団結の根源

数学において、単位根は、ド・モアブル数とも呼ばれ、正の整数n乗したときに 1 になる複素数です。単位根は数学の多くの分野で使用され、特に数論、群の指標の理論、離散フーリエ変換で重要です。

単位根は任意の体で定義できます。体 の特性が 0 の場合、根は複素数であり、代数的整数でもあります。正の特性を持つ体の場合、根は有限体に属し、逆に有限体の 0 以外のすべての要素は単位根です。代数的に閉じた体には、 n が体の (正の) 特性の倍数である場合を除いて、正確に n乗の 単位根が含まれます 。

n乗根( nは正の整数)は、次式を満たす数zである^{[1] [2] 。} 特に指定がない限り、乗根は複素数( nが偶数の場合は 1 と -1 も含み、これらは虚数部がゼロの複素数である) とみなすことができ、この場合、n乗根は^{[3]である。} $${\displaystyle z^{n}=1.}$$ $${\displaystyle \exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.}$$

しかし、単位根の定義式は任意の体F（および任意の環） 上でも意味があり、これによりF内の単位根を考えることができます。体Fが何であれ、 F内の単位根は、Fの標数が 0 の場合は複素数であり、それ以外の場合は有限体に属します。逆に、有限体内のすべての非ゼロ元は、その体内の単位根です。詳細については、 「n を法とする単位根」および「有限体」を参照してください。

ｎ乗根は次のように言われる。原始的とは、より小さいmm乗根でない場合、つまり^[4][5]

${\displaystyle z^{n}=1\quad {\text{and}}\quad z^{m}\neq 1{\text{ for }}m=1,2,3,\ldots ,n-1.}$

nが素数の場合、1を除くすべてのn乗根は原始根である。^[6]

上記の指数関数と三角関数の式では、原始n乗根はkとnが互いに素な整数である根です。

この記事の以降のセクションでは、複素単位根について説明します。非ゼロ特性の体における単位根については、「有限体 § 単位根」を参照してください。モジュラー整数の環における単位根については、 「 nを法とする単位根」を参照してください。

すべてのn乗根zは、何らかのa ≤ nに対して原始a乗根であり、 a ≤ n はz ^a = 1となる最小の正の整数です。

任意のn乗根の整数乗もn乗根である^[7]。

${\displaystyle (z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.}$

これは負の指数にも当てはまります。特に、n乗根の逆数はその複素共役であり、これもn乗根です。^[8]

${\displaystyle {\frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.}$

もしzがn乗根でa≡b (mod n )ならばza = zbとなる。実際、 nを法とする合同の定義により、ある整数kに対してa= ^b + knとなり^、したがって

${\displaystyle z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}(z^{n})^{k}=z^{b}1^{k}=z^{b}.}$

したがって、 zの累乗z ^{a が}与えられると、 z ^a = z ^{r が}成立します。ここで、 0 ≤ r < nは、 aをnでユークリッド除算した余りです。

z を原始n乗根とします。すると、累乗z、z ²、...、  z ^{n −1}、z ⁿ = z ⁰ = 1はn乗根となり、すべて互いに異なります。( z ^a = z ^bで1 ≤ a < b ≤ nの場合、z ^{b − a} = 1となり、 z は原始的でないことになります。) つまり、 z、z ²、...、  z ^{n −1}、z ⁿ = z ⁰ = 1はすべてn乗根となります。これは、体 (この場合は複素数体) 上のn次多項式方程式には最大でn個の解があるためです。

以上のことから、zが原始n乗根である場合、となることが分かります。zが原始根でない場合は となりますが、 その逆は偽となることがあります。次の例をご覧ください。n = 4の場合、原始根でないn乗根はz = –1であり、 となりますが、${\displaystyle z^{a}=z^{b}}$ ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}.}$${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$${\displaystyle z^{a}=z^{b},}$${\displaystyle z^{2}=z^{4}=1}$${\displaystyle 2\not \equiv 4{\pmod {4}}.}$

zを原始n乗根とする。zの累乗w = z ^kは原始a乗根 である。

${\displaystyle a={\frac {n}{\gcd(k,n)}},}$

ここで はnとkの最大公約数です。これは、 ka がkの最小の倍数であり、かつnの倍数でもあるという事実から生じます。言い換えると、ka はkとnの最小公倍数です。したがって ${\displaystyle \gcd(k,n)}$

${\displaystyle a={\frac {\operatorname {lcm} (k,n)}{k}}={\frac {kn}{k\gcd(k,n)}}={\frac {n}{\gcd(k,n)}}.}$

したがって、kとnが互いに素である場合、z ^kも原始n乗根であるため、φ ( n )個の異なる原始n乗根が存在します (ここでφはオイラーのトーティエント関数)。これは、 n が素数である場合、+1を除くすべての根が原始根である ことを意味します。

言い換えれば、R( n )がすべてのn乗根の集合であり、 P( n )が原始根の集合である場合、R( n )はP( n )の互いに素な和集合である。

${\displaystyle \operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),}$

ここで、この表記は、 d が1とn を含むnのすべての正の約数を通過することを意味します。

R( n )の濃度はnであり、P( n )の濃度はφ ( n )なので、これは古典的な式である

${\displaystyle \sum _{d\,|\,n}\varphi (d)=n.}$

2 つの 1 乗根の積と逆数も 1 乗根です。実際、x ^m = 1かつy ⁿ = 1の場合、( x ⁻¹ ) ^m = 1かつ( xy ) ^k = 1となります。ここで、k はmとnの最小公倍数です。

したがって、単位根は乗法の下でアーベル群を形成します。この群は円群の捩れ部分群です。

整数nについて、 2 つのn乗根の積と逆数もn乗根です。したがって、n乗根は乗法に関してアーベル群を形成します。

原始n乗根ωが与えられれば、他のn乗根はωのべき乗です。つまり、n乗根群は巡回群です。巡回群という用語は、この群が円群の部分群であるという事実に由来していることは注目に値します。

を原始n乗根ωによって生成される有理数の体拡大とする。すべてのn乗根はωのべき乗なので、体にはすべてのn乗根が含まれ、のガロア拡大となる。${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

kが整数の場合、 ω ^kは原始n乗根であるためにはkとnが互いに素でなければならない。この場合、写像

${\displaystyle \omega \mapsto \omega ^{k}}$

は の自己同型を誘導し、これは 1 のn乗根をそのk乗に写す。 のすべての自己同型はこのようにして得られ、これらの自己同型は有理数体上 の のガロア群を形成する。${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$

べき乗の規則によれば、このような自己同型写像​​の合成は指数を掛け合わせることで得られる。したがって、写像

${\displaystyle k\mapsto \left(\omega \mapsto \omega ^{k}\right)}$

nを法とする整数環の単位とガロア群の間の群同型性を定義する。${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega ).}$

これは、このガロア群がアーベル群であることを示しており、したがって、単位元の原始根が根号で表現できることを意味します。

単位の原始根の実部は、の最小多項式の根として互いに関連しています。最小多項式の根は実部のちょうど 2 倍です。これらの根は巡回ガロア群を形成します。 ${\displaystyle 2\cos(2\pi /n).}$

ド・モアブルの公式は、すべての実数 xと整数nに対して有効であり、

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}$

設定x = ⁠2π/ん⁠ は原始的なn乗根を与える。つまり、

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,}$

しかし

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1}$

k = 1, 2, …, n − 1である。言い換えれば、

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

は原始的なn乗根です。

この式は、複素平面において、単位円に内接する正n辺多角形の頂点に1 の n乗根があり、そのうちの 1 つの頂点が 1 にあることを示しています (右側のn = 3とn = 5のグラフを参照)。この幾何学的事実により、円分体や円分多項式などの語句で「円分」という用語が使用されています。この語源は、ギリシャ語の「cyclo」(円) と「tomos」(切る、割る) を組み合わせたものです。

オイラーの公式

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

これはすべての実数xに対して有効であり、1のn乗根の式を次の形に 置き換えることができる。

${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\quad 0\leq k<n.}$

前のセクションの議論から、これが原始n乗根であるのは、分数⁠け/ん⁠ は最小の項で表されます。つまり、 kとn は互いに素です。1の根の実部として表される無理数、つまり として表される無理数は、三角数と呼ばれます。 ${\displaystyle \cos(2\pi k/n)}$

定義により、 n次単位根は多項式x ⁿ − 1の根であり、したがって代数的数です。この多項式は既約ではないため ( n = 1を除く)、原始n次単位根は、より低い次数の既約多項式 (整数上) の根であり、n次円分多項式と呼ばれ、Φ _nと表記されることがよくあります。 Φ _nの次数はオイラーのトーティエント関数によって与えられ、これは (他のものとともに) 原始n次単位根の数を数えます。 ^[9] Φ _nの根は、まさに原始n次単位根です。

ガロア理論は、円分多項式が根号で簡単に解けることを示すために使用できます。(自明な形式は、円分多項式の根ではない 1 などの非原始根を含み、実部と虚部を別々に与えないため、便利ではありません。) これは、各正の整数nに対して、根の抽出、加算、減算、乗算、除算 (他の操作はなし) によって整数から構築された式が存在し、原始n乗根が、根の抽出に値を選択することによって取得できる値の集合とまったく同じであることを意味します ( k乗根に対してk個の可能な値)。(詳細については、下の § 円分体を参照してください。) ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{1}}}$

ガウスは、原始的なn乗根は、コンパスと定規で正 n 角形を作図できる場合にのみ、平方根、加算、減算、乗算、除算のみを使用して表現できることを証明しました。これは、 n が2 の累乗であるか、2 の累乗とすべて異なる フェルマー素数の積である場合に限ります。

z が原始n乗根である場合、 1/ zについても同じことが当てはまり、zの実部の 2 倍になります。言い換えると、Φ _{n は}逆数多項式であり、 r を根とする多項式は逆数多項式の標準的な操作によってΦ _nから演繹でき、原始n乗根は の根から二次方程式を解くことで演繹できます。つまり、原始根の実部はであり、その虚部はです。${\displaystyle r=z+{\frac {1}{z}}}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle z^{2}-rz+1=0.}$${\displaystyle {\frac {r}{2}},}$${\displaystyle \pm i{\sqrt {1-\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}}}.}$

多項式は、根がすべて実数である既約多項式です。その次数が 2 の累乗である場合、かつその場合のみ、n は2 の累乗と異なるフェルマー素数の積 (空の場合もある) の積であり、正n角形はコンパスと定規で作図可能です。それ以外の場合、この多項式は根号で解けますが、そのうちの 1 つは既約条件、つまり根号による根号のすべての表現には非実数根号が含まれます。 ${\displaystyle R_{n}}$

• n = 1の場合、円分多項式はΦ ₁ ( x ) = x − 1です。したがって、唯一の原始的な 1 乗根は 1 であり、これはすべてのn > 1 に対して非原始的なn乗根です。
• Φ ₂ ( x ) = x + 1なので、唯一の原始2乗根（平方根）は -1 であり、これはn > 2の偶数のすべての原始n乗根でもあります。前の場合と合わせて、実数根のリストはこれで完了です。
• Φ ₃ ( x ) = x ² + x + 1なので、この2次多項式の根である原始3乗根は、$${\displaystyle {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\ {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}$$
• Φ ₄ ( x ) = x ² + 1なので、 2つの原始4乗根はiと− iです。
• Φ ₅ ( x ) = x ⁴ + x ³ + x ² + x + 1なので、4 つの原始 5 乗根はこの 4 次多項式 の根であり、これを根号で明示的に解くと、根が得られます。ここで、 は1 と −1 (2 回とも同じ値) の 2 つの値を取る場合があります。$${\displaystyle {\frac {\varepsilon {\sqrt {5}}-1}{4}}\pm i{\frac {\sqrt {10+2\varepsilon {\sqrt {5}}}}{4}},}$$${\displaystyle \varepsilon }$
• Φ ₆ ( x ) = x ² − x + 1なので、2つの原始3乗根の負数（平方根でもある）である原始6乗根が2つあります。$${\displaystyle {\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},\ {\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}$$
• 7 はフェルマー素数ではないので、7 乗根は立方根を必要とする最初の根です。 6 つの原始 7 乗根があり、これらは複素共役です。 根とその共役の和は、その実部の 2 倍です。 これら 3 つの和は、3 次多項式の 3 つの実根であり、原始 7 乗根は、r が上記の多項式の根を横切る場合です。 すべての 3 次多項式と同様に、これらの根は平方根と立方根で表すことができます。 ただし、これら 3 つの根はすべて実数であるため、これは既約原因であり、このような表現には実数でない 3 乗根が含まれます。${\displaystyle r^{3}+r^{2}-2r-1,}$$${\displaystyle {\frac {r}{2}}\pm i{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{4}}}},}$$
• Φ ₈ ( x ) = x ⁴ + 1なので、4つの原始8乗根は原始4乗根±  iの平方根である。したがって、$${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\pm i{\frac {\sqrt {2}}{2}}.}$$
• 17 乗根の実部については、16 角形を参照してください。

zが原始n乗根で ある場合、べき乗の列は

… 、  z ⁻¹、  z ⁰、  z ¹、…

はn周期的である（すべてのjの値に対してz ^{j  +  n} = z ^j z ⁿ = z ^jであるため）、n個のべき乗の列

s _k : … 、  z ^{k ⋅(−1)}、  z ^{k ⋅0}、  z ^{k ⋅1}、…

k = 1, … ,  n はすべてn周期である（z k ⋅( j + n ) = z k ⋅ j であるため）。^{さらに、これら の 数列の}集合{ ^{s 1 ,} … , s n } は、すべてのn_周期数列 の_線形空間の基底である。これは、任意のn周期複素数数列が

…、  x ₋₁  、  x ₀  、  x ₁、…

原始的なn乗根の 累乗の線形結合として表現できます。

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}X_{k}\cdot z^{k\cdot j}=X_{1}z^{1\cdot j}+\cdots +X_{n}\cdot z^{n\cdot j}}$

いくつかの複素数X ₁ , … ,  X _nと任意の整数jに対して。

これはフーリエ解析の一種です。jが（離散）時間変数の場合、kは周波数、X _{k は}複素振幅です。

原始n乗根 を選択する

${\displaystyle z=e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

x _{j を}cosとsinの線形結合として表すことができます。

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}A_{k}\cos {\frac {2\pi jk}{n}}+\sum _{k}B_{k}\sin {\frac {2\pi jk}{n}}.}$

これは離散フーリエ変換です。

SR( n )を原始根であろうとなかろうと、 すべてのn乗根の合計とする。すると

${\displaystyle \operatorname {SR} (n)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1.\end{cases}}}$

これはヴィエタの公式から直接導かれる結果です。実際、n乗根は多項式X ⁿ – 1の根であり、その和はn – 1次係数であり、 n = 1かn > 1かに応じて 1 か 0 になります。

あるいは、n = 1の場合、証明するものは何もありませんが、n > 1の場合、根z ≠ 1が存在します。すべてのn乗根の集合Sは群であるため、z S = Sであり、したがって、合計はz SR( n ) = SR( n )を満たし、したがってSR( n ) = 0 です。  

SP( n )をすべての原始n乗根 の合計とすると、

${\displaystyle \operatorname {SP} (n)=\mu (n),}$

ここでμ ( n )はメビウス関数である。

基本的性質の節では、R( n )がすべてのn乗根の集合であり、 P( n )が原始根の集合である場合、R( n )はP( n )の互いに素な和集合であることが示されました。

${\displaystyle \operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),}$

これは、

${\displaystyle \operatorname {SR} (n)=\sum _{d\,|\,n}\operatorname {SP} (d).}$

メビウス反転公式を適用すると、

${\displaystyle \operatorname {SP} (n)=\sum _{d\,|\,n}\mu (d)\operatorname {SR} \left({\frac {n}{d}}\right).}$

この式において、d < nの場合、SR( ⁠ん/d⁠ ) = 0 であり、 d = nの場合: SR( ⁠ん/d⁠ ) = 1。したがって、 SP( n ) = μ ( n )。

これはラマヌジャンの和c _n ( s ) ^[10]の特別な場合c _n (1)であり、原始n乗根のs乗の和として定義されます。

${\displaystyle c_{n}(s)=\sum _{a=1 \atop \gcd(a,n)=1}^{n}e^{2\pi i{\frac {a}{n}}s}.}$

和の公式から直交関係が導かれる：j  = 1, … ,  nおよびj′  = 1, … ,  nの場合

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {z^{j\cdot k}}}\cdot z^{j'\cdot k}=n\cdot \delta _{j,j'}}$

ここで、δ はクロネッカーのデルタであり、z は任意の 原始n乗根です。

n  ×  n 行列 Uの( j ,  k )番目の要素は

${\displaystyle U_{j,k}=n^{-{\frac {1}{2}}}\cdot z^{j\cdot k}}$

は離散フーリエ変換を定義します。ガウス消去法を使用して逆変換を計算するには、 O ( n ³ )回の演算が必要です。ただし、直交性から、 Uはユニタリであることがわかります。つまり、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {U_{j,k}}}\cdot U_{k,j'}=\delta _{j,j'},}$

したがって、Uの逆関数は単純に複素共役です。(この事実は、ガウスが三角関数の補間問題を解く際に初めて指摘されました。) Uまたはその逆関数を特定のベクトルに直接適用するには、 O ( n ² )回の演算が必要です。高速フーリエ変換アルゴリズムにより、演算回数はさらにO ( n  log  n )に削減されます。

多項式の 零点

${\displaystyle p(z)=z^{n}-1}$

は、それぞれ重複度が1である、正確にn乗の単位根です。n乗円分多項式は、その零点がそれぞれ重複度が 1 である、正確にn乗の単位根であるという事実によって定義されます。

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{k=1}^{\varphi (n)}(z-z_{k})}$

ここで、z ₁、  z ₂、  z ₃、…、z _{φ( n )}は原始n乗根、φ( n )はオイラーのトーシェント関数である。多項式Φ _n ( z )は整数係数を持ち、有理数上の既約多項式である（つまり、有理数係数を持つ2つの正次多項式の積として表すことはできない）。^[9]素数nの場合は、一般的な主張よりも簡単で、アイゼンシュタインの基準を多項式に 適用することでわかります。

${\displaystyle {\frac {(z+1)^{n}-1}{(z+1)-1}},}$

二項定理によって展開します。

任意のn乗根は、nのちょうど1つの正の約数dに対して原始d乗根となる。これは[ ^9]

${\displaystyle z^{n}-1=\prod _{d\,|\,n}\Phi _{d}(z).}$

この式は多項式z ⁿ − 1を既約因数に因数分解することを表しています。

${\displaystyle {\begin{aligned}z^{1}-1&=z-1\\z^{2}-1&=(z-1)(z+1)\\z^{3}-1&=(z-1)(z^{2}+z+1)\\z^{4}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)\\z^{5}-1&=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{6}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\\z^{7}-1&=(z-1)(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{8}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)(z^{4}+1)\\\end{aligned}}}$

この式に メビウス反転を適用すると、

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{\frac {n}{d}}-1\right)^{\mu (d)}=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{d}-1\right)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},}$

ここでμはメビウス関数である。したがって最初のいくつかの円分多項式は

Φ ₁ ( z ) = z − 1

Φ ₂ ( z ) = ( z ² − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z + 1

Φ ₃ ( z ) = ( z ³ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ² + z + 1

Φ ₄ ( z ) = ( z ⁴ − 1)⋅( z ² − 1) ⁻¹ = z ² + 1

Φ ₅ ( z ) = ( z ⁵ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1

Φ ₆ ( z ) = ( z ⁶ − 1)⋅( z ³ − 1) ⁻¹ ⋅( z ² − 1) ⁻¹ ⋅( z − 1) = z ² − z + 1

Φ ₇ ( z ) = ( z ⁷ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ⁶ + z ⁵ + z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1

Φ ₈ ( z ) = ( z ⁸ − 1)⋅( z ⁴ − 1) ⁻¹ = z ⁴ + 1

p が素数であれば、 1 を除くすべてのp乗根は原始p乗根です。したがって、^[6] z に 2 以上の任意の正の整数を代入すると、この合計はz を底とするレプユニットになります。したがって、レプユニットが素数であるための必要条件（十分条件ではない）は、その長さが素数であることです。 $${\displaystyle \Phi _{p}(z)={\frac {z^{p}-1}{z-1}}=\sum _{k=0}^{p-1}z^{k}.}$$

一見するとそう思えませんが、すべての円分多項式の係数が 0、1、または -1 であるとは限らないことに注意してください。最初の例外はΦ ₁₀₅です。係数の挙動はnではなく、 nに奇数の素因数がいくつ現れるかによって決まるため、例を挙げるのにこれほど時間がかかるのは当然です。より正確には、 n に1 つまたは 2 つの奇数の素因数がある場合 (たとえば、n  = 150 )、n番目の円分多項式の係数は 0、1、または -1 のみであることがわかります。したがって、0、1、または -1 以外の係数が存在する可能性がある最初のn は、3 つの最小の奇数の素数の積であり、3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105です。これだけでは105番目の多項式に別の係数があることは証明されませんが、それが機能する可能性のある最初の多項式であることを示しています（そして係数を計算するとそれが機能することが示されます）。 シューアの定理によれば、係数の絶対値が任意に大きい円分多項式があります。 特に、が奇数の素数でtが奇数の場合、1 − tはn番目の円分多項式の係数として現れます。^[11]${\displaystyle n=p_{1}p_{2}\cdots p_{t},}$${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{t}}$${\displaystyle p_{1}+p_{2}>p_{t},}$

円分多項式が整数値でとることができる値については、多くの制約が知られています。たとえば、pが素数の場合、d ≡ 1 (mod p )の場合にのみ、d  ∣ Φ _p ( d ) が成り立ちます。

円分多項式は根号で解ける。これは、根号自体が根号だからである。さらに、根号の値（例えば、平方根の符号）を選択することによって得られる式のすべての値は、原始的なn乗根号であるという追加の特性^{[12]を持つ、} n乗根のより有益な根号式が存在する。これは、1797 年にガウスによって既に示されていた。 ^[13]このような式を計算するための効率的なアルゴリズムが存在する。^[14]

n乗根は乗法のもとでn次巡回群を形成し、実際これらの群は複素数体の乗法群の有限部分群のすべてを構成します。この巡回群の生成元は原始n乗根です。

単位のn乗根は、位数nの任意の巡回群の既約表現を形成します。直交関係は、特性群で説明されている群論的原理からも得られます。

単位根は、任意の巡回行列、つまり巡回シフトに対して不変な行列の固有ベクトルの要素として現れ、この事実は、ブロッホの定理の変形としての群表現論からも導かれます。^{[15] [ページが必要]}特に、巡回エルミート行列（たとえば、周期境界を持つ離散化された1次元ラプラシアン^[16]）を考慮すると、エルミート行列の固有ベクトルの通常の直交性から、直交性の性質が直ちに導かれます。

原始的なn乗根を1に付加するとn乗円分体が得られる。この体にはすべてのn乗根が含まれており、n乗円分多項式の分解体である。体拡大の次数はφ( n )で、そのガロア群は環の単位の乗法群と自然に同型である。${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n)).}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}$

のガロア群はアーベル群なので、これはアーベル拡大である。円分体のあらゆる部分体は有理数のアーベル拡大である。したがって、あらゆるn乗根はk乗根で表すことができ、kは φ( n )を超えない。これらの場合、ガロア理論はガウス周期で明示的に記述できる。ガウスの『算術論』に出てくるこの理論はガロアより何年も前に出版された。^[17]${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$

逆に、有理数のすべてのアーベル拡大は円分体のそのような部分体です。これはクロネッカーの定理の内容であり、ウェーバーが証明を完成させたという理由で 、通常はクロネッカー-ウェーバーの定理と呼ばれます。

n = 1, 2の場合、 1と−1の両方の根は整数です。

nの値が 3 つの場合、 1 の根は2 乗の整数になります。

• n = 3, 6の場合、それらはアイゼンシュタイン整数( D = −3 )です。
• n = 4の場合、それらはガウス整数( D = −1 )です。虚数単位を参照してください。

nの他の 4 つの値については、原始的な 1 の根は 2 次整数ではありませんが、任意の 1 の根とその複素共役(これもn乗 1 の根) の和は 2 次整数になります。

n = 5, 10の場合、実数でない 1 の根（4 次方程式を満たす）はいずれも 2 次整数ではないが、各根とその複素共役（これも 1 の 5 次根）の和z + z = 2  Re zは環 Z [ ⁠1 +  √ 5/2⁠ ] ( D = 5)。2組の非実数の5乗根の場合、これらの合計は逆 黄金比と負の黄金比になります。

n = 8の場合、任意の 1 の根 z + zは 0、±2、または ± √ 2 ( D = 2 )のいずれかになります。

n = 12の場合、任意の 1 の根に対して、 z + z は0、±1、±2、または ± √ 3 ( D = 3 )のいずれかになります。

• アルガンシステム
• 円群、単位複素数
• 円分体
• 統一の根源のグループ図
• ディリクレ特性
• ラマヌジャンの和
• ウィットベクトル
• タイヒミュラーの性格

• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556、Zbl  0984.00001
• ミルン、ジェームズ S. (1998)。「代数的数論」。コースノート。
• ミルン、ジェームズ S. (1997)。「クラスフィールド理論」。コースノート。
• ノイキルヒ、ユルゲン(1999)。代数学ザーレン理論。Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 322. ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.
• ノイキルヒ、ユルゲン (1986)。クラスフィールド理論。ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 3-540-15251-2。
• ワシントン、ローレンス C. (1997)。円分体入門(第 2 版)。ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 0-387-94762-0。
• ダービーシャー、ジョン(2006)。「統一のルーツ」。数量不明。ワシントン DC:ジョセフ・ヘンリー・プレス。ISBN 0-309-09657-X。