タクシーの形状

タクシー幾何学またはマンハッタン幾何学は、一般的なユークリッド距離を無視し、2点間の距離をそれぞれの直交座標の絶対差の合計として定義する幾何学です。この距離関数 (またはメトリック) は、タクシー距離、マンハッタン距離、または街区距離と呼ばれます。この名前はマンハッタン島、または一般的にはタクシーが街区方向に沿ってのみ移動できる長方形の街路網を持つ計画都市を指します。タクシー幾何学では、任意の 2 点間の距離は、最短の街路網の長さに等しくなります。この距離の定義の違いにより、曲線の長さの定義も異なり、任意の2 点間の線分の長さは、ユークリッド長さではなく、それらの点間の街路網の長さと同じになります。

タクシー距離は直線距離またはL ¹距離（L ^p空間を参照）とも呼ばれる。^[1]この幾何学は18世紀から回帰分析で使用されており、 LASSOと呼ばれることが多い。その幾何学的解釈は19世紀の非ユークリッド幾何学にまで遡り、ヘルマン・ミンコフスキーによるものである。

2次元の 実座標空間 では、 2点間のタクシー距離はです。つまり、それは両方の座標の差の 絶対値の合計です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$${\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right|}$

固定直交座標系を持つn次元実座標空間内の2 点間のタクシー距離 は、点間の線分の座標軸への投影の長さの合計です。より正式には、たとえば では、と間のタクシー距離は次のようになります。${\displaystyle d_{\text{T}}}$${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}){\text{ および }}\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$$${\displaystyle d_{\text{T}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\left\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \right\|_{\text{T}}=\sum _{i=1}^{n}\left|p_{i}-q_{i}\right|}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2})}$${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2})}$${\displaystyle \left|p_{1}-q_{1}\right|+\left|p_{2}-q_{2}\right|.}$

L ^{1計量は、1757 年に}ロジャー・ジョセフ・ボスコヴィッチによって回帰分析の適合度の尺度として使用されました。^[2]これを幾何学的空間内の点間の距離として解釈するようになったのは、19 世紀後半の非ユークリッド幾何学の発展に遡ります。特に、これは 1910 年にフリジェシュ・リースとヘルマン・ミンコフスキーの両著作に登場しています。タクシー幾何学を特殊なケースとして含むL ^p空間の形式化はリースによるものです。^[3]ヘルマン・ミンコフスキーは数の幾何学を発展させる中で、ミンコフスキー不等式を確立し、これらの空間がノルムベクトル空間を定義すると述べました。^[4]

タクシー幾何学という名称は、1952年にシカゴ科学産業博物館で一般向けの幾何学展に添付された小冊子『You Will Like Geometry』の中でカール・メンガーによって導入された。 ^[5]

タクシー距離はユークリッド空間に重ねられた追加の構造として考えられ、座標系の方向に依存し、空間のユークリッド回転によって変化しますが、並進や軸に沿った反射の影響を受けません。タクシー幾何学は、角度の合同をユークリッドの概念と正確に一致するように定義できないことを除いて、ヒルベルトの公理（ユークリッド幾何学の形式化）をすべて満たし、合同なタクシー角度の妥当な定義では、一般に2つのタクシー合同な辺とその間のタクシー合同な角度を持つ三角形は合同な三角形ではないため、辺-角-辺の公理は満たされません。

任意の距離空間において、球面は特定の中心点から固定距離（半径）にある点の集合です。ユークリッド球面は円形で回転対称ですが、タクシー距離では、球面の形状は交差多面体（正八面体のn次元一般化）であり、その点は次の式を満たします。 ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle d_{\text{T}}(\mathbf {p} ,\mathbf {c} )=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}-c_{i}|=r,}$

ここでは中心、rは半径です。原点を中心とする半径 1 の球である単位球上の点は、次の式を満たします。${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\textstyle d_{\text{T}}(\mathbf {p} ,\mathbf {0} )=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}|=1.}$

2 次元のタクシー幾何学では、球 (円と呼ばれる) は座標軸に対して斜めに向いた正方形です。右の図は、青い中心から一定の距離にある正方形のグリッド上のすべての点の集合を赤で示しています。グリッドが細かくなるにつれて、赤い点の数が増え、極限では連続した傾斜した正方形になる傾向があります。各辺の長さは 2 rなので、円周は8 rです。したがって、タクシー幾何学では、円周と直径の比である円定数πの類似値は4 に等しくなります。

閉じた球（2 次元の場合は閉じた円盤）は、特定の中心から半径以下の距離にある点の集合である、塗りつぶされた球体です。正方グリッド上のセル オートマトンの場合、タクシーディスクはその中心から範囲rのフォン ノイマン近傍です。

平面上のチェビシェフ距離( L _∞メトリック)の半径rの円は、座標軸に平行な辺の長さが 2 rの正方形でもあるため、平面チェビシェフ距離は、回転とスケーリングによって平面タクシー距離と同等と見なすことができます。ただし、L ₁メトリックと L _∞メトリック間のこの同等性は、高次元には一般化されません。

これらの円の集合内の各ペアに空でない交差点がある場合は常に、集合全体の交差点が存在します。したがって、マンハッタン距離は単射距離空間を形成します。

を連続的に微分可能な関数とする。をある区間 上のグラフの弧の長さとする。区間を等しい無限小区間に分割し、 をその部分弧の長さとする。すると[ 6 ^]${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle \Delta s_{i}}$${\displaystyle i^{\text{th}}}$

$${\displaystyle \Delta s_{i}=\Delta x_{i}+\Delta y_{i}=\Delta x_{i}+|f(x_{i})-f(x_{i-1})|.}$$

平均値定理によれば、との間にはとなる点が存在する。^[7] すると、前の式は次のように書ける。 ${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i-1}}$${\displaystyle f(x_{i})-f(x_{i-1})=f'(x_{i}^{*})dx_{i}}$

$${\displaystyle \Delta s_{i}=\Delta x_{i}+|f'(x_{i}^{*})|\Delta x_{i}=\Delta x_{i}(1+|f'(x_{i}^{*})|).}$$

すると、が任意に小さくなるにつれて、上のの各分割の合計として与えられます。${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}\Delta x_{i}(1+|f'(x_{i}^{*})|)\\&=\int _{a}^{b}1+|f'(x)|\,dx\end{aligned}}}$

これをテストするには、原点を中心とする半径 のタクシー円を取ります。その第1象限の曲線は次のように表され、その長さは ${\displaystyle r}$${\displaystyle f(x)=-x+r}$

$${\displaystyle s=\int _{0}^{r}1+|-1|dx=2r}$$

この値に残りの象限を掛けると となり、これはタクシーの円の円周と一致する。 ^[8]次に、原点を中心とする半径 のユークリッド円を取り、これは で与えられる。その第1象限における円弧の長さは で与えられる。 ${\displaystyle 4}$${\displaystyle 8r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{0}^{r}1+|{\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}|dx\\&=x+{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\bigg |}_{0}^{r}\\&=r-(-r)\\&=2r\end{aligned}}}$$

残りの象限を考慮すると、再び となる。したがって、タクシー円の円周とタクシー計量におけるユークリッド円の円周は等しい。^[9]実際、区間 にわたって連続導関数を持つ単調かつ微分可能な任意の関数について、区間 におけるの弧の長さは である。^[10]${\displaystyle 4\times 2r=8r}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle (b-a)+\mid f(b)-f(a)\mid }$

2つの三角形が合同であるためには、対応する3辺の距離が等しく、対応する3つの角度の大きさが等しいことが必要である。ユークリッド幾何学には三角形の合同を保証する定理がいくつかある。角-角-辺（AAS）、角-辺-角（ASA）、辺-角-辺（SAS）、辺-辺-辺（SSS）である。しかし、タクシー幾何学ではSASASだけが三角形の合同を保証する。^[11]

たとえば、角度が 45-90-45 である 2 つの直角二等辺タクシー三角形を考えてみましょう。両方の三角形の 2 つの辺のタクシーの長さは 2 ですが、斜辺は合同ではありません。この反例により、AAS、ASA、および SAS が排除されます。また、AASS、AAAS、さらには ASASA も排除されます。3 つの角度と 2 つの辺が合同であっても、タクシー幾何学における三角形の合同は保証されません。したがって、タクシー幾何学における唯一の三角形合同定理は SASAS であり、対応する 3 つの辺はすべて合同でなければならず、少なくとも 2 つの対応する角度は合同でなければなりません。^[12]この結果は主に、タクシー幾何学において線分の長さがその向きに依存するという事実によるものです。

不確定な線形方程式系を解く場合、パラメータベクトルの正規化項はベクトルのノルム（タクシー幾何学）で表現されます。 ^{[13]このアプローチは、}圧縮センシングと呼ばれる信号回復フレームワークに登場します。 ${\displaystyle \ell _{1}}$

タクシーキャブジオメトリは、離散頻度分布の違いを評価するために使用できます。たとえば、RNAスプライシングでは、スプライス部位近くの各ヌクレオチドに各ヘキサマーが出現する確率をプロットするヘキサマーの位置分布をL1距離と比較できます。各位置分布はベクトルとして表すことができ、各エントリはヘキサマーが特定のヌクレオチドで始まる可能性を表します。2つのベクトル間のL1距離が大きいことは、分布の性質に大きな違いがあることを示し、距離が小さいことは分布の形状が似ていることを示します。これは、2つの分布曲線間の面積を測定することと同じです。各セグメントの面積は、その時点での2つの曲線の尤度の絶対差であるためです。すべてのセグメントについて合計すると、L1距離と同じ測定値が得られます。^[14]

• チェビシェフ距離
• ハミング距離– 2つの2進数文字列間の異なるビット数
• リー距離
• 直交凸包 – 区間内の各軸平行線と交差する最小のスーパーセット
• 階段のパラドックス- ますます細くなる「階段曲線」の長さの限界は、曲線が向かう対角線の長さに比例しないというパラドックス

• タクシーの信号付きメートル法

• ガードナー、マーティン(1997)。「10. タクシーキャブの幾何学」。最後のレクリエーション。コペルニクス。pp . 159–176。ISBN 0-387-94929-1。
• クラウス、ユージン F. (1975)。タクシーキャブの幾何学。アディソン・ウェスレー。ISBN 0201039346。Dover (1986) より再版、ISBN 0-486-25202-7。 

• Weisstein、Eric W.「タクシーメトリック」。MathWorld。
• マルケヴィッチ、ジョー (2007 年 10 月 1 日)。「タクシー!」アメリカ数学会。2019年10 月 6 日閲覧。