フロベニウス代数

数学、特に表現論と加群論の分野において、フロベニウス代数は、代数に特に優れた双対性理論を与える特殊な種類の双線型形式を持つ有限 次元 単位結合代数である。フロベニウス代数 は、1930年代にリチャード・ブラウアーとセシル・ネスビットによって研究され始め、ゲオルク・フロベニウスにちなんで名付けられた。中山正は、豊かな双対性理論の始まりを発見した(Nakayama 1939)、(Nakayama 1941)。ジャン・ディエドネは、これを用いてフロベニウス代数を特徴付けた(Dieudonné 1958)。フロベニウス代数は、右正規表現が単射であるネーター環である準フロベニウス環に一般化された。近年、位相的量子場理論との関連から、フロベニウス代数への関心が再燃している。

体k上で定義された有限次元の単位結合代数 Aは、 Aが非退化双線型形式σ  : A × A → kを備え、次の式を満たす場合、フロベニウス代数と呼ばれます: σ ( a · b , c ) = σ ( a , b · c ) 。この双線型形式は、代数の フロベニウス形式と呼ばれます。

同様に、Aに線形汎関数 λ  : A → kを装備して、 λの核にAの非ゼロ左イデアルが含まれないようにすることもできます。

フロベニウス代数は、σが対称である場合、または同等にλ がλ ( a · b ) = λ ( b · a )を満たす場合、対称であると呼ばれます。

ベクトル空間の対称代数という、ほとんど無関係な異なる概念もあります。

上記のようなσを持つフロベニウス代数Aに対して、 σ ( a , b ) = σ ( ν ( b ), a )となるAの自己同型ν は、 Aとσに関連付けられた中山自己同型です。

1. 体k上で定義された任意の行列代数は、フロベニウス形式σ ( a , b )=tr( a · b )を持つフロベニウス代数です。ここで、tr はトレースを表します。
2. 任意の有限次元単位結合代数A は、それ自身の自己準同型環 End( A ) への自然な準同型を持ちます。前の例の意味で、A上に双線型形式を定義できます。この双線型形式が非退化である場合、 Aはフロベニウス代数の構造を備えています。
3. 体k上の有限群Gのすべての群環 k [ G ] は対称フロベニウス代数であり、フロベニウス形式σ ( a , b ) はa · bの単位元の係数によって与えられます。
4. 体kに対して、4 次元k代数k [ x , y ]/( x ² , y ^{2 ) はフロベニウス代数です。これは、以下の可換局所フロベニウス環の特徴付けから導かれます。なぜなら、この環は、} xとyによって生成される最大イデアルと、xyによって生成される唯一の最小イデアルを持つ局所環だからです。
5. 体kに対して、3次元k代数A = k [ x , y ]/ ( x , y ) ^{2 は}フロベニウス代数ではありません。x ↦ yによって誘導されるxAからAへのA準同型は、 AからAへのA準同型に拡張できず、環が自己入射的でないこと、したがってフロベニウスではないことを示しています。
6. 1969 年の Larson-Sweedler のホップ加群と積分に関する定理による、任意の有限次元ホップ代数。

• フロベニウス代数の直積とテンソル積はフロベニウス代数です。
• 体上の有限次元可換局 所代数は、右正則加群が単射である場合に限り、また代数が唯一の極小イデアルを持つ場合に限り、フロベニウスである。
• 可換な局所フロベニウス代数は、まさにその留数体を含みその上で有限次元であるゼロ次元局所ゴレンシュタイン環です。
• フロベニウス代数は準フロベニウス環であり、特に、左および右アルティン環であり、左および右自己入射的です。
• 体kに対して、有限次元の単位結合代数がフロベニウスであるための必要十分条件は、Aの右入射加群 Hom _k ( A , k ) がAの右正規表現に同型であることです。
• 無限体kに対して、有限次元、単位的、結合的k代数は、有限個の極小右イデアルのみを持つ場合、フロベニウス代数となります。
• F がkの有限次元拡大体である場合、有限次元F代数は、スカラーの制限を介して自然に有限次元k代数であり、フロベニウスk代数である場合に限り、フロベニウスF代数です。言い換えると、代数が有限次元代数である限り、フロベニウス特性は体に依存しません。
• 同様に、F がkの有限次元拡大体である場合、すべてのk代数 A は自然にF代数F ⊗ _k Aを生じ、Aがフロベニウスk代数である場合とF ⊗ _k AがフロベニウスF代数である場合に限ります。
• 右正規表現が単射である有限次元の単位結合代数の中で、フロベニウス代数A は、単純加群 MがA双対 Hom _A ( M , A )と同じ次元を持つ代数とまったく同じです。これらの代数の中で、単純加群のA双対は常に単純です。
• 有限次元双フロベニウス代数または厳密な二重フロベニウス代数は、単位フロベニウス代数 ( A , • , 1) と ( A , , ) という 2 つの乗法構造を持つkベクトル空間Aである。つまり、 Aのkへの乗法準同型と(およびが非退化)、およびAのk同型S が存在し、これは両方の構造に対する反自己同型であり、次のようになる。これは、 Aがk上の有限次元ホップ代数であり、Sがその対掌体の場合に正確に当てはまる。有限群の群代数がその一例である。^{[1] [2] [3] [4]}${\displaystyle \star}$${\displaystyle \iota}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \phi (a\cdot b)}$${\displaystyle \varepsilon (a\star b)}$${\displaystyle \phi (a\cdot b)=\varepsilon (S(a)\star b).}$

圏論において、フロベニウス対象の概念は、圏におけるフロベニウス代数の抽象的な定義である。モノイド圏におけるフロベニウス対象は、 Cの対象Aと4つの射から構成される。 ${\displaystyle (A,\mu ,\eta ,\delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I)}$

${\displaystyle \mu :A\otimes A\to A,\qquad \eta :I\to A,\qquad \delta :A\to A\otimes A\qquad \mathrm {and} \qquad \varepsilon :A\to I}$

そのような

• ${\displaystyle (A,\mu ,\eta )\,}$はCのモノイドオブジェクトであり、
• ${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$はCのコモノイドオブジェクトであり、
• 図表

そして

可換であり（簡単のため、ここではモノイド圏Cが正格である場合の図が示されている）、フロベニウス条件として知られている。^[5]

より簡潔に言えば、 Cのフロベニウス代数は、いわゆるフロベニウスモノイド関手 A: 1 → Cです。ここで、1 は1 つのオブジェクトと 1 つの矢印からなるカテゴリです。

フロベニウス代数は、次の場合、等長代数または特殊代数と呼ばれます。 ${\displaystyle \mu \circ \delta =\mathrm {Id} _{A}}$

フロベニウス代数は、もともと有限群の表現論の研究の一環として研究され、数論、代数幾何学、組合せ論の研究に貢献してきました。また、ホップ代数、符号理論、コンパクト有向多様体のコホモロジー環の研究にも使用されています。

最近、それらは位相量子場理論の代数的処理と公理的基礎において重要な役割を果たすことが分かってきました。可換フロベニウス代数は、(1+1)次元TQFTを（同型を除いて）一意に決定します。より正確には、可換フロベニウス代数のカテゴリは、 - （1次元多様体間の2次元コボルディズムのカテゴリ）から（ 上のベクトル空間のカテゴリ）までの対称強モノイド関手のカテゴリと同値です。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle {\textbf {コブ}}}$${\displaystyle {\textbf {ベクトル}}_{K}}$${\displaystyle K}$

TQFT とフロベニウス代数の対応は次のように表されます。

• 1次元多様体は円の不連続な和集合である。TQFTはベクトル空間を円に関連付け、ベクトル空間のテンソル積を円の不連続な和集合に関連付ける。
• TQFTは、多様体間の各共形主義にベクトル空間間の写像を（関数的に）関連付けます。
• ズボンのペアに関連付けられたマップ（1つの円と2つの円の間の共ボルディズム）は、境界成分がどのようにグループ化されているか（可換か余可換か）に応じて、積マップまたは余積マップを与えます。${\displaystyle V\otimes V\to V}$${\displaystyle V\to V\otimes V}$
• ディスクに関連付けられたマップは、境界のグループ化に応じて、コユニット（トレース）またはユニット（スカラー）を提供します。

フロベニウス代数と(1+1)次元TQFTの関係は、ジョーンズ多項式のホバノフの分類を説明するために使用できます。^{[6] [7]}

B を単位結合環Aの単位元を共有する部分環とする。これは環拡大A | Bとも呼ばれる。このような環拡大は、次の場合 フロベニウス環と呼ばれる。

• すべてのb,c ∈ Bおよびa ∈ Aに対して、双加群条件E ( bac ) = bE ( a ) cを満たす線形写像E : A → Bが存在する。
• Aにはおよびで表される元があり、すべてのa ∈ Aに対して次が成り立ちます。${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle \{y_{i}\}_{i=1}^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}E(ax_{i})y_{i}=a=\sum _{i=1}^{n}x_{i}E(y_{i}a)}$

写像E はフロベニウス準同型、要素は双対基底と呼ばれることがあります。(練習問題として、フロベニウス拡大の同等の定義を、 B - B双加群のカテゴリにおけるフロベニウス代数-余代数オブジェクトとして与えることも可能です。この場合、先ほど与えた方程式は余単位Eの余単位方程式になります。) ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$

たとえば、可換環K上のフロベニウス代数Aは、結合的非退化双線型形式 (-,-) と射影 K 基底を持ち、E(a) = ( a ,1)となるフロベニウス拡大A | Kである。フロベニウス拡大の他の例としては、有限指数の部分群に関連付けられた群代数のペア、半単純ホップ代数のホップ部分代数、ガロア拡大、有限指数の特定のフォン・ノイマン代数部分因数などがある。フロベニウス拡大 (およびねじれバージョン) の別の例としては、フロベニウス代数の特定の部分代数ペアがあり、この部分代数は、オーバー代数の対称化自己同型によって安定化される。 ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$

群環の例の詳細は、群論における基本的な概念の次の応用である。G を群とし、H をGにおける有限指数nの部分群とする。g ₁ , ..., g _n . を左剰余類代表とし、Gが剰余類g ₁ H , ..., g _n Hの互いに素な和集合となるようにする。任意の可換基底環 k 上で群代数A = k [ G ] およびB = k [ H ] を定義するので、B はAの部分代数となる。 Hに含まれるすべての h に対してE ( h ) = hとし、Hに含まれないgに対してE ( g ) = 0として、フロベニウス準同型E : A → Bを定義する 。これを基底群の要素からAのすべてに線形に拡張すると、B - B -双加群射影 が得られる。

${\displaystyle E\left(\sum _{g\in G}n_{g}g\right)=\sum _{h\in H}n_{h}h\ \ \ {\text{ for }}n_{g}\in k}$

（正規直交条件は以下に示す。）双対基底は で与えられる。 ${\displaystyle E(g_{i}^{-1}g_{j})=\delta _{ij}1}$${\displaystyle x_{i}=g_{i},y_{i}=g_{i}^{-1}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}g_{i}E\left(g_{i}^{-1}\sum _{g\in G}n_{g}g\right)=\sum _{i}\sum _{h\in H}n_{g_{i}h}g_{i}h=\sum _{g\in G}n_{g}g}$

他の双対基底方程式は、G も右剰余類の互いに素な和集合であるという観察から導かれる。 ${\displaystyle Hg_{1}^{-1},\ldots ,Hg_{n}^{-1}}$

また、ホップ・ガロア拡大は、1989 年の Kreimer と Takeuchi の定理によりフロベニウス拡大となる。この簡単な例として、不変量の部分代数を持つ 代数Aに自己同型で作用する有限群Gがある。

${\displaystyle B=\{x\in A\mid \forall g\in G,g(x)=x\}.}$

DeMeyer の基準によれば、AがB上のGガロアであるためには、 Aに次の条件を満たす元が存在する必要がある: ${\displaystyle \{a_{i}\}_{i=1}^{n},\{b_{i}\}_{i=1}^{n}}$

${\displaystyle \forall g\in G:\ \\ \sum _{i=1}^{n}a_{i}g(b_{i})=\delta _{g,1_{G}}1_{A}}$

そこから

${\displaystyle \forall g\in G:\ \\ \sum _{i=1}^{n}g(a_{i})b_{i}=\delta _{g,1_{G}}1_{A}.}$

このとき、AはBのフロベニウス拡大であり、E : A → Bは次のように定義される。

${\displaystyle E(a)=\sum _{g\in G}g(a)}$

を満たす

${\displaystyle \forall x\in A:\ \ \sum _{i=1}^{n}E(xa_{i})b_{i}=x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}E(b_{i}x).}$

（さらに、分離可能代数拡張の例は、 Aのすべてのaとに対してea = aeを満たす分離可能元であるためである。また、深さ2の部分環（AのB） の例は、${\textstyle e=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes _{B}b_{i}}$${\textstyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=1}$

${\displaystyle a\otimes _{B}1=\sum _{g\in G}t_{g}g(a)}$

どこ

${\displaystyle t_{g}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes _{B}g(b_{i})}$

Gの各gとAの各aについて。

フロベニウス拡大には、1950 年代と 1960 年代に Kasch と Pareigis、Nakayama と Tzuzuku の論文で研究された、よく発達した誘導表現の理論があります。たとえば、各B加群Mに対して、誘導加群A ⊗ _B M ( Mが左加群の場合) と共誘導加群 Hom _B ( A, M ) は、 A加群として自然に同型です(練習問題として、Eと双対基底が与えられた場合に同型を定義します)。1960 年の Kasch の自己準同型環定理は、A | Bがフロベニウス拡大である場合、A → End( A _B ) もフロベニウス拡大であり、マッピングは各a,x ∈ Aに対してa ↦ λ _a ( x ) およびλ _a ( x ) = axで与えられると述べています。自己準同型環定理と逆は、後に Mueller、Morita、Onodera らによって研究されました。

前の段落ですでに示唆したように、フロベニウス拡大には同等のカテゴリ定式化があります。つまり、環拡大が与えられた場合、たとえば左S加群のカテゴリから左R加群のカテゴリへの誘導誘導関数には、それぞれ共制限と制限と呼ばれる左随伴関数と右随伴関数の両方があります。左随伴関数と右随伴関数が自然に同型である場合に限り、 環拡大はフロベニウスと呼ばれます。${\displaystyle S\subset R}$${\displaystyle R\otimes _{S}-\colon {\text{Mod}}(S)\to {\text{Mod}}(R)}$

これにより、通常のカテゴリ理論への明らかな抽象化が導かれます。 随伴は、の場合に限り、フロベニウス随伴と呼ばれます。関手F は、フロベニウス随伴の一部である場合、つまり、同型の左随伴と右随伴を持つ場合に、 フロベニウス関手です。${\displaystyle F\dashvG}$${\displaystyle G\dashv F}$

• ストリート、ロス (2004)。「フロベニウス代数とモノイドカテゴリ」( PDF)。オーストラリア数学協会年次会議。CiteSeerX 10.1.1.180.7082 。