位相弦理論

理論物理学において、トポロジカル弦理論は弦理論の一種である。トポロジカル弦理論は、エドワード・ウィッテンやカムラン・ヴァファなどの理論物理学者の論文に、ウィッテンの以前のトポロジカル量子場理論の考えとの類推で登場した。

位相的弦理論には、位相的 A モデルと位相的 B モデルの 2 つの主なバージョンがあります。位相的弦理論の計算結果は、時空超対称性によって値が保護されている完全な弦理論内のすべての正則量を一般的にエンコードします。位相的弦理論のさまざまな計算は、チャーン-サイモンズ理論、グロモフ-ウィッテン不変量、ミラー対称性、幾何学的ラングランズ計画、およびその他の多くのトピックと密接に関連しています。

位相的弦理論の演算子は、ある量 [ 明確化が必要 ] の超対称性を保存する完全な弦理論の演算子の代数を表します。位相的^弦理論は、通常の弦理論の世界面記述の位相的なひねりによって得られます。演算子には異なるスピンが与えられます。この操作は、関連概念である位相的場の理論の構築と完全に類似しています。したがって、位相的弦理論には局所的な自由度はありません。

弦理論の基本的な弦は 2 次元表面です。各表面では、 N = (1,1)シグマ モデルとして知られる量子場理論が定義されています。この理論は、表面から超多様体への写像で構成されています。物理的には、超多様体は時空として解釈され、各写像は弦の時空への 埋め込みとして解釈されます。

特殊な時空のみが位相弦を許容します。古典的には、理論が追加の超対称性ペアを尊重するような時空を選択しなければならず^{[なぜ? ]}、時空はN = (2,2) シグマモデルになります^{[さらなる説明が必要] 。この特殊なケースは、時空が}ケーラー多様体であり、H フラックスが常にゼロに等しい 場合です。一般化されたケーラー多様体は、非自明な H フラックスを持つことができます。

特殊な背景の通常の弦は決して位相的ではありません^{[なぜ? ]}。これらの弦を位相的にするには、 1988 年にEdward Wittenによって発明された位相的ツイストと呼ばれる手順によってシグマ モデルを修正する必要があります。中心的な観察^{[明確化が必要]}は、これらの^{[どの? ]理論には}R 対称性として知られる 2 つの U(1) 対称性があり、回転と R 対称性を混合することによってローレンツ対称性を修正できる^{[明確化が必要]}ということです。2 つの R 対称性のいずれかを使用して、A モデルと B モデルと呼ばれる 2 つの異なる理論を作成できます。このねじれの後、理論の作用はBRST 正確^{[さらなる説明が必要]}になり、結果として理論にダイナミクスがなくなります。代わりに、すべての観測可能量は構成のトポロジーに依存します。このような理論は位相理論として知られています。

古典的には、この手順は常に可能です。^{[さらなる説明が必要]}

量子力学的には、U(1)対称性は異常である可能性があり、ねじれを不可能にする。たとえば、H = 0 ^{[明確化が必要]}のケーラーの場合、Aモデルにつながるねじれは常に可能ですが、Bモデルにつながるねじれは時空の最初のチャーン類が消える場合にのみ可能であり、これは時空がカラビ・ヤウ^{[明確化が必要]}であることを意味します。より一般的には、(2,2)理論には2つの複雑な構造があり、関連するバンドルの最初のチャーン類の合計がゼロの場合にBモデルが存在し、チャーン類の差がゼロの場合にAモデルが存在します。ケーラーの場合、2つの複雑な構造は同じであるため、差は常にゼロであり、これがAモデルが常に存在する理由です。

時空は一般化ケーラーなので、偶数次元でなければならないという点を除けば、時空の次元数には制限はありません。しかし、球面ではない世界面を持つ相関関数はすべて、時空の複素次元が 3 でない限り消えてしまうため、複素次元が 3 の時空が最も興味深いものとなります。これは現象論にとって幸運なことです。なぜなら、現象論的モデルでは、3 複素次元空間上にコンパクト化された物理的な弦理論がよく使用されるからです。位相弦理論は、同じ空間上であっても物理的な弦理論と同等ではありませんが、特定の^{[どの？ ]}超対称量は 2 つの理論で一致します。

位相的 A モデルには、6 次元の実数一般化ケーラー時空であるターゲット空間が付属しています。時空がケーラーである場合、理論は 2 つのオブジェクトを記述します。2 つの実数次元正則曲線を包む基本弦があります。これらの弦の散乱の振幅は、時空のケーラー形式のみに依存し、複素構造には依存しません。古典的には、これらの相関関数はコホモロジー環によって決定されます。これらを修正してグロモフ–ウィッテン不変量を生成する量子力学的インスタントン効果があり、これは量子コホモロジーと呼ばれる変形コホモロジー環のカップ積を測定します。A モデルの閉じた弦の弦場理論はケーラー重力として知られ、マイケル・ベルシャツキーとウラジミール・サドフによってケーラー重力理論で導入されました。

さらに、時空のラグランジアン部分多様体を包む D2 ブレーンがあります。これらは、次元が時空の半分の部分多様体であり、ケーラー形式の部分多様体への引き戻しが消えます。N 個の D2 ブレーンのスタック上の世界体積理論は、A モデルの開いた弦の弦場理論であり、U(N)チャーン-サイモンズ理論です。

基本的な位相的弦は D2 膜上で終わることがあります。弦の埋め込みはケーラー形式のみに依存しますが、膜の埋め込みは複素構造に完全に依存します。特に、弦が膜上で終わる場合、ケーラー形式と正則3 形式のウェッジ積はゼロであるため、交差は常に直交します。物理的な弦では、これは構成の安定性に必要ですが、ここではケーラー多様体上のラグランジアン サイクルと正則サイクルの特性です。

ラグランジアン部分多様体の半分の次元以外の様々な次元に共等方性ブレーンが存在する可能性がある。これらは、アントン・カプースチンとドミトリ・オルロフがA-ブレーン、ミラー対称性、および深谷カテゴリに関する注釈で 初めて導入した。

B モデルにも基本弦が含まれるが、その散乱振幅は複素構造に完全に依存し、ケーラー構造とは無関係である。特に、それらはワールドシートインスタントン効果の影響を受けないため、多くの場合正確に計算できる。次に、ミラー対称性により A モデルの振幅と関連付けられ、グロモフ-ウィッテン不変量を計算できる。B モデルの閉じた弦の弦場理論は、小平-スペンサー重力理論として知られ、Michael Bershadsky、Sergio Cecotti、Hirosi Ooguri、およびCumrun VafaによってKodaira-Spencer Theory of Gravity and Exact Results for Quantum String Amplitudes で開発された。

B モデルには、それぞれ正則 0、2、4、6 サブマニフォールドを包む D(-1)、D1、D3、D5 ブレーンも付属しています。6 サブマニフォールドは時空の連結成分です。D5 ブレーン上の理論は、正則チャーン・サイモンズ理論として知られています。ラグランジアン密度は、通常のチャーン・サイモンズ理論と、カラビ・ヤウの場合に存在する正則 (3,0) 形式のラグランジアン密度のくさび積です。低次元ブレーン上の理論のラグランジアン密度は、正則チャーン・サイモンズ理論から次元削減によって得ることができます。

7 次元時空を持つ位相的 M 理論は、位相的弦を含まないため位相的弦理論ではありません。ただし、6 次元多様体上の円束上の位相的 M 理論は、その 6 次元多様体上の位相的 A モデルと同等であると推測されています。

特に、A モデルの D2 ブレーンは円束が退化する点、より正確にはカルツァ・クラインの モノポールまで持ち上げられます。A モデルの基本弦は、位相的 M 理論で M2 ブレーンと呼ばれる膜まで持ち上げられます。

_{多くの関心を集めている特殊なケースの 1 つは、G 2}ホロノミーを持つ空間上の位相的 M 理論と、カラビ・ヤウ上の A モデルです。この場合、M2 ブレーンは結合的 3 サイクルを包みます。厳密に言えば、位相的 M 理論の予想はこのコンテキストでのみなされており、この場合、Nigel HitchinがThe Geometry of Three-Forms in Six and Seven Dimensions と Stable Forms and Special Metrics で導入した関数が、低エネルギー有効作用の候補を提供します。

これらの関数は「ヒッチン関数」と呼ばれ、トポロジカルストリングは、一般化複素構造、ヒッチンシステム、ADHM 構成などに関するヒッチンの考えと密接に関連しています。

2次元世界面理論はN = (2,2)超対称 シグマモデルであり、(2,2) 超対称性とは、超対称代数のフェルミオン生成子、いわゆるスーパーチャージが、各カイラリティの2つのマヨラナ・ワイルスピノルからなる単一のディラックスピノルに組み立てられることを意味する。このシグマモデルは位相的にねじれており、超対称代数に現れるローレンツ対称生成子が、 R対称性の1つの作用を介して物理的時空を同時に回転させ、フェルミオン方向も回転させることを意味する。2次元N = (2,2) 場の理論のR対称群はU(1) × U(1)であり、2つの異なる因子によるねじれがそれぞれAモデルとBモデルにつながる。位相的ねじれ構造の位相弦理論は、エドワード・ウィッテンが1988年の論文で導入した。 ^[1]

応力エネルギーテンソルは、スーパーチャージと別のフィールドの反交換子として記述できるため、位相的なねじれは位相理論につながります。応力エネルギーテンソルは、作用の計量テンソルへの依存性を測定するため、Q不変演算子のすべての相関関数は計量から独立していることを意味します。この意味で、理論は位相的です。

より一般的には、作用における任意のD 項（超空間全体にわたる積分として表される任意の項）は、超電荷の反交換子であり、したがって位相的観測量には影響しません。さらに一般的には、B モデルでは、フェルミオン座標にわたる積分として表される任意の項は寄与しませんが、A モデルでは、または にわたる積分である任意の項は寄与しません。これは、A モデルの観測量は超ポテンシャルとは独立しているが（ のみにわたる積分として表すことができるため）、ねじれた超ポテンシャルに正則に依存することを意味し、B モデルではその逆になります。 ${\displaystyle {\overline {\theta }}^{\pm }}$${\displaystyle \theta ^{-}}$${\displaystyle {\overline {\theta }}^{+}}$${\displaystyle {\overline {\theta }}^{\pm }}$

上記の理論には、いくつかの双対性が関連している。2 つのミラー多様体上の A モデルと B モデルは、ミラー対称性によって関連しており、これは3 次元トーラス上のT 双対性として説明されている。同じ多様体上の A モデルと B モデルは、S 双対性によって関連していると推測されており、これは、 NS5 ブレーンからの類推で NS ブレーンと呼ばれる、元のブレーンと同じサイクルを逆の理論でラップするいくつかの新しいブレーンの存在を意味している。また、A モデルと B モデルとその共役の和の組み合わせは、一種の次元削減によってトポロジカル M 理論に関連付けられている。ここで、A モデルと B モデルの自由度は同時に観測可能ではなく、量子力学における位置と運動量の間に類似した関係があるように見える。

B モデルとその共役の和が上記の双対性に現れるのは、それがヒッチンの形式論によって低エネルギー有効作用が記述されると予想される理論だからである。これは、B モデルが正則異常の影響を受けるためであり、これは、複素量への依存性が古典的には正則であるが、非正則な量子補正を受けるというものである。「弦理論における量子背景独立性」で、エドワード・ウィッテンは、この構造は複素構造の空間を幾何学的に量子化すると見られる構造に類似していると主張した。この空間が量子化されると、次元の半分だけが同時に交換されるため、自由度の数が半分になる。この半分にすることは、偏極と呼ばれる任意の選択に依存する。共役モデルには失われた自由度が含まれているため、B モデルとその共役をテンソル化することで、失われた自由度をすべて再取得し、偏極の任意の選択への依存も排除する。

また、開いた弦で記述される D ブレーンを持つ構成と、ブレーンがフラックスで置き換えられたブレーンを持つ構成、および失われたブレーンの近地平線幾何学で記述される幾何学を持つ構成を関連付ける双対性も多数存在します。後者は閉じた弦で記述されます。

おそらく最初のそのような双対性は、Rajesh GopakumarとCumrun VafaがOn the Gauge Theory/Geometry Correspondence で導入した Gopakumar-Vafa 双対性です。これは、変形円錐体上の A モデルの 3 次元球面上の N 個の D6 膜のスタックを、Bフィールドが弦結合定数の N 倍に等しい分解円錐体上の A モデルの閉じた弦理論に関連付けます。A モデルの開いた弦は U(N) Chern–Simons 理論によって記述され、A モデル上の閉じた弦理論は Kähler 重力によって記述されます。

円錐体は分解されると言われていますが、拡大された 2 次元球面の面積は 0 であり、面積の複素部分であると考えられる B 場だけがゼロではありません。実際、チャーン-サイモンズ理論は位相的であるため、変形された 3 次元球面の体積を 0 に縮小して、双対理論と同じ形状に到達できます。

この双対性の鏡像双対は別の双対性であり、これは、分解された円錐体内の 2 サイクルを包む膜上の B モデルの開いた弦を、変形された円錐体上の B モデルの閉じた弦に関連付けるものです。B モデルの開いた弦は、弦が終わる膜上の同型チャーン-サイモンズ理論の次元縮小によって記述され、B モデルの閉じた弦は小平-スペンサー重力によって記述されます。

論文「量子カラビ・ヤウと古典結晶」で、Andrei Okounkov、Nicolai Reshetikhin、Cumrun Vafa は、量子 A モデルは弦結合定数の逆数に等しい温度で古典融解結晶と双対であると予想しました。この予想はAmer Iqbal、Nikita Nekrasov、Andrei Okounkov、Cumrun Vafaによる「量子泡とトポロジカル弦」で解釈されました。彼らは、融解結晶構成の統計的和は、弦結合定数と α' の積の秩序領域を持つ小さな領域でサポートされる時空トポロジーの変化の経路積分と同等であると主張しています。

このような構成は、時空が多数の小さな泡で満たされており、1964年のジョン・アーチボルド・ホイーラーにまで遡りますが、弦理論では正確に表現するのが非常に難しいため、めったに登場していません。しかし、この双対性において、著者らは量子泡のダイナミクスを、位相的にねじれたU(1)ゲージ理論の馴染みのある言語で表現することができ、その場の強度はAモデルのケーラー形式と線形関係にあります。特に、これはAモデルのケーラー形式が量子化されるべきであることを示唆しています。

A モデルの位相弦理論振幅は、 4 次元および 5 次元のN=2 超対称ゲージ理論におけるプレポテンシャルを計算するために使用されます。フラックスやブレーンを含む位相 B モデルの振幅は、4 次元のN=1超対称ゲージ理論におけるスーパーポテンシャルを計算するために使用されます。摂動 A モデルの計算では、5 次元の回転するブラックホールの BPS 状態も計算されます。

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• M理論入門

• Neitzke, Andrew; Vafa, Cumrun (2004). 「トポロジカルストリングとその物理的応用」. arXiv : hep-th/0410178 .
• Dijkgraaf, Robbert; Gukov, Sergei; Neitzke, Andrew; Vafa, Cumrun (2005). 「重力の形式理論の統一としての位相的 M 理論」. Adv. Theor. Math. Phys . 9 (4): 603–665. arXiv : hep-th/0411073 . Bibcode :2004hep.th...11073D. doi :10.4310/ATMP.2005.v9.n4.a5. S2CID  1204839.
• arxiv.org のトポロジカル弦理論
• Naqvi, Asad (2006). 「トポロジカル ストリングス」(PDF- Microsoft PowerPoint ) . Asad Naqvi -ウェールズ大学、スウォンジー、イギリス.国立物理学センター.