方程式のレンダリング

コンピュータグラフィックスにおいて、レンダリング方程式は、表面上の点から出る光の量を、放射光と反射光の合計として表す積分方程式です。これは、1986年にDavid Immelら^{[ 1 ]}とJames Kajiya ^{[ 2 ]}によってコンピュータグラフィックスに独立して導入されました。この方程式は、双方向反射率分布関数（BRDF）とレンダリングで使用される放射量との関係を記述する物理ベースレンダリングの理論において重要です。

レンダリング方程式は、カメラから隠れている点も含め、レンダリング対象シーンのすべてのサーフェス上のすべての点で定義されます。方程式の右辺の入射光量は通常、シーン内の他の点の左辺（出射側）から来ます（これらの他の点を見つけるにはレイキャスティングを使用できます）。ラジオシティレンダリング法は、この方程式系の離散近似を解きます。 ^{[ 1 ]}分散レイトレーシングでは、方程式の右辺の積分は、可能な入射光の方向をランダムにサンプリングすることによってモンテカルロ積分を使用して評価できます。パストレーシングはこの方法を改善し、簡素化します。^{[ 2 ]}

レンダリング方程式は、蛍光（吸収されたエネルギーの一部が異なる波長で再放出される現象）などの効果を処理するように拡張でき、双方向散乱分布関数（BRDF）の代わりに双方向散乱分布関数（BSDF）を使用することで、透明および半透明の材料をサポートできます。^{[ 3 ]}パストレーシングの理論では、入射方向の積分の代わりに、パス積分（光源から点までの可能なパスの積分）を使用する場合があります。^{[ 4 ]}

レンダリング方程式は次の形式で記述できます。

$${\displaystyle L_{\text{o}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)=L_{\text{e}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)+L_{\text{r}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)}$$

${\displaystyle L_{\text{r}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)=\int _{\Omega }f_{\text{r}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{i}},\omega _{\text{o}},\lambda ,t)L_{\text{i}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{i}},\lambda ,t)(\omega _{\text{i}}\cdot \mathbf {n} )\operatorname {d} \omega _{\text{i}}}$

どこ

• ${\displaystyle L_{\text{o}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)}$は波長の全スペクトル放射輝度です${\displaystyle \lambda }$方向に沿って外向きに$\displaystyle \omega _{\text{o}}}$その時${\displaystyle t}$特定の位置から${\displaystyle \mathbf {x} }$
• ${\displaystyle \mathbf {x} }$空間内の位置
• $\displaystyle \omega _{\text{o}}}$は、出射光の方向です。
• ${\displaystyle \lambda }$特定の波長の光
• ${\displaystyle t}$時間が来た
• ${\displaystyle L_{\text{e}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)}$スペクトル放射輝度が放出される
• ${\displaystyle L_{\text{r}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)}$反射スペクトル放射輝度
• ${\displaystyle \int _{\Omega }\dots \operatorname {d} \omega _{\text{i}}}$は積分である${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle \Omega }$単位半球は${\displaystyle \mathbf {n} }$可能なすべての値を含む${\displaystyle \omega _{\text{i}}}$どこ${\displaystyle \omega _{\text{i}}\cdot \mathbf {n} >0}$
• ${\displaystyle f_{\text{r}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{i}},\omega _{\text{o}},\lambda ,t)}$は双方向反射率分布関数であり、${\displaystyle \omega _{\text{i}}}$に${\displaystyle \omega _{\text{o}}}$ポジション${\displaystyle \mathbf {x} }$、 時間${\displaystyle t}$波長${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle \omega _{\text{i}}}$入射光の負の方向
• ${\displaystyle L_{\text{i}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{i}},\lambda ,t)}$波長のスペクトル放射輝度${\displaystyle \lambda }$内側に向かって${\displaystyle \mathbf {x} }$方向から${\displaystyle \omega _{\text{i}}}$その時${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \mathbf {n} }$表面法線は${\displaystyle \mathbf {x} }$
• ${\displaystyle \omega _{\text{i}}\cdot \mathbf {n} }$は入射角による外向き放射照度の減衰係数であり、光束が光線に垂直な投影面積よりも大きい面積の表面全体に広がるためである。これはしばしば次のように表記される。${\displaystyle \cos \theta _{i}}$。

注目すべき特徴は、線形性（乗算と加算のみで構成されている）と空間的均一性（あらゆる位置と向きで同じである）の2点です。これは、方程式のさまざまな因数分解と並べ替えが可能であることを意味します。これは、量子場理論で現れるものと同様の、第2種のフレドホルム積分方程式です。^{[ 5 ]}

この方程式のスペクトル依存性と時間依存性に注目してください。${\displaystyle L_{\text{o}}}$可視スペクトルの特定の部分でサンプリングしたり、その部分で積分したりして、例えば三原色サンプルを取得できます。アニメーションの単一フレームのピクセル値は、固定することによって取得できます。${\displaystyle t;}$モーションブラーは平均化によって生成できます${\displaystyle L_{\text{o}}}$ある特定の時間間隔にわたって（時間間隔にわたって積分し、その間隔の長さで割ることによって）。^{[ 6 ]}

レンダリング方程式の解は関数であることに注意してください。${\displaystyle L_{\text{o}}}$. 機能${\displaystyle L_{\text{i}}}$は${\displaystyle L_{\text{o}}}$光線追跡演算によって：ある方向からある点に入射する放射輝度は、反対方向の別の点に入射する放射輝度となる。

リアルなレンダリングにおいて、あらゆるシーンのレンダリング方程式を解くことが最大の課題です。この方程式を解くアプローチの一つは有限要素法に基づき、放射輝度アルゴリズムが開発されました。モンテカルロ法を用いた別のアプローチでは、パストレーシング、フォトンマッピング、メトロポリス光輸送など、様々なアルゴリズムが開発されています。

この方程式は非常に一般的ではあるものの、光の反射のあらゆる側面を捉えているわけではありません。以下のような側面が欠けています。

• 透過とは、光がガラスの物体や水面に当たるときのように、表面を透過するときに起こる現象です。
• 表面下散乱とは、入射光と出射光の空間的な位置が異なる現象です。表面下散乱を考慮せずにレンダリングされた表面は、不自然に不透明に見えることがあります。ただし、透過が方程式に含まれている場合は、表面下で散乱された光も実質的に含まれるため、これを考慮する必要はありません。
• 偏光とは、光の偏光が異なると、反射分布が異なる場合がある現象で、例えば光が水面で反射する場合などがこれに該当します。
• 燐光とは、光やその他の電磁波が一時点で吸収され、後になって放出される現象で、通常はより長い波長で放出されます（吸収された電磁波が非常に強い場合を除く）。
• 干渉とは、光の波動特性が現れる現象である。
• 蛍光とは、吸収された光と放出された光の波長が異なる現象である。
• 非線形効果とは、非常に強い光が電子のエネルギー準位を単一の光子のエネルギーよりも高いエネルギーに上昇させる（これは電子が同時に2つの光子に当たった場合に起こり得る）こと、そして表面に当たった光の周波数よりも高い周波数の光を放出することが突然可能になることである。
• ドップラー効果とは、非常に高速で移動する物体に反射した光の波長が変化する現象です。光が物体に向かって移動している場合、光は青方偏移し、光子がより密に詰まるため光子束が増加します。逆に、物体から遠ざかっている場合は、光は赤方偏移し、光子束が減少します。この効果は光速に匹敵する速度でのみ顕著になりますが、ほとんどのレンダリングアプリケーションではそのような速度は発生しません。

真空中の単純な表面で構成されていないシーンや、光の伝播時間が重要な要素となるシーンについては、研究者たちはレンダリング方程式を一般化して、ボリュームレンダリングに適したボリュームレンダリング方程式^{[ 7 ]}と、タイムオブフライトカメラからのデータで使用するための過渡レンダリング方程式^{[ 8 ]}を作成しました。

• スタンフォード大学講義CS 348B「コンピュータグラフィックス：画像合成技術」の講義ノート