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数学と形式論理では、定理とは証明された、または証明できる命題のことです。 [ a ] [ 2 ] [ 3 ]定理の証明とは、演繹体系の推論規則を用いて、その定理が公理と以前に証明された定理の論理的帰結であることを確立する論理的議論のことです。
主流の数学では、公理と推論規則は暗黙のうちに残されることが多く、この場合、それらはほぼ常に選択公理を持つツェルメロ・フレンケル集合論（ZFC）のものか、ペアノ算術のようなそれほど強力ではない理論のものである。[ b ]一般に、定理と明示的に呼ばれる主張は、他の既知の定理の直接的な帰結ではない証明された結果である。さらに、多くの著者は最も重要な結果のみを定理とみなし、重要度の低い定理には補題、命題、系という用語を使用する。
数理論理学では、定理と証明の概念は、それらについて数学的に推論できるように形式化されています。この文脈では、命題は形式言語の整形式式になります。理論は、公理と呼ばれるいくつかの基本命題と、いくつかの推論規則（公理に含まれる場合もあります）から構成されます。理論の定理は、推論規則を使用して公理から導き出すことができる命題です。[ c ]この形式化は証明論につながり、定理と証明に関する一般的な定理を証明することができます。特に、ゲーデルの不完全性定理は、自然数を含むすべての無矛盾な理論には、その理論の定理ではない（つまり、その理論内で証明できない）自然数に関する真の命題が存在することを示しています。
公理は物理世界の性質の抽象化であることが多いため、定理は何らかの真理を表現していると考えることができますが、実験的な科学法則の概念とは対照的に、定理の真理の正当化は純粋に演繹的です。[ 6 ] [ d ] 推測は、真であることが証明されれば定理に発展する可能性のある暫定的な命題です。
19世紀後半、数学の基礎的危機が起こるまで、すべての数学の定理は、自明と考えられていたいくつかの基本的な性質、例えば、すべての自然数には後継数があることや、与えられた2つの異なる点を通る直線がただ1つだけ存在すること、あるいはこれらの事実を定理の証明で組み合わせるために用いられる論理的推論規則に基づいて構築されていました。絶対的に自明と考えられていたこれらの基本的な性質は、公準または公理と呼ばれ、例えばユークリッドの公準などが挙げられます。すべての定理は、これらの基本的な性質を暗黙的または明示的に用いることによって証明されていました。そして、これらの基本的な性質は自明と考えられていたため、証明に誤りがない限り、証明された定理は決定的な真理とみなされていました。例えば、ユークリッドはいくつかの公理と公準から三角形の内角の和が180°であることを証明し、これは疑う余地のない事実とみなされていました。
数学の基礎的危機の一側面は、ユークリッドの第5公準を変更することによって生み出された非ユークリッド幾何学の発見であった。これらの幾何学は内部矛盾を生じさせないが、そのような幾何学では三角形の内角の和は180°とは異なる。言い換えれば、「三角形の内角の和は180°である」という性質は、ユークリッドの第5公準を仮定するか否定するかによって、真にも偽にもなり得る。同様に、19世紀には、集合のいくつかの「明白な」基本性質の使用がラッセルのパラドックスの矛盾を引き起こした。これは、集合を操作するために許容される公理を修正することによって解決された。
一般的に、19世紀の危機は、数学の基礎を見直してより厳密なものにすることで解決されました。これらの新しい基礎では、定理とは、数学理論の公理と推論規則から証明できる、整形式の公式です。したがって、上記の三角形の内角の和に関する定理は、次のようになります。ユークリッド幾何学の公理と推論規則の下では、三角形の内角の和は180°に等しい。同様に、ラッセルのパラドックスは、現代の公理化された集合論では、すべての集合の集合を整形式の公式で表現できないため、消滅します。より正確には、すべての集合の集合を整形式の公式で表現できるとすれば、それは理論が矛盾していることを意味し、すべての整形式の主張とその否定は定理になります。
この文脈において、定理の妥当性は証明の正しさのみに依存する。それは、公理の真実性、あるいは「現実世界」における公理の意味とは無関係である。これは公理の意味が無意味であるという意味ではなく、単に定理の妥当性が公理の意味とは無関係であるということを示しているにすぎない。この独立性は、数学のある分野の成果を、一見無関係な分野で利用することを可能にする点で有用である。
数学に関するこのような考え方の重要な帰結の一つは、数学理論や定理を数学的対象として定義し、それらに関する定理を証明できる点である。特に、より広い理論では証明できるにもかかわらず、その理論の定理ではないことが証明できる整形式の主張が存在する。例えば、グッドスタインの定理はペアノ算術で述べることができるが、ペアノ算術では証明できないことが証明されている。しかし、ツェルメロ＝フレンケル集合論のような、より一般的な理論では証明可能である。
多くの数学定理は条件文であり、その証明は仮説または前提と呼ばれる条件から結論を導き出す。証明を真理の正当化と解釈する観点から、結論はしばしば仮説の必然的な帰結とみなされる。つまり、仮説が真であれば結論も真であり、それ以上の仮定は必要ない。しかし、特定の演繹体系では、導出規則と条件記号に割り当てられた意味に応じて、条件文は異なる解釈をされる場合もある（例えば、非古典論理）。
定理は完全に記号的な形式（例えば、命題論理における命題など）で記述することもできますが、読みやすさを考慮して、英語などの自然言語で非公式に表現されることもよくあります。証明についても同様で、論理的に整理され、明確な言葉で表現された非公式な議論として表現されることが多く、読者に定理の記述の真実性を疑いの余地なく納得させることを目的としており、原理的にはそこから形式的な記号的証明を構築することができます。
読みやすさに加えて、非形式的な議論は一般的に純粋に記号的な議論よりも検証しやすい。実際、多くの数学者は、定理の妥当性を示すだけでなく、それがなぜ明白に正しいのかを何らかの形で説明する証明を好むだろう。場合によっては、図を用いて定理を立証することさえ可能かもしれない。
定理は数学の中核をなすものであるため、数学の美学においても中心的な役割を果たします。定理はしばしば「自明」であったり、「難解」であったり、「深遠」であったり、あるいは「美しい」と表現されます。こうした主観的な判断は、人によって異なるだけでなく、時代や文化によっても変化します。例えば、証明が得られ、簡略化され、よりよく理解されるにつれて、かつて難解であった定理が自明になることもあります。[ 7 ]一方、深遠な定理は単純に述べられても、その証明には数学の異質な分野間の驚くべき微妙なつながりが含まれる場合があります。フェルマーの最終定理は、そのような定理の特に有名な例です。[ 8 ]
論理的に言えば、多くの定理は「AならばB」という直説法条件文の形をとっている。このような定理はBを主張するのではなく、BがAの必然的な帰結であることを示しているにすぎない。この場合、Aは定理の仮説(ここでの「仮説」は推測とは全く異なる意味を持つ)と呼ばれ、B は定理の結論と呼ばれます。この 2 つを合わせて (証明なしで)定理の命題または記述(例えば、「 A ならば B」が命題) と呼ばれます。あるいは、AとB はそれぞれ前件と後件とも呼ばれます。[ 9 ]定理「nが偶数の自然数ならば、n /2 は自然数である」は、仮説が「nは偶数の自然数である」であり、結論が「n /2 も自然数である」である典型的な例です。
定理が証明されるためには、原則として、正確で形式的な記述として表現できなければならない。しかし、定理は通常、完全に記号的な形式ではなく、自然言語で表現される。これは、形式的な記述が非形式的な記述から導き出せるという前提に基づいている。
数学では、与えられた言語内でいくつかの仮説を選択し、それらの仮説から証明可能なすべての命題を理論と定義するのが一般的です。これらの仮説は理論の基礎を形成し、公理または公準と呼ばれます。証明論と呼ばれる数学の分野は、形式言語、公理、および証明の構造を研究します。
定理の中には、定義、公理、その他の定理から自明な方法で導き出され、驚くべき洞察を含まないという意味で「自明」なものがあります。一方、証明が長くて難解であったり、定理自体の記述とは表面上は異なる数学の領域に関係していたり、数学の異なる領域間の驚くべきつながりを示したりする定理は、「深遠」と呼ばれることがあります。[ 10 ]定理は簡単に述べられるのに深遠な場合もあります。優れた例としてフェルマーの最終定理[ 8 ]があり、数論や組み合わせ論など、他の分野にも単純でありながら深遠な定理の例が数多くあります。
他の定理には証明が知られているが、簡単に書き表すことはできない。最も有名な例は、四色定理とケプラー予想である。これらの定理はどちらも、計算探索に還元し、それをコンピュータプログラムで検証することによってのみ真であることがわかっている。当初、多くの数学者はこの形式の証明を受け入れなかったが、より広く受け入れられるようになった。数学者のドロン・ツァイルベルガーは、これらは数学者が証明した唯一の非自明な結果である可能性があるとさえ主張している。[ 11 ]多くの数学定理は、多項式の恒等式、三角関数の恒等式[ e ] 、超幾何関数の恒等式[ 12 ]など、より直接的な計算に還元することができる。
数学の定理と科学の理論は、認識論において根本的に異なる。科学理論は証明できない。その重要な属性は反証可能であること、つまり、実験によって検証可能な自然界に関する予測を行うことである。予測と実験の間に不一致があれば、科学理論の誤りが証明されるか、少なくともその正確性や有効範囲が制限される。一方、数学の定理は純粋に抽象的な形式的記述である。定理の証明には、科学理論を支持するために用いられるような実験やその他の経験的証拠は含まれない。[ 6 ]
とはいえ、数学の定理の発見には、ある程度の経験主義とデータ収集が伴う。強力なコンピュータを用いる場合もあるが、パターンを確立することで、数学者は証明すべき内容の見当をつけ、場合によっては証明の進め方に関する計画さえ立てることができる。また、反例を一つ見つけることで、提示された命題の証明が不可能であることを示し、証明可能な形となる可能性のある、元の命題の限定された形式を提案することも可能となる。
例えば、コラッツ予想とリーマン予想はどちらもよく知られた未解決問題であり、経験的な検証によって広範囲に研究されてきたものの、証明はされていません。コラッツ予想は 、約 2.88 × 10 18までの初期値で検証されています。リーマン予想は、ゼータ関数の最初の 10 兆個の非自明な零点に対して成り立つことが検証されています。ほとんどの数学者は、予想と仮説が真であると仮定することを許容できますが、これらの命題のどちらも証明されたとは考えられていません。
このような証拠は証明にはなりません。例えば、メルテンス予想は自然数に関する命題ですが、現在では誤りであることが分かっています。しかし、明確な反例（つまり、メルテンス関数M ( n ) がnの平方根以上となる自然数n ）は知られていません。10¹⁴ 未満のすべての数はメルテンスの性質を持ち、この性質を持たない最小の数は1.59 × 10⁴⁰の指数より小さいことしか分かっていません。これは約 10 の 4.3 × 10³⁹です。宇宙の粒子数は一般的に 10の100 乗 (グーゴル)より小さいと考えられているため、徹底的な探索によって明確な反例を見つける望みはありません。
「理論」という言葉は数学にも存在し、例えば群論（数学理論を参照）のように、数学的な公理、定義、定理の集合を指す。科学、特に物理学や工学にも「定理」は存在するが、それらはしばしば物理的な仮定や直観が重要な役割を果たす記述や証明を伴う。そして、そのような「定理」の基礎となる物理的な公理自体が反証可能である。
数学的な命題を表す用語は数多く存在し、これらの用語は、特定の分野における命題の役割を示しています。異なる用語間の区別は時に恣意的であり、一部の用語の使用法は時代とともに変化してきました。
歴史的または慣習的な理由から、他の用語が使用される場合もあります。例えば、
いくつかの有名な定理には、さらに独特な名前が付けられています。例えば、除法アルゴリズム、オイラーの公式、バナッハ・タルスキーのパラドックスなどです。
英語の出版物では、定理（命題、補題、系などに分類され、そのように表記されることが多い）とその証明は、通常、次のように記述されます。
証明の終わりは、QED ( quod erat demonstrandum )という文字、または「□」や「∎」などの墓石記号のいずれかによって示されることがあります。これらの記号は「証明終了」を意味し、雑誌で記事の終わりを示すために使われていたのに倣ってポール・ハルモスによって導入されました。 [ 16 ]
具体的なスタイルは、著者や出版物によって異なります。多くの出版物では、独自のスタイルで組版するための手順やマクロが提供されています。
定理の前に、その定理で使用される用語の正確な意味を説明する定義が示されるのが一般的です。また、定理の前に、証明で使用される命題や補題がいくつか示されるのも一般的です。しかし、補題は、入れ子になった証明として、あるいは定理の証明の後に提示される形で、定理の証明の中に埋め込まれることもあります。
定理の系は、定理と証明の間、または証明の直後に示されます。場合によっては、系自体に、なぜそれが定理から導かれるのかを説明する証明が付随することもあります。
毎年25万以上の定理が証明されていると推定されている。[ 17 ]
「数学者とは、コーヒーを定理に変える装置である」という有名な格言は、おそらくアルフレッド・レーニによるものと思われるが、レーニの同僚であるポール・エルデシュ（レーニはエルデシュのことを考えていたのかもしれない）に帰せられることも多い。エルデシュは、数多くの定理を生み出し、多くの共同研究を行い、コーヒーをよく飲むことで有名だった。[ 18 ]
有限単純群の分類は、定理の証明としては最も長いものの一つと考えられています。これは、約100人の著者による500の学術論文に数万ページにわたって記述されています。これらの論文を合わせると完全な証明が得られると考えられており、現在進行中のいくつかのプロジェクトでは、この証明を短縮・簡略化することを目指しています。[ 19 ]この種の定理のもう一つの例は、4色定理です。そのコンピュータで生成された証明は、人間が読むには長すぎます。[ 20 ]
数理論理学において、形式理論とは形式言語内の文の集合である。文とは自由変数を持たない整形式の式である。理論の要素である文は、その理論の定理の一つであり、理論はその定理の集合である。通常、理論は論理的帰結関係の下で閉じていると理解される。いくつかの説明では、理論は意味的帰結関係の下で閉じていると定義される（）、一方、構文的帰結、または導出関係の下で閉じていると定義する者もいる（). [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]
理論が導出可能性関係の下で閉じられるためには、定理がどのように導出されるかを規定する演繹体系と結び付けられていなければならない。演繹体系は明示的に述べられている場合もあれば、文脈から明らかである場合もある。論理的帰結関係の下で空集合を閉じると、演繹体系の定理である文だけを含む集合が得られる。
論理学においてこの用語が用いられる広義の意味では、定理は必ずしも真である必要はない。なぜなら、定理を含む理論は、特定の意味論に対して、あるいは基礎となる言語の標準的な解釈に対して、不健全である可能性があるからである。矛盾した理論は、すべての文が定理となる。
定理を形式言語の文として定義することは、形式的証明の構造と証明可能な式の構造を研究する数学の一分野である証明論において有用である。また、形式理論と、解釈を通してそれらに意味論を与えることができる構造との関係を扱うモデル理論においても重要である。
定理は解釈されない文である場合もあるが、実際には数学者は文の意味、つまりそれらが表す命題の方に興味を持つ。形式的な定理が有用で興味深いのは、それらが真の命題として解釈でき、その導出がその真偽の証明として解釈できるからである。形式体系に関する真の記述（形式体系内ではなく）である解釈を持つ定理は、メタ定理と呼ばれる。
数理論理学における重要な定理には以下のようなものがある。
形式定理の概念は、意味論を導入する真の命題の概念とは対照的に、根本的に構文論的なものである。異なる演繹体系は、導出規則の前提（すなわち、信念、正当化、またはその他の様相）に応じて、異なる解釈をもたらす可能性がある。形式体系の健全性は、そのすべての定理が妥当性でもあるかどうかに依存する。妥当性とは、あらゆる可能な解釈の下で真となる式のことである（例えば、古典命題論理では、妥当性はトートロジーである）。形式体系は、そのすべての定理がトートロジーでもある場合に、意味的に完全であるとみなされる。
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