位相量子数

物理学において、トポロジカル量子数（トポロジカル電荷とも呼ばれる）は、物理理論において、位相的な考慮により離散的な値のセットのうちの 1 つだけをとる量である。最も一般的には、トポロジカル量子数は、トポロジカル欠陥または物理システムをモデル化する一連の微分方程式のソリトン型解に関連する位相不変量であり、ソリトン自体の安定性は位相的な考慮によるものである。特定の「位相的な考慮」は通常、問題の記述における基本群または高次元ホモトピー群の出現によるものであり、境界条件が指定される境界に、微分方程式によって保存される非自明なホモトピー群があるためであることが多い。解のトポロジカル量子数は、解の巻き数と呼ばれることもあり、より正確には、連続マッピングの次数である。^[1]

位相量子数が相転移中に生成または破壊されるという概念は、1970年代に凝縮物質物理学で登場した。コステルリッツ・サウレス転移は、 2次元システムの相転移中に、渦のような位相欠陥がどのように生成され、消滅するかを示した。 ^[2]同時に、量子場の理論では、トホーフト・ポリアコフのモノポールモデルが、磁気モノポールなどの位相構造が場の位相に応じてどのように現れたり消えたりするかを示し、位相転移と位相量子数のシフトを結び付けた。^[3] 1980年代には、ハルデーンの理論モデルが、物質がチャーン数のような位相量子数を持ち、それが物質の異なる相につながる可能性があることを示した。この概念は、分数量子ホール効果やトポロジカル絶縁体などの位相相の開発によりさらに探求された。^{[4] [5]}

素粒子物理学では、バリオン数が位相的量子数であるスカーミオンが例である。起源は、アイソスピンがSU(2)によってモデル化され、これが3 次元球面と同型であり、その全単射的関連を通じてSU(2)の群構造を継承するため、同型性は位相群のカテゴリに含まれるという事実に由来する。実 3 次元空間を取り、それを無限遠点で閉じると、3 次元球面も得られる。実 3 次元空間におけるスカーミ方程式の解は、「実」(物理的、ユークリッド) 空間内の点を 3 次元多様体 SU(2) 上の点にマッピングする。位相的に異なる解は、一方の球面を他方の球面に「巻き付ける」ため、一方の解は、どのように変形しても、解に不連続性を作成せずに「巻き付ける」ことはできない。物理学では、このような不連続性は無限のエネルギーと関連しているため、許可されません。 ${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S^{3}}$

上記の例では、位相的な記述は、3次元球面の3番目のホモトピー群は

${\displaystyle \pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z} }$

したがって、重粒子数は整数値のみを取ることができます。

これらの考え方の一般化は、Wess-Zumino-Witten モデルに見られます。

正確に解けるモデルの領域には、サイン・ゴードン方程式、コルテウェグ・ド・フリース方程式、石森方程式などの追加の例があります。1次元のサイン・ゴードン方程式は、そこで作用する基本群が

${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})=\mathbb {Z} }$

は文字通り巻き数です。つまり、円は円の周りを整数回巻き付けることができます。量子サインゴードンモデルは、質量のあるサーリングモデルと同等です。基本励起はフェルミオンです。トポロジカル量子数はフェルミオンの数です。サインゴードンモデルの量子化後、トポロジカル電荷は「分数」になります。紫外線の再正規化を一貫して考慮すると、紫外線カットオフで反発するフェルミオンの分数がわかります。したがって、プランク定数に応じて分数が乗算されます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

固体物理学では、らせん転位などの特定の種類の結晶転位は、トポロジカルソリトンによって記述できます。一例として、ゲルマニウムウィスカーに関連するらせん型転位が挙げられます。

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• Thouless, DJ (1998)。非相対論的物理学におけるトポロジカル量子数。ワールドサイエンティフィック。ISBN 981-02-2900-3。