モノイド関数

圏論では、モノイド関手はモノイド構造を保存するモノイド圏間の関手である。より具体的には、2つのモノイド圏間のモノイド関手は、圏間の関手と、2つのコヒーレンス写像（それぞれモノイド乗算と単位を保存する自然変換と射）から構成される。数学者は、モノイド構造をどの程度厳密に保存したいかに応じて、これらのコヒーレンス写像が追加のプロパティを満たすことを要求し、これらのプロパティのそれぞれがモノイド関手のわずかに異なる定義を生み出す。

• 緩いモノイド関数のコヒーレンス マップは追加のプロパティを満たしません。つまり、必ずしも可逆ではありません。
• 強モノイド関数のコヒーレンスマップは可逆である。
• 厳密なモノイド関数のコヒーレンス マップは恒等写像です。

ここではこれらの異なる定義を区別していますが、著者はこれらのいずれかを単にモノイド関数と呼ぶこともできます。

とをモノイド圏とする。からへの緩いモノイド関手（単にモノイド関手とも呼ばれる）は、関手と自然変換から構成される。${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$${\displaystyle ({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \phi _{A,B}:FA\bullet FB\to F(A\otimes B)}$

関数と射の 間${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \phi :I_{\mathcal {D}}\to FI_{\mathcal {C}}}$、

コヒーレンスマップまたは構造射と呼ばれるものは、3つのオブジェクトごとに、および図 の${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

、

   そして   

はカテゴリ において可換である。上で、 を使用して表されたさまざまな自然変換は、および上のモノイド構造の一部である。^[1]${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \alpha,\rho,\lambda}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

• モノイド関手の双対はコモノイド関手です。コモノイド関手は、コヒーレンス写像が逆になっているモノイド関手です。コモノイド関手は、オプモノイド関手、コラックスモノイド関手、またはオプラックスモノイド関手と呼ばれることもあります。
• 強いモノイド関手は、コヒーレンス写像が可逆なモノイド関手です。${\displaystyle \phi _{A,B},\phi }$
• 厳密なモノイド関数は、一貫性写像が恒等写像であるモノイド関数です。
• 編組モノイド関手は、編組モノイド圏（編組は で示される）間のモノイド関手で、内のすべてのオブジェクトA、B のペアに対して次の図が可換となるものです 。${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• 対称モノイド関手は、その定義域と余定義域が対称モノイド圏である編組モノイド関手です。

• アーベル群のカテゴリから集合のカテゴリへの基礎関数。この場合、マップは(a, b) を に送信し、マップは1 に送信します。${\displaystyle U\colon (\mathbf {Ab} ,\otimes _{\mathbf {Z} },\mathbf {Z} )\rightarrow (\mathbf {Set} ,\times ,\{\ast \})​​}$${\displaystyle \phi _{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B)}$${\displaystyle a\otimes b}$${\displaystyle \phi \colon \{*\}\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle \ast}$
• が（可換）環である場合、自由関手は強モノイド関手に拡張されます（ が可換である場合も同様です）。${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathsf {Set}},\to R{\mathsf {-mod}}}$${\displaystyle ({\mathsf {Set}},\sqcup ,\emptyset )\to (R{\mathsf {-mod}},\oplus ,0)}$${\displaystyle ({\mathsf {Set}},\times ,\{\ast \})​​\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes ,R)}$${\displaystyle R}$
• が可換環の準同型である場合、制限関数はモノイドであり、帰納関数は強モノイドです。${\displaystyle R\to S}$${\displaystyle (S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)}$${\displaystyle (R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)\to (S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)}$
• 対称モノイド関数の重要な例として、位相量子場理論の数学的モデルが挙げられます。は、テンソル積が互いに素な和で与えられるn-1,n次元多様体のコボルディズムのカテゴリであり、 は空の多様体です。n次元の位相量子場理論は、対称モノイド関数です。${\displaystyle \mathbf {Bord} _{\langle n-1,n\rangle }}$${\displaystyle F\colon (\mathbf {Bord} _{\langle n-1,n\rangle },\sqcup ,\emptyset )\rightarrow (\mathbf {kVect} ,\otimes _{k},k).}$
• ホモロジー関手は写像 を介してモノイドである。${\displaystyle (Ch(R{\mathsf {-mod}}),\otimes ,R[0])\to (grR{\mathsf {-mod}},\otimes ,R[0])}$${\displaystyle H_{\ast }(C_{1})\otimes H_{\ast }(C_{2})\to H_{\ast }(C_{1}\otimes C_{2}),[x_{1}]\otimes [x_{2}]\mapsto [x_{1}\otimes x_{2}]}$

とが内部ホム関数を持つ閉モノイド圏である場合（読みやすくするために添え字は省略する）、別の定式化が存在する。 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$${\displaystyle ({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})}$${\displaystyle \Rightarrow _{\mathcal {C}},\Rightarrow _{\mathcal {D}}}$

ψ _AB  : F ( A ⇒ B ) → FA ⇒ FB

関数型プログラミングでよく使われるφ _ABのψ _ABとφ _ABの関係は、次の可換図で示されます。

• が内のモノイドオブジェクトである場合、 は内のモノイドオブジェクトです。^[2]${\displaystyle (M,\mu ,\epsilon )}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (FM,F\mu \circ \phi _{M,M},F\epsilon \circ \phi )}$${\displaystyle D}$

関数がモノイダル の左随伴関数であるとします。すると はによって誘導されるコモノイダル構造を持ち、これは次のように定義されます。 ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$${\displaystyle (G,n):({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})\to ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (F,m)}$${\displaystyle (G,n)}$

${\displaystyle m_{A,B}=\varepsilon _{FA\bullet FB}\circ Fn_{FA,FB}\circ F(\eta _{A}\otimes \eta _{B}):F(A\otimes B)\to FA\bullet FB}$

そして

${\displaystyle m=\varepsilon _{I_{\mathcal {D}}}\circ Fn:FI_{\mathcal {C}}\to I_{\mathcal {D}}}$。

上の誘導構造が強い場合、随伴の単位元と余単位元はモノイド自然変換であり、随伴はモノイド随伴であると言われる。逆に、モノイド随伴の左随伴は常に強いモノイド関手である。 ${\displaystyle F}$

同様に、コモノイダル関数の右随伴はモノイダルであり、コモノイダル随伴の右随伴は強いモノイダル関数です。

• モノイド的自然変換

• ケリー、G. マックス (1974)。「教義上の付加」。カテゴリーセミナー。数学の講義ノート。第 420 巻。シュプリンガー。pp. 257–280。doi : 10.1007/ BFb0063105。ISBN 978-3-540-37270-7。
• ペローネ、パオロ (2024)。カテゴリー理論の入門。ワールドサイエンティフィック。doi : 10.1142 / 9789811286018_0005。ISBN 978-981-12-8600-1。