メタ定理

論理学において、メタ定理とは、メタ言語で証明された形式体系に関する命題である。与えられた形式体系内で証明される定理とは異なり、メタ定理はメタ理論内で証明され、メタ理論には存在するが対象理論には存在しない概念を参照することがある。

形式体系は、形式言語と演繹体系（公理と推論規則）によって定義されます。形式体系を用いることで、その体系で形式言語の特定の文を証明することができます。一方、メタ定理は、問題の体系とは別の、メタ理論において証明されます。論理学でよく用いられるメタ理論としては、集合論（特にモデル理論）と原始再帰算術（特に証明論）があります。メタ定理は、特定の文が証明可能であることを示すのではなく、広範な文のクラスそれぞれが証明可能であることを示したり、特定の文が証明不可能であることを示したりします。

メタ定理の例としては、以下のようなものがある。

• 一階述語論理の演繹定理によれば、φ→ψ の形の文は、公理の集合Aから証明可能であるのは、文 ψ が、φ とAのすべての公理からなる公理系から証明可能である場合に限る。
• フォン・ノイマン＝ベルナイズ＝ゲーデル集合論のクラス存在定理は、量化子が集合のみを対象とするすべての論理式に対して、その論理式を満たす集合からなるクラスが存在することを述べている。
• ペアノ算術などのシステムの無矛盾性証明。
• ゲーデルの完全性定理は、一階述語論理が完全であることを述べている。

• メタ数学
• 使用と言及の区別

• ジェフリー・ハンター（1969）、メタロジック。
• アラスデア・アークハート（2002）「メタ理論」、デール・ジャケット編『哲学論理学入門 』、 307ページ

• 数学百科事典におけるメタ定理
• バリレ、マルゲリータ。「メタ定理」。マスワールド。