モンテカルロ法

モンテカルロ法、またはモンテカルロ実験は、数値結果を得るために繰り返しランダムサンプリングを利用する計算 アルゴリズムの幅広いクラスです。基本的な概念は、原則として決定論的である可能性のある問題をランダム性を使用して解決することです。名前はモナコのモンテカルロカジノに由来しています。この方法の主な開発者である数学者スタニスワフ・ウラムは、叔父のギャンブル癖に触発されました。

モンテカルロ法は、主に最適化、数値積分、確率分布からの抽出という 3 つの異なる問題クラスで使用されます。また、原子力発電所の故障リスクの計算など、入力に重大な不確実性がある現象をモデル化するためにも使用できます。モンテカルロ法は、コンピューター シミュレーションを使用して実装されることが多く、数学的に解析するのが難しい問題や複雑すぎる問題に対して近似解を提供できます。

モンテカルロ法は、物理学、化学、生物学、統計学、人工知能、金融、暗号学など、科学、工学、数学のさまざまな分野で広く使用されています。また、社会学、心理学、政治学などの社会科学にも応用されています。モンテカルロ法は、20 世紀の最も重要で影響力のあるアイデアの 1 つとして認識されており、多くの科学技術の進歩を可能にしました。

モンテカルロ法には、精度と計算コストのトレードオフ、次元の呪い、乱数ジェネレータの信頼性、結果の検証と妥当性確認など、いくつかの制限と課題もあります。

モンテカルロ法はさまざまですが、特定のパターンに従う傾向があります。

1. 可能な入力のドメインを定義する
2. ドメイン上の確率分布からランダムに入力を生成する
3. 出力の決定論的計算を実行する
4. 結果を集計する

たとえば、単位正方形に内接する象限（扇形）を考えてみましょう。それらの面積の比が⁠π/4⁠ πの値はモンテカルロ法で近似できる: ^[1]

1. 正方形を描き、その中に四分円を描きます
2. 指定された数の点を正方形に均等に散布する
3. 象限内の点の数、つまり原点からの距離が1未満の点の数を数えます。
4. 内部カウントと総サンプル数の比率は、2つの領域の比率の推定値です。π/4⁠ . 結果に 4 を掛けてπ を推定します。

この手順では、入力のドメインは象限を囲む正方形です。正方形に粒子を散布してランダムな入力を生成し、各入力に対して計算を実行します (象限内に収まるかどうかをテストします)。結果を集約すると、最終結果、つまりπの近似値が得られます。

重要な考慮事項が 2 つあります。

1. 点が均一に分布していない場合、近似は不十分になります。
2. 正方形全体にランダムに数個の点が配置されている場合、近似値は一般的に低くなります。平均的には、配置する点の数が増えるほど近似値は向上します。

モンテカルロ法を使用するには大量の乱数が必要であり、その使用には疑似乱数ジェネレーターの大きな利点がありました。疑似乱数ジェネレーターは、統計的サンプリングに以前使用されていた乱数表よりもはるかに高速に使用できます。

モンテカルロ法は、物理学や数学の問題でよく使用され、他のアプローチが困難または不可能な場合に最も役立ちます。モンテカルロ法は主に、^[2] 最適化、数値積分、確率分布からの抽出の3つの問題クラスで使用されます。

物理学関連の問題では、モンテカルロ法は、流体、無秩序な物質、強く結合した固体、細胞構造（ 細胞ポッツモデル、相互作用粒子システム、マッキーン・ブラソフ過程、気体の運動モデルを参照）など、多くの結合自由度を持つシステムをシミュレートするのに役立ちます。

その他の例としては、ビジネスにおけるリスクの計算や、数学における複雑な境界条件を伴う多次元定積分の評価など、入力に重大な不確実性を伴う現象のモデリングが挙げられます。システムエンジニアリングの問題（宇宙、石油探査、航空機設計など）への応用では、モンテカルロベースの故障、コスト超過、スケジュール超過の予測は、人間の直感や他の「ソフト」な方法よりも常に優れています。^[3]

原則として、モンテカルロ法は確率的解釈を持つあらゆる問題の解決に使用できます。大数の法則により、あるランダム変数の期待値によって記述される積分は、変数の独立したサンプルの経験的平均（別名「サンプル平均」）を取ることによって近似できます。変数の確率分布がパラメーター化されている場合、数学者はマルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）サンプラーをよく使用します。^{[4] [5] [6]}中心的な考え方は、所定の定常確率分布を持つ賢明なマルコフ連鎖モデルを設計することです。つまり、極限では、MCMC法によって生成されるサンプルは、目的の（ターゲット）分布からのサンプルになります。^{[7] [8]}エルゴードの定理により、定常分布はMCMCサンプラーのランダム状態の経験的尺度によって近似されます。

他の問題では、目的は、非線形発展方程式を満たす一連の確率分布からドローを生成することです。これらの確率分布のフローは、常に、遷移確率が現在のランダム状態の分布に依存するマルコフ過程のランダム状態の分布として解釈できます（ McKean-Vlasov 過程、非線形フィルタリング方程式を参照）。^{[9] [10]}他の例では、サンプリングの複雑さのレベルが増加する確率分布のフローが発生します（時間範囲が増加するパス空間モデル、温度パラメータの減少に関連するボルツマン-ギブス測度など）。これらのモデルは、非線形マルコフ連鎖のランダム状態の法則の発展と見ることもできます。^{[10] [11]}これらの洗練された非線形マルコフ過程をシミュレートする自然な方法は、過程のコピーを複数サンプリングし、発展方程式でランダム状態の未知の分布をサンプリングされた経験的測度に置き換えることです。従来のモンテカルロ法や MCMC 法とは対照的に、これらの平均場粒子法は、連続した相互作用するサンプルに依存しています。平均場という用語は、各サンプル(別名、粒子、個体、歩行者、エージェント、生物、または表現型) がプロセスの経験的尺度と相互作用するという事実を反映しています。システムのサイズが無限大に近づくと、これらのランダムな経験的尺度は非線形マルコフ連鎖のランダム状態の決定論的分布に収束し、粒子間の統計的相互作用は消滅します。

ある集団の期待値 μを知りたい（そしてμ が存在することはわかっている）が、それを計算する公式がないとしよう。単純なモンテカルロ法では、n 回のシミュレーションを実行し、シミュレーション結果を平均することでμの推定値が得られる。この方法では、シミュレーションへの入力の確率分布に制限はなく、入力がランダムに生成され、互いに独立していることと、μ が存在することだけが要求される。nが十分に大きいと、 mの値はμに任意に近いものになる。より正式には、任意のε > 0 に対して、 | μ – m | ≤ εとなる。^[12]

通常、 mを求めるアルゴリズムは

s = 0; 
 i = 1 ～nの場合、i 回目
   のシミュレーションを実行し、結果r i を 生成します。
    s = s + r i ;
繰り返し
m = s / n ;

3 つの 8 面サイコロを何回投げれば、サイコロの出目の合計が少なくともTになるかを知りたいとします。期待値が存在することはわかっています。サイコロの出目はランダムに分布し、互いに独立しています。したがって、単純なモンテ カルロ法が適用できます。

s = 0; 
 i = 1 からnまで  、Tに達するか最初に T を超えるまで
   3 つのサイコロを投げます。r i =投げる回数。s
    = s + r i 。繰り返しm = s / n。

nが十分に大きい場合、任意のε > 0に対してm はμのε以内になります。

ε = | μ – m | > 0とします。目的の信頼度レベル(モンテカルロ アルゴリズムが完了したときに、m が実際にμのε以内にある確率) を選択します。z をその信頼度レベルに対応するzスコアとします。

s ^{2 を}推定分散（「サンプル」分散とも呼ばれる）とします。これは、比較的少数の「サンプル」シミュレーションkから得られた結果の分散です。k を選択してください。Driels と Shin は、「必要な数よりも 1 桁少ないサンプル サイズでも、その数の計算は非常に安定しています」と述べています。^[13]

次のアルゴリズムは、累積した数値誤差が誤った結果を生み出す可能性を最小限に抑えながら、 s ^2を1回のパスで計算します。^[12]

1 = 0 ;
シミュレーションを初めて実行し、結果を生成します。 r 1 ;
 m 1 = r 1 ; // m i は
、i = 2 からkまでの最初の 
   i回のシミュレーションの平均です。シミュレーションを i 回目に実行し、結果
   を生成します。r i ; δ i = r i - m i -1 ; 
   m i = m i-1  + (1/ i ) δ i ; 
   s i = s i-1  + (( i - 1)/ i )( δ i ) 2 ;
繰り返し
s 2 = s k /( k - 1);

アルゴリズムが完了すると、m _{k は}k 個の結果の平均になることに注意してください。

nが十分に大きい場合

${\displaystyle n\geq s^{2}/(z\epsilon )^{2}}$^{[12] [13]}

n ≤ kの場合、m _k = mです。つまり、 m _{k が}μのε以内であることを確認するために十分なサンプル シミュレーションが実行されました。n > kの場合、n 回のシミュレーションを「最初から」実行できます。または、 k 回のシミュレーションがすでに実行されているため、 n – k回以上のシミュレーションを実行し、その結果をサンプル シミュレーションの結果に追加できます。

s = mk * k ;​
i = k + 1 からn
   まで、シミュレーションを i 回目に実行し、結果r i ; s =
    s + r i ; m =
 s / n ;を返します。

すべてのシミュレーション結果が上下に制限される特殊な場合には、別の式を使用できます。

εの値は、 μとmの最大許容差の 2 倍にしてください。0 < δ < 100 を、パーセンテージで表した希望の信頼水準とします。すべてのシミュレーション結果r ₁、r ₂、 … r _i、 … r _{n は}、有限のaとbに対してa ≤ r _i ≤ bとなるものとします。 | μ – m | < ε /2 となるδ以上の信頼度を得るには、 nの値として次の値を使用します。

${\displaystyle n\geq 2(ba)^{2}\ln(2/(1-(\delta /100)))/\epsilon ^{2}}$

例えばδ = 99%の場合、n ≥ 2( b – a ) ² ln(2/0.01)/ ε ² ≈ 10.6( b – a ) ² / ε ²となる。^[12]

概念的およびアルゴリズム的に単純であるにもかかわらず、モンテカルロシミュレーションに関連する計算コストは​​驚くほど高くなる可能性があります。一般に、この方法では、良好な近似値を得るために多くのサンプルが必要であり、1つのサンプルの処理時間が長い場合は、合計実行時間が任意に大きくなる可能性があります。 ^[14]これは非常に複雑な問題では厳しい制限となりますが、アルゴリズムの並列性により、ローカルプロセッサ、クラスター、クラウドコンピューティング、GPU、FPGAなどの並列コンピューティング戦略を通じて、この大きなコストを（おそらく実現可能なレベルまで）削減できます。^{[15] [16] [17] [18]}

モンテカルロ法が開発される前は、シミュレーションによって、すでに理解されている決定論的な問題をテストし、統計的サンプリングを使用してシミュレーションの不確実性を推定していました。モンテカルロ シミュレーションでは、このアプローチを逆転させ、確率的メタ ヒューリスティックを使用して決定論的な問題を解決します(シミュレーテッド アニーリングを参照)。

モンテカルロ法の初期の変種は、ビュフォンの針問題を解くために考案されました。この問題では、等間隔の平行なストリップでできた床に針を落とすことでπを推定することができます。1930年代に、エンリコ・フェルミは中性子拡散の研究中に初めてモンテカルロ法の実験を行いましたが、この研究は発表しませんでした。^[19]

1940年代後半、スタニスワフ・ウラムはロスアラモス国立研究所で核兵器プロジェクトに取り組んでいたときに、マルコフ連鎖モンテカルロ法の現代版を発明した。1946年、ロスアラモスの核兵器物理学者は、核兵器の中心部における中性子の拡散を調査していた。^[19]中性子が原子核に衝突する前に物質内を移動する平均距離や、衝突後に中性子が放出するエネルギーの量など、必要なデータのほとんどを持っていたにもかかわらず、ロスアラモスの物理学者は、従来の決定論的な数学的手法では問題を解くことができなかった。ウラムはランダムな実験を使用することを提案した。彼はその着想のきっかけについて次のように語っている。

私が最初に考えたこと、そしてモンテカルロ法を実践しようとしたきっかけは、1946年に病気から回復し、ソリティアをしていたときに浮かんだ疑問でした。その疑問とは、52枚のカードで並べたキャンフィールド ソリティアが成功する確率はどれくらいか、ということでした。純粋な組み合わせ計算でその確率を推定しようとかなりの時間を費やした後、私は「抽象的な思考」よりももっと実用的な方法は、例えば100回並べ、成功した回数を観察して数えることではないかと考えました。これは、高速コンピュータの新時代の始まりとともにすでに想定可能であり、私はすぐに中性子拡散の問題や数理物理学の他の問題、そしてもっと一般的には、特定の微分方程式で記述されたプロセスを、ランダム操作の連続として解釈できる同等の形式に変換する方法を思いつきました。その後[1946年]、私はジョン フォン ノイマンにそのアイデアを説明し、実際の計算を計画し始めました。^[20]

秘密であったため、フォン・ノイマンとウラムの研究にはコード名が必要だった。^[21]フォン・ノイマンとウラムの同僚であるニコラス・メトロポリスは、ウラムの叔父が親戚からギャンブルをするためにお金を借りていたモナコのモンテカルロ・カジノにちなんで、モンテカルロという名前を使うことを提案した。 ^[19]モンテカルロ法は、当時の計算ツールによって大きく制限されていたものの、水素爆弾の設計を含む、戦後の核兵器のさらなる開発に必要なシミュレーション の中心であった。フォン・ノイマン、ニコラス・メトロポリスらは、1948年春に、核分裂兵器のコアのモンテカルロ計算を初めて完全に自動化したコンピュータENIACをプログラムした。 ^[22] 1950年代には、モンテカルロ法はロスアラモスで水素爆弾の開発に使用され、物理学、物理化学、オペレーションズ・リサーチの分野で普及した。ランド研究所と米国空軍は、この時期にモンテカルロ法の資金提供と情報の普及に責任を負っていた 2 つの主要組織であり、モンテカルロ法はさまざまな分野で幅広く応用され始めました。

より洗練された平均場型粒子モンテカルロ法の理論は、1960年代半ばまでに、流体力学で生じる非線形放物型偏微分方程式のマルコフ解釈に関するヘンリー・P・マッキーン・ジュニアの研究によって確実に始まっていました。 ^{[23] [24] 1951年に発表された}セオドア・E・ハリスとハーマン・カーンの初期の先駆的な論文では、粒子の透過エネルギーを推定するために平均場遺伝型モンテカルロ法が使用されました。^{[25]平均場遺伝型モンテカルロ法は、進化計算におけるヒューリスティックな自然探索アルゴリズム（別名メタ}ヒューリスティック）としても使用されています。 これらの平均場計算手法の起源は、1950年と1954年のアラン・チューリングの遺伝型突然変異選択学習機械の研究^[26]と、ニュージャージー州プリンストン高等研究所のニルス・オール・バリチェリの論文にまで遡ることができます。^{[27] [28]}

量子モンテカルロ法、より具体的には拡散モンテカルロ法は、ファインマン-カッツ経路積分の平均場粒子モンテカルロ近似として解釈することもできます。^{[29] [30] [31] [32] [33] [34] [35]}量子モンテカルロ法の起源は、1948年に中性子連鎖反応の平均場粒子解釈を開発したエンリコ・フェルミとロバート・リヒトマイヤーに帰せられることが多いが、 ^[36]量子システムの基底状態エネルギーを推定する（縮小行列モデルにおける）最初のヒューリスティックな遺伝的粒子アルゴリズム（別名リサンプルモンテカルロ法または再構成モンテカルロ法）は、1984年のジャック・H・ヘザリントンによるものである。^{[35]分子化学において、遺伝的ヒューリスティックな粒子方法論（別名プルーニングおよびエンリッチメント戦略）の使用は、1955年の}マーシャル・N・ローゼンブルースとアリアナ・W・ローゼンブルースの独創的な研究にまで遡ることができる。^[37]

高度な信号処理やベイズ推論におけるシーケンシャル モンテ カルロ法の使用は比較的最近のことである。1993 年、Gordon らは、ベイズ統計推論におけるモンテ カルロ再サンプリングアルゴリズムの初めての応用を、その独創的な研究^[38]で発表した。著者らは、そのアルゴリズムを「ブートストラップ フィルタ」と名付け、他のフィルタリング方法と比較して、ブートストラップ アルゴリズムは状態空間やシステムのノイズに関する仮定を必要としないことを示した。この分野におけるもう 1 つの先駆的な論文は、関連する「モンテ カルロ フィルタ」に関する Genshiro Kitagawa の論文^[39]と、1990 年代半ばに発表された Pierre Del Moral ^[40]および Himilcon Carvalho、Pierre Del Moral、André Monin、Gérard Salut ^[41]による粒子フィルタに関する論文である。粒子フィルタは、1989年から1992年にかけて、LAAS-CNRSのP. Del Moral、JC Noyer、G. Rigal、G. Salutによって信号処理分野でも開発されました。STCAN（Service Technique des Constructions et Armes Navales）、IT企業DIGILOG、LAAS-CNRS（システム分析アーキテクチャ研究所）との共同研究で、レーダー/ソナーおよびGPS信号処理の問題に関する一連の限定的かつ機密扱いの研究報告書が発表されました。^{[42] [43] [44] [45] [46] [47]}これらのシーケンシャルモンテカルロ法は、相互作用するリサイクルメカニズムを備えた受け入れ-拒否サンプラーとして解釈できます。

1950年から1996年まで、計算物理学と分子化学で導入された剪定モンテカルロ法と再サンプルモンテカルロ法を含む、逐次モンテカルロ法に関するすべての出版物は、さまざまな状況に適用された自然でヒューリスティックなアルゴリズムを提示しているが、その一貫性の証明は1つもなく、推定値の偏りや系図と祖先ツリーに基づくアルゴリズムについての議論もない。これらの粒子アルゴリズムの数学的基礎と最初の厳密な分析は、1996年にピエールデルモラルによって書かれた。^{[40] [48]}

1990年代後半には、Dan Crisan、Jessica Gaines、Terry Lyonsによって、異なる集団サイズを持つ分岐型粒子法も開発されました。 ^{[49] [50] [51]}また、Dan Crisan、Pierre Del Moral、Terry Lyonsによっても開発されました。^[52]この分野のさらなる発展は、1999年から2001年にかけて、P. Del Moral、A. Guionnet、L. Micloによって説明されました。^{[30] [53] [54]}

モンテカルロをどのように定義すべきかについてはコンセンサスが得られていません。たとえば、Ripley ^{[55] は、確率的モデリングのほとんどを}確率的シミュレーションと定義し、モンテカルロはモンテカルロ積分とモンテカルロ統計検定に限定しています。Sawilowsky ^{[56] は}、シミュレーション、モンテカルロ法、モンテカルロシミュレーションを区別しています。シミュレーションは現実の架空の表現であり、モンテカルロ法は数学的または統計的な問題を解決するために使用できる手法であり、モンテカルロシミュレーションは繰り返しサンプリングを使用して何らかの現象 (または動作) の統計的特性を取得します。

以下にいくつか例を挙げます。

• シミュレーション:区間 [0,1] から1 つの疑似ランダム一様変数を抽出して、コインを投げるシミュレーションを行うことができます。値が 0.50 以下の場合は結果を表として指定しますが、値が 0.50 より大きい場合は結果を裏として指定します。これはシミュレーションですが、モンテ カルロ シミュレーションではありません。
• モンテカルロ法: テーブルの上にコインの入った箱を出し、表と裏が出るコインの比率を計算するのは、コインを繰り返し投げたときの挙動を決定するモンテカルロ法ですが、シミュレーションではありません。
• モンテカルロ シミュレーション: 一度に [0,1] の区間から多数の擬似ランダム一様変数を抽出し、 0.50 以下の値を表、0.50 より大きい値を裏として割り当てるモンテカルロ シミュレーションは、コインを繰り返し投げる動作のモンテカルロ シミュレーションです。

カロスとホイットロック^[57]は、このような区別を維持するのは必ずしも容易ではないと指摘している。例えば、原子からの放射線の放出は自然な確率過程である。これは直接シミュレートすることも、その平均的な動作を確率方程式で記述してモンテカルロ法で解くこともできる。「実際、同じコンピュータ コードを「自然なシミュレーション」として、または自然なサンプリングによる方程式の解として同時に表示することもできます。」

モンテカルロシミュレーションの収束は、ゲルマン・ルビン統計で確認できます。

この方法の背後にある主な考え方は、結果が繰り返されるランダムサンプリングと統計分析に基づいて計算されるというものです。モンテカルロシミュレーションは、実際には、これらの実験の結果がよくわかっていない場合のランダムな実験です。モンテカルロシミュレーションは、通常、多くの未知のパラメータによって特徴付けられ、その多くは実験的に得るのが困難です。^{[58]モンテカルロシミュレーション法では、必ずしも}真にランダムな数が有用である必要はありません（ただし、素数テストなどの一部のアプリケーションでは、予測不可能性が不可欠です）。^[59]最も有用な手法の多くは、決定論的な疑似ランダムシーケンスを使用しており、シミュレーションのテストと再実行が容易です。優れたシミュレーションを行うために通常必要な唯一の品質は、疑似ランダムシーケンスがある意味で「十分にランダム」に見えることです。

これが何を意味するかはアプリケーションによって異なりますが、通常は一連の統計テストに合格する必要があります。シーケンスの要素が十分に多い場合に、数値が均一に分布しているか、または別の望ましい分布に従っているかをテストすることは、最も単純で最も一般的な方法の 1 つです。連続するサンプル間の弱い相関関係も、多くの場合望ましい/必要です。

サウィロウスキーは高品質のモンテカルロシミュレーションの特徴を次のように挙げている。^[56]

• （疑似乱数）数値ジェネレータには特定の特性がある（例えば、シーケンスが繰り返されるまでの長い「期間」）
• （疑似乱数）数値生成器は、ランダム性のテストに合格する値を生成します。
• 正確な結果を保証するのに十分なサンプルがある
• 適切なサンプリング技術が使用されている
• 使用されるアルゴリズムはモデル化されているものに対して有効である
• 問題となっている現象をシミュレートします。

疑似乱数サンプリングアルゴリズムは、均一に分布する疑似乱数を、指定された確率分布に従って分布する数値に変換するために使用されます。

低乖離シーケンスは、均一なカバレッジを保証し、通常、ランダム シーケンスまたは疑似ランダム シーケンスを使用するモンテ カルロ シミュレーションよりも収束順序が速いため、空間からのランダム サンプリングの代わりによく使用されます。低乖離シーケンスの使用に基づく方法は、準モンテ カルロ法と呼ばれます。

乱数品質がモンテカルロシミュレーションの結果に与える影響を評価するために、天体物理学の研究者は、インテルのRDRAND命令セットを介して生成された暗号的に安全な疑似乱数を、メルセンヌツイスターなどのアルゴリズムから生成されたものと比較して、褐色矮星からの電波フレアのモンテカルロシミュレーションでテストしました。10 ⁷の乱数生成からなる試験では、一般的な疑似乱数ジェネレータとRDRANDで生成されたモデルの間に統計的に有意な差は見つかりませんでした。 ^[60]

確率を使用する方法には、モンテカルロシミュレーションではないものもあります。たとえば、単一点推定値を使用した決定論的モデリングなどです。モデル内の不確実な変数にはそれぞれ「最善の推測」推定値が割り当てられます。各入力変数のシナリオ（最良、最悪、または最も可能性の高いケースなど）が選択され、結果が記録されます。^[61]

対照的に、モンテカルロシミュレーションは、各変数の確率分布からサンプルを抽出し、数百または数千の可能な結果を​​生成します。結果は分析され、さまざまな結果が発生する確率が求められます。^[62]たとえば、スプレッドシートのコスト構築モデルを従来の「what if」シナリオを使用して実行し、その後モンテカルロシミュレーションと三角確率分布で再度比較すると、モンテカルロ分析の範囲は「what if」分析よりも狭いことがわかります。^{[例が必要]}これは、「what if」分析ではすべてのシナリオに等しい重みが付けられるのに対し（企業財務における不確実性の定量化を参照）、モンテカルロ法では非常に低い確率領域でサンプルがほとんど抽出されないためです。このような領域のサンプルは「まれなイベント」と呼ばれます。

モンテカルロ法は、入力に大きな不確実性がある現象や、結合された自由度の多いシステムをシミュレートするのに特に役立ちます。適用分野は次のとおりです。

モンテカルロ法は、計算物理学、物理化学、および関連する応用分野で非常に重要であり、複雑な量子色力学計算から熱シールドや空力形状の設計、放射線線量測定計算のための放射線輸送のモデリングまで、多様な用途があります。 ^{[63] [64] [65]}統計物理学では、モンテカルロ分子モデリングは計算分子動力学の代替であり、モンテカルロ法は単純な粒子およびポリマーシステムの統計場の理論を計算するために使用されます。 ^{[37] [66]} 量子モンテカルロ法は、量子システムの多体問題を解決します。 ^{[9] [10] [29]}放射線材料科学では、イオン注入をシミュレートするためのバイナリ衝突近似は通常、次に衝突する原子を選択するためのモンテカルロアプローチに基づいています。^[67]実験粒子物理学では、モンテカルロ法は検出器の設計、その動作の理解、実験データと理論の比較に使用されます。天体物理学では、銀河の進化^[68]や惑星の粗い表面を通るマイクロ波放射の透過[ ^69]をモデル化するなど、さまざまな方法でモンテカルロ法が使用されています。また、現代の天気予報の基礎となるアンサンブルモデルでもモンテカルロ法が使用されています。

モンテカルロ法は、プロセス設計における感度分析や定量的確率分析のためにエンジニアリングで広く使用されています。この必要性は、典型的なプロセスシミュレーションのインタラクティブ、共線的、非線型的な動作から生じます。たとえば、

• マイクロエレクトロニクス工学では、モンテカルロ法はアナログおよびデジタル 集積回路の相関および非相関の変動を分析するために使用されます。
• 地質統計学と地質冶金学では、モンテカルロ法は鉱物処理 フローシートの設計の基礎となり、定量的なリスク分析に貢献しています。^[21]
• 流体力学、特に希薄気体力学では、ボルツマン方程式を有限クヌーセン数の流体の流れに対して、直接シミュレーションモンテカルロ法^{[70]と高効率な計算アルゴリズム[71]}を組み合わせて解きます。
• 自律ロボットでは、モンテカルロ位置推定によってロボットの位置を特定できます。これは、SLAM (同時位置推定およびマッピング) アルゴリズムの中核を成すカルマン フィルターや粒子フィルターなどの確率フィルターによく適用されます。
• 電気通信分野では、ワイヤレス ネットワークを計画する際に、主にユーザーの数、ユーザーの場所、ユーザーが使用するサービスによって決まるさまざまなシナリオで設計が機能することを証明する必要があります。通常、モンテ カルロ法を使用して、これらのユーザーとその状態を生成します。次に、ネットワークのパフォーマンスを評価し、結果が満足のいくものでない場合は、ネットワーク設計の最適化プロセスが実行されます。
• 信頼性工学では、コンポーネントレベルの応答が与えられた場合に、モンテカルロ シミュレーションを使用してシステムレベルの応答を計算します。
• 信号処理とベイズ推論において、粒子フィルタと逐次モンテカルロ法は、相互作用する経験的尺度を使用して、ノイズの多い部分的な観測値が与えられた信号プロセスの事後分布をサンプリングして計算するための平均場粒子法の一種です。^[72]

気候変動に関する政府間パネルは、放射強制力の確率密度関数解析にモンテカルロ法を採用している。^[73]

モンテカルロ法は計算生物学のさまざまな分野で使用されています。たとえば、系統発生におけるベイズ推定や、ゲノム、タンパク質、 ^[74]、膜^[75]などの生物学的システムの研究に使用されています。 システムは、必要な精度に応じて、粗視化フレームワークまたは第一原理フレームワークで研究できます。コンピューターシミュレーションにより、特定の分子の局所環境を監視して、たとえば何らかの化学反応が起こっているかどうかを確認することができます。物理的な実験を行うことが不可能な場合は、思考実験を行うことができます（たとえば、結合を切断する、特定のサイトに不純物を導入する、局所的/全体的な構造を変更する、外部フィールドを導入するなど）。

パス トレーシング(モンテ カルロ レイ トレーシングとも呼ばれる) は、可能性のある光路のサンプルをランダムにトレースして 3D シーンをレンダリングします。任意のピクセルを繰り返しサンプリングすると、最終的にサンプルの平均がレンダリング方程式の正しい解に収束するため、これは最も物理的に正確な 3D グラフィックス レンダリング方法の 1 つになります。

統計学におけるモンテカルロ実験の基準はサウィロウスキーによって設定された。^[76]応用統計学では、モンテカルロ法は少なくとも4つの目的で使用される可能性がある。

1. 現実的なデータ条件下で、小規模サンプルの競合統計を比較する。統計の第1種誤差と検出力特性は、漸近条件（つまり、無限のサンプルサイズと無限に小さな治療効果）での古典的な理論分布（正規曲線、コーシー分布など）から抽出されたデータに対して計算できますが、実際のデータはそのような分布を持たないことがよくあります。^[77]
2. 漸近分布の臨界値よりも正確でありながら、順列検定（多くの場合計算不可能）などの正確な検定よりも効率的な仮説検定の実装を提供します。
3. ベイズ推論における事後分布からランダムなサンプルを提供します。このサンプルは事後分布のすべての重要な特徴を近似し、要約します。
4. 負の対数尤度関数のヘッセ行列の効率的なランダム推定値を提供し、それを平均してフィッシャー情報行列の推定値を形成する。^{[78] [79]}

モンテ カルロ法は、近似ランダム化と順列テストの妥協案でもあります。近似ランダム化テストは、すべての順列の指定されたサブセットに基づいています (どの順列が考慮されたかを管理する膨大な作業が必要になる可能性があります)。モンテ カルロ アプローチは、指定された数のランダムに抽出された順列に基づいています (順列が 2 回 (またはそれ以上の頻度) 抽出された場合の精度のわずかな低下と引き換えに、どの順列がすでに選択されているかを追跡する必要がないという効率性が得られます)。

モンテカルロ法はモンテカルロ木探索と呼ばれる手法に発展し、ゲームで最善の手を探すのに役立つ。可能な手は探索木に整理され、多くのランダムシミュレーションを使用して各手の長期的な可能性を推定する。ブラックボックスシミュレーターは対戦相手の手を表す。^[80]

モンテカルロ木探索法（MCTS法）には4つのステップがある：^[81]

1. ツリーのルート ノードから開始し、リーフ ノードに到達するまで最適な子ノードを選択します。
2. リーフ ノードを展開し、その子ノードの 1 つを選択します。
3. そのノードから始まるシミュレーションゲームをプレイします。
4. シミュレートされたゲームの結果を使用して、ノードとその祖先を更新します。

多くのシミュレーション ゲームを経た最終的な効果は、動きを表すノードの値が上がったり下がったりすることであり、そのノードが良い動きを表すかどうかに応じて変化することが期待されます。

モンテカルロ木探索は、囲碁、^[82]、 タントリックス、^[83]、 バトルシップ、^[84]、 ハバナ、^[85]、アリマー^[86]などのゲームのプレイに効果的に使用されてきた。

モンテカルロ法は、放射場とエネルギー輸送の結合した積分微分方程式を解くのにも効率的であり、そのため、これらの方法は、ビデオゲーム、建築、デザイン、コンピュータ生成映画、映画の特殊効果などの分野で、仮想3Dモデルのフォトリアリスティックな画像を生成するグローバルイルミネーション計算に使用されてきた。^[87]

米国沿岸警備隊は、コンピューターモデリングソフトウェアSAROPS内でモンテカルロ法を利用して、捜索救助活動中の船舶の推定位置を計算しています。各シミュレーションでは、提供された変数に基づいてランダムに分布する1万ものデータポイントを生成できます。^[88]次に、これらのデータの外挿に基づいて捜索パターンが生成され、封じ込め確率（POC）と検出確率（POD）が最適化され、これらを合わせると全体的な成功確率（POS）になります。最終的に、これは確率分布の実用的な応用として機能し、最も迅速かつ最も迅速な救助方法を提供し、人命と資源の両方を救います。^[89]

モンテ カルロ シミュレーションは、さまざまな意思決定オプションの結果に影響を及ぼすリスクと不確実性を評価するためによく使用されます。モンテ カルロ シミュレーションを使用すると、ビジネス リスク アナリストは、販売量、商品価格、労働価格、金利、為替レートなどの変数における不確実性の影響全体と、契約のキャンセルや税法の変更などの個別のリスク イベントの影響を組み込むことができます。

金融におけるモンテカルロ法は、事業部門や企業レベルでのプロジェクトへの投資評価や、その他の財務評価によく使用されます。プロジェクトスケジュールのモデル化に使用でき、シミュレーションによって各タスクの最悪ケース、最良ケース、および最も可能性の高い期間の推定値を集計して、プロジェクト全体の結果を決定します。^[90]モンテカルロ法は、オプションの価格設定、デフォルトリスク分析にも使用されます。^{[91] [92]}さらに、医療介入の財務的影響を推定するためにも使用できます。^[93]

ウィスコンシン州の女性申請者が嫌がらせや家庭内暴力に対する接近禁止命令の申請に成功できるよう支援するプログラムの潜在的価値を評価するために、モンテカルロ法が使用された。このプログラムは、女性により多くの支援を提供することで、女性が申請に成功できるように支援し、それによってレイプや身体的暴行のリスクを潜在的に減らすことが提案された。しかし、接近禁止命令の有効性、支援の有無にかかわらず申請者の成功率など、完全に推定できない変数が多数存在した。この研究では、これらの変数を変化させる試験を実施し、提案されたプログラム全体の成功レベルの全体的な推定値を導き出した。^[94]

モンテカルロ法は、マレーシアの書籍のジャンル別の出版数をシミュレートするためにも使用されました。モンテカルロシミュレーションでは、以前に出版された全国図書出版データと、現地市場での書籍のジャンル別の価格を利用しました。モンテカルロの結果は、マレーシア人が好む書籍のジャンルを決定するために使用され、マレーシアと日本の書籍の出版を比較するために使用されました。^[95]

ナシム・ニコラス・タレブは、 2001 年の著書『 Fooled by Randomness』の中で、モンテカルロ ジェネレーターを逆チューリング テストの実際の例として書いています。つまり、人間が書いた文章が生成された文章と区別できない場合、その人間は知能がないと判断できるということです。

一般的に、モンテ カルロ法は、適切な乱数を生成し (乱数生成も参照)、いくつかの特性に従う数値の割合を観察することによって、数学でさまざまな問題を解決するために使用されます。この方法は、解析的に解決するには複雑すぎる問題の数値解を得るのに役立ちます。モンテ カルロ法の最も一般的な用途は、モンテ カルロ積分です。

決定論的数値積分アルゴリズムは、次元数が少ない場合にはうまく機能しますが、関数に多くの変数がある場合には 2 つの問題が生じます。まず、必要な関数評価の数は次元数とともに急速に増加します。たとえば、1 つの次元で 10 回の評価で十分な精度が得られる場合、 100 次元では10 ¹⁰⁰点が必要になりますが、これは計算するには多すぎます。これは次元の呪いと呼ばれます。次に、多次元領域の境界は非常に複雑な場合があり、問題を反復積分に縮小することが現実的でない場合があります。^{[96]多くの物理的問題では、「次元」は}自由度に相当するため、 100次元は決して珍しいことではありません。

モンテカルロ法は、この指数関数的な計算時間の増加を回避する方法を提供します。問題の関数が適度に適切に動作する限り、100次元空間でランダムに点を選択し、これらの点で関数値の何らかの平均を取ることで推定できます。中心極限定理により、この方法は収束を示します。つまり、サンプリングされた点の数を4倍にすると、次元の数に関係なく、誤差が半分になります。^[96]${\displaystyle \scriptstyle 1/{\sqrt {N}}}$

この方法を改良したものは統計学では重要度サンプリングと呼ばれ、点をランダムにサンプリングしますが、積分関数が大きい場合はより頻繁にサンプリングします。これを正確に行うには、積分を既に知っている必要がありますが、同様の関数の積分で積分を近似するか、層別サンプリング、再帰層別サンプリング、適応型アンブレラサンプリング^{[97] [98] 、} VEGASアルゴリズムなどの適応ルーチンを使用できます。

類似のアプローチである準モンテカルロ法では、低差異シーケンスを使用します。これらのシーケンスは領域をより適切に「埋め」、最も重要なポイントをより頻繁にサンプリングするため、準モンテカルロ法では多くの場合、積分により速く収束できます。

体積内の点をサンプリングする別の方法は、体積上のランダムウォークをシミュレートすることです（マルコフ連鎖モンテカルロ）。このような方法には、メトロポリス-ヘイスティングスアルゴリズム、ギブスサンプリング、ワングとランダウアルゴリズム、および逐次モンテカルロサンプラーなどの相互作用型MCMC方法論が含まれます。^[99]

数値シミュレーションにおける乱数のもう一つの強力で非常に人気のある応用は、数値最適化です。問題は、多くの場合多くの次元を持つあるベクトルの関数を最小化（または最大化）することです。多くの問題はこのように表現できます。たとえば、コンピュータチェスのプログラムは、最終的に最良の評価関数を生成する10の動きのセットを見つけようとしていると見ることができます。巡回セールスマン問題では、目標は移動距離を最小化することです。多分野設計最適化など、エンジニアリング設計への応用もあります。これは、大規模な構成空間を効率的に探索することで粒子動力学問題を解決するために、準1次元モデルに適用されています。参考文献^[100]は、シミュレーションと最適化に関連する多くの問題の包括的なレビューです。

巡回セールスマン問題は、いわゆる従来の最適化問題です。つまり、最適な経路を決定するために必要なすべての事実 (各目的地間の距離) は確実にわかっており、目標は可能な移動手段をすべて試して、総距離が最短となるものを見つけることです。各目的地を訪れるために移動する総距離を最小化するのではなく、各目的地に到着するために必要な総時間を最小化することを目標とした場合、移動時間は本質的に不確実であるため (交通渋滞、時間帯など)、従来の最適化の範囲を超えてしまいます。その結果、最適な経路を決定するには、別のシミュレーションが必要になります。最適化では、まず、ある地点から別の地点に移動するのにかかる可能性のある時間の範囲 (この場合は特定の距離ではなく確率分布で表されます) を理解し、次に、その不確実性を考慮して移動の決定を最適化して、最適な経路を特定します。

逆問題の確率的定式化により、モデル空間における確率分布が定義されます。この確率分布は、事前情報と、いくつかの観測可能なパラメータ (データ) を測定することによって得られた新しい情報を組み合わせたものです。一般に、データとモデル パラメータを結び付ける理論は非線形であるため、モデル空間における事後確率は簡単には記述できない場合があります (多峰性がある場合や、一部のモーメントが定義されていないなど)。

逆問題を分析する場合、通常はデータの解像度に関する情報が求められるため、最大尤度モデルを取得するだけでは十分ではありません。一般的なケースでは、多くのパラメータがモデル化されるため、関心のある周辺確率密度の検査は非現実的であるか、役に立たない場合があります。ただし、事後確率分布に従って多数のモデルを擬似ランダムに生成し、モデル特性の相対的尤度に関する情報が視聴者に伝わるようにモデルを分析および表示することは可能です。事前分布の明示的な式がない場合でも、効率的なモンテカルロ法を使用してこれを実現できます。

最もよく知られている重要度サンプリング法であるメトロポリスアルゴリズムは一般化することができ、これにより、複雑な事前情報と任意のノイズ分布を持つデータを使用した（おそらく高度に非線形な）逆問題の解析を可能にする方法が得られます。^{[101] [102]}

モンテカルロ法の一般公開はマクラッケンによって行われた。^{[103]この方法の一般的な考え方は}エリシャコフ^[104]とグリューネ・ヤノフとヴァイリヒ^[105]によって議論された。

• ウィキメディア・コモンズのモンテカルロ法に関連するメディア