基本補題（ラングランズ・プログラム）

保型形式の数学理論において、 基本補題は、局所体上の簡約群上の軌道積分を、その内接群上の安定軌道積分と関連付けます。これは、ラングランズ・プログラムの開発中にロバート・ラングランズ（1983 ）によって予想されました。基本補題は、ユニタリ群の場合にジェラール・ローモンとンゴ・バオ・チャウによって証明され、その後、ジャン＝ルー・ワルドスプルガーがリー代数の場合に行った一連の重要な簡約に基づいて、ンゴ（2010）によって一般の簡約群について証明されました。タイム誌は、ンゴの証明を「2009年の科学的発見トップ10」のリストに載せました。^{[ 1 ]} 2010年、ンゴはこの証明でフィールズ賞を受賞しました。 

ラングランズは、アーサー・セルバーグのトレース公式を用いて局所的および大域的なラングランズ予想を証明する戦略を概説したが、このアプローチが機能するためには、異なる群のトレース公式の幾何学的側面が特定の方法で関連付けられていなければならない。この関係は、非アルキメデス的な局所体F上の簡約群GとHの軌道積分間の恒等式という形をとる。ここで、 Gの内接群と呼ばれる群Hは、 Gといくつかの追加データから構成される。

最初に検討されたケースは${\displaystyle G={\rm {SL}}_{2}}$（Labesse & Langlands 1979 ）。LanglandsとDiana Shelstad （1987 ）は、内視鏡的伝達理論の一般的な枠組みを開発し、具体的な予想を定式化した。しかし、その後の20年間で、基本補題の証明に向けて部分的な進展しか得られなかった。^{[ 2 ] [ 3 ]} Harrisはこれを「多くの算術的問題に関する進歩を制限するボトルネック」と呼んだ。^{[ 4 ]} Langlands自身は、内視鏡の起源について書いた際に次のようにコメントしている。 

...保型形式の解析理論や志村多様体の算術にとって重要なのは、基本補題そのものではなく、安定化（または安定）トレース公式、群とその内包群に対するトレース公式自体の安定トレース公式への還元、そしてグロタンディーク・レフシェッツ公式の安定化である。これらのどれも基本補題なしには不可能であり、基本補題の欠如は20年以上にわたって進歩をほぼ不可能にしていた。^{[ 5 ]}

基本補題によれば、群Gの軌道積分Oは、伝達係数 Δ を除いて、内視鏡群Hの安定軌道積分SOに等しい( Nadler 2012 )。

${\displaystyle SO_{\gamma _{H}}(1_{K_{H}})=\デルタ (\gamma _{H},\gamma _{G})O_{\gamma _{G}}^{\kappa }(1_{K_{G}})}$

どこ

• Fは局所体であり、
• GはF上で定義された非分岐群、言い換えればF上で定義された準分割還元群であり、 Fの非分岐拡大上で分割される。
• Hはκ に関連するGの分岐しない内視鏡グループです。
• K _GとK _HはGとHの超特殊最大コンパクト部分群であり、おおよそ、 Fの整数環の係数を持つ点の部分群であることを意味します。
• 1 _{K G}および 1 _{K H}はK _GおよびK _Hの特性関数です。
• Δ(γ _H ,γ _G ) は伝達係数であり、γ _Hとγ _Gに依存する特定の初等式です。
• γ _Hと γ _{G は}、安定共役クラスを表すGとHの要素であり、 Gの安定共役クラスはHの安定共役クラスの転送である。
• _κはγGの安定共役類における共役類群の特性である。
• SOとOは安定軌道積分であり、そのパラメータに応じて軌道積分となる。

シェルスタッド（1982）はアルキメデス体の基本補題を証明した。

Waldspurger (1991) は、一般線形群について基本補題を検証した。

コットウィッツ（1992）とブラジウス＆ロガウスキー（1992）は、3次元ユニタリ群の基本補題のいくつかの場合を検証した。

ヘイルズ（1997）とヴァイサウアー（2009）は、シンプレクティック群と一般シンプレクティック群 Sp ₄、 GSp ₄の基本補題を検証した。

George LusztigとDavid Kazhdanの論文では、軌道積分は有限体上の特定の代数多様体上の点の数え上げとして解釈できることが指摘された。さらに、問題の積分はFの剰余体のみに依存する方法で計算でき、この問題は軌道積分のリー代数版に還元できる。その後、この問題は代数群のSpringer ファイバーの観点から再定式化された。^{[ 6 ]}このアイデアの循環は純粋性予想と結びついており、Laumon はユニタリ群に対して、そのような予想に基づく条件付き証明を与えた。LaumonとNgô ( 2008 )は、Ngô ( 2006 )によって導入されたHitchin ファイブレーションを使用して、ユニタリ群の基本補題を証明した 。これは、複素代数幾何学のHitchin システムの抽象的な幾何学的類似物である。 Waldspurger (2006)は、リー代数について、関数体の場合がすべての局所体に関する基本補題を意味することを示し、Waldspurger (2008)は、リー代数に関する基本補題が群に関する基本補題を意味することを示した。  

• Blasius, Don; Rogawski, Jonathan D. (1992)、「U(3) および関連群の基本補題」、Langlands, Robert P.; Ramakrishnan, Dinakar (編)、『ピカールモジュラー曲面のゼータ関数』、モントリオール、ケベック州：モントリオール大学、pp. 363–394、ISBN  978-2-921120-08-1MR 1155234​ 
• Casselman, W. (2009), Langlands' Fundamental Lemma for SL(2) (PDF)
• Dat, Jean-François (2004 年 11 月)、Lemme Fondamental et endoscopy, une approche géométrique, d'après Gérard Laumon et Ngô Bao Châu (PDF)、Séminaire Bourbaki、no 940
• Hales, Thomas C. (1997)、「Sp(4)の基本補題」、アメリカ数学会紀要、125 (1): 301–308、doi : 10.1090/S0002-9939-97-03546-6、ISSN 0002-9939、MR 1346977  
• Harris, M. (編)、Stabilization de la formule des Traces、variétés de Shi Mura、et application arithmétiques、オリジナルから2012 年 4 月 20 日にアーカイブされ、2012 年 1 月 4 日に取得
• Kazhdan, David; Lusztig, George (1988)、「アフィン旗多様体上の不動点多様体」、Israel Journal of Mathematics、62 (2): 129–168、doi : 10.1007/BF02787119、ISSN 0021-2172、MR 0947819  
• Kottwitz、Robert E. (1992)、「いくつかの軌道積分の計算」、Langlands、Robert P.; Ramakrishnan、Dinakar (編)、ピカードモジュラー曲面のゼータ関数、モントリオール、QC: Univ.モントリオール、 349 ～ 362ページ、ISBN  978-2-921120-08-1MR 1155233​ 
• Labesse, Jean-Pierre; Langlands, RP (1979)、「SL(2)のL不可分性」、Canadian Journal of Mathematics、31 (4): 726–785、doi : 10.4153/CJM-1979-070-3、ISSN 0008-414X、MR 0540902、S2CID 17447242   
• Langlands、Robert P. (1983)、Les débuts d'une formule des Traces 安定版、Publications Mathématiques de l'Université Paris VII [パリ第 7 大学の数学出版物]、vol.  13、パリ: パリ第 7 大学 UER de Mathématiques、MR 0697567 
• Langlands, Robert P.; Shelstad, Diana (1987)、「伝達係数の定義について」、Mathematische Annalen、278 (1): 219–271、doi : 10.1007/BF01458070、ISSN 0025-5831、MR 0909227、S2CID 14141632   
• Laaumon、Gérard (2006)、「ラングランズ・シェルスタッドのフォンダメンタル幾何学的側面」、国際数学者会議。 Vol. II、ユーロ。数学。 Soc.、チューリッヒ、pp. 401–419、MR 2275603 、オリジナルから2012-03-15 にアーカイブ、2012-01-09 に取得  
• ローモン、ジェラール。 Ngô, Bao Châu (2008)、「Le lemme Fondamental pour les groupes Unitaires」、Annals of Mathematics、Second Series、168 (2): 477–573、arXiv : math/0404454、doi : 10.4007/annals.2008.168.477、ISSN 0003-486X、MR 2434884、S2CID 119606388   
• ナドラー、デイビッド（2012）、「基本補題の幾何学的性質」、アメリカ数学会紀要、49：1–50、arXiv：1009.1862、doi：10.1090/S0273-0979-2011-01342-8、ISSN 0002-9904、S2CID 30785271  
• Ngô, Bao Châu (2006), "Fibration de Hitchin et endoscopie", Inventiones Mathematicae , 164 (2): 399–453 , arXiv : math/0406599 , Bibcode : 2006InMat.164..399N , doi : 10.1007/s00222-005-0483-7 , ISSN 0020-9910 , MR 2218781 , S2CID 52064585   
• Ngô, Bao Châu (2010)、「Le lemme Fondamental pour les algebres de Lie」、Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques、111 : 1–169、arXiv : 0801.0446、doi : 10.1007/s10240-010-0026-7、ISSN 0073-8301、MR 2653248  
• シェルスタッド、ダイアナ（1982）「実群のL不可分性」、Mathematische Annalen、259（3）：385–430、doi：10.1007/BF01456950、ISSN 0025-5831、MR 0661206、S2CID 121385109   
• Waldspurger、Jean-Loup (1991)、「Sur les intégrales orbitales tordues pour les groupes linéaires: un lemme Fondamental」、Canadian Journal of Mathematics、43 (4): 852–896、doi : 10.4153/CJM-1991-049-5、ISSN 0008-414X、MR 1127034  
• Waldspurger、Jean-Loup (2006)、「Endoscopie et changement de caractéristique」、Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu、5 (3): 423–525、doi : 10.1017/S1474748006000041、ISSN 1474-7480、MR 2241929、S2CID 122919302   
• Waldspurger, Jean-Loup (2008), L'endoscopie tordue n'est pas si tordue [ねじれた内視鏡検査はそれほどねじれていない] (PDF)、アメリカ数学会紀要（フランス語）、第 194巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、p.  261、doi：10.1090/memo/0908、ISBN 978-0-8218-4469-4ISSN 0065-9266、MR 2418405​  
• ヴァイサウアー、ライナー（2009）「GSP(4)の内視鏡検査とシーゲルモジュラー3次元多様体のコホモロジー」、数学講義ノート、第 1968巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、doi：10.1007/978-3-540-89306-6、ISBN 978-3-540-89305-9MR 2498783​ 

• ジェラール・ローモンによるユニタリ群の基本補題に関する講義
• Basken, Paul (2010年9月12日). 「ラングランズの基本補題の理解」 . The Chronicle of Higher Education .