、関数f ( r , θ , φ )は、 R ³のすべての点について三重積分によって積分できる。 $${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{\infty }f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.}$$

このシステムのdel演算子は、スカラー場の勾配とラプラシアンについて次の式を導きます。 また、ベクトル場の発散と回転について次の式を導きます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla ^{2}f&={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]&=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f~,\\[8pt]\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi },}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left[{\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right]{\hat {\mathbf {r} }}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right]{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\end{aligned}}}$$

さらに、直交座標における逆ヤコビアンは 球面座標系における 計量テンソルはです。 $${\displaystyle J^{-1}={\begin{pmatrix}{\dfrac {x}{r}}&{\dfrac {y}{r}}&{\dfrac {z}{r}}\\\\{\dfrac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {-\left(x^{2}+y^{2}\right)}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}.}$$${\displaystyle g=J^{T}J}$

球面座標では、2点が与えられ、その方位座標を φとすると 、2点間の距離は次のように表される^[6]。$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {r} }&=(r,\theta ,\varphi ),\\{\mathbf {r} '}&=(r',\theta ',\varphi ')\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {D} }&={\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2rr'(\sin {\theta }\sin {\theta '}\cos {(\varphi -\varphi ')}+\cos {\theta }\cos {\theta '})}}\end{aligned}}}$$

球面座標では、点または粒子の位置（3つの と書く方が適切ですが）は^[7]と書くことができます。 その速度は^[7]で 、加速度は^[7]です。${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ $${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {\hat {r}} .}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r\,{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\,{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} ={}&{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\[1ex]={}&{\hphantom {+}}\;\left({\ddot {r}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {r}} \\&{}+\left(r\,{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\&{}+\left(r{\ddot {\varphi }}\,\sin \theta +2{\dot {r}}\,{\dot {\varphi }}\,\sin \theta +2r\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\varphi }}\,\cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{aligned}}}$$

角運動量は、 質量 です。φが一定の場合、またはθ = ⁠$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} =mr^{2}\left(-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} +{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\right)}$$${\displaystyle m}$π/2⁠ 、これは極座標のベクトル計算に帰着します。

対応する角運動量演算子は、上記の位相空間再定式化から次のように導かれる。 $${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar ~\mathbf {r} \times \nabla =i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right).}$$

トルクは次のように与えられる^[7] $${\displaystyle \mathbf {\tau } ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =-m\left(2r{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\sin \theta +r^{2}{\ddot {\varphi }}\sin {\theta }+2r^{2}{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}\cos {\theta }\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}+m\left(r^{2}{\ddot {\theta }}+2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}-r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}$$

運動エネルギーは次のように与えられる^[7] $${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {r}}\right)^{2}+\left(r{\dot {\theta }}\right)^{2}+\left(r{\dot {\varphi }}\sin \theta \right)^{2}\right]}$$

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• 彌永章吉；川田幸義（1977）。数学百科事典。 MITプレス。ISBN 978-0262090162。
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• 「球面座標」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• MathWorld 球面座標の説明
• 座標コンバーター – 極座標、直交座標、球座標を変換します