確率論 と統計学 において、三角分布は 下限a 、上限b 、最頻値c を持つ連続確率分布 であり、a < b かつa ≤ c ≤ b である。
特別なケース
境界でのモード c = a またはc = b の場合、分布は単純化されます。たとえば、a = 0、b = 1、c = 1 の場合、PDF とCDF は 次のようになります。
f （ x ） = 2 x 、 F （ x ） = x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=2x,\\[8pt]F(x)&=x^{2}\end{aligned}}} 0 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle 0\leq x\leq 1}
E （ X ） = 2 3 バラ （ X ） = 1 18 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&={\frac {2}{3}}\\[8pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{18}}\end{aligned}}}
a = 0、b = 1、c = 0の場合のこの分布は、 X = | X 1 − X 2 | の分布であり、 X 1 、X 2は標準 一様分布 に従う 2 つの独立した確率変数です。
f （ x ） = 2 − 2 x のために 0 ≤ x < 1 F （ x ） = 2 x − x 2 のために 0 ≤ x < 1 E （ X ） = 1 3 バラ （ X ） = 1 18 {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=2-2x{\text{ for }}0\leq x<1\\[6pt]F(x)&=2x-x^{2}{\text{ for }}0\leq x<1\\[6pt]E(X)&={\frac {1}{3}}\\[6pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{18}}\end{aligned}}}
対称三角形分布 対称的なケースは、c = ( a + b ) / 2 の場合に発生します。この場合、分布関数の別の形式は次のようになります。
f （ x ） = （ b − c ） − | c − x | （ b − c ） 2 = 2 b − 1 （ 1 − | 1 + b − 2 x | b − 1 ） {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {(b-c)-|c-x|}{(b-c)^{2}}}\\[6pt]&={\frac {2}{b-a}}\left(1-{\frac {\left|a+b-2x\right|}{b-a}}\right)\end{aligned}}}
a = 0、b = 1、c = 0.5の場合のこの分布 （最頻値（つまりピーク）は区間のちょうど真ん中にある）は、2 つの標準一様変数の平均の分布、つまりX = ( X 1 + X 2 ) / 2 の分布に対応します。ここで、 X 1 、X 2は [0, 1] の標準 一様分布 に従う 2 つの独立した確率変数です。[ 1 ] ベイツ分布 の場合です。
f （ x ） = { 4 x のために 0 ≤ x < 1 2 4 （ 1 − x ） のために 1 2 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}4x&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\4(1-x)&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\end{cases}}}
F （ x ） = { 2 x 2 のために 0 ≤ x < 1 2 2 x 2 − （ 2 x − 1 ） 2 のために 1 2 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle F(x)={\begin{cases}2x^{2}&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2x^{2}-(2x-1)^{2}&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\end{cases}}}
E （ X ） = 1 2 バラ （ X ） = 1 24 {\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&={\frac {1}{2}}\\[6pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{24}}\end{aligned}}}
乱数を生成する 区間(0, 1)の 一様分布 から抽出されたランダム変数U が与えられた場合、変数[ 2 ]
X = { 1 + U （ b − 1 ） （ c − 1 ） のために 0 < U < F （ c ） b − （ 1 − U ） （ b − 1 ） （ b − c ） のために F （ c ） ≤ U < 1 {\displaystyle X={\begin{cases}a+{\sqrt {U(b-a)(c-a)}}&{\text{ for }}0<U<F(c)\\&\\b-{\sqrt {(1-U)(b-a)(b-c)}}&{\text{ for }}F(c)\leq U<1\end{cases}}}
どこF （ c ） = （ c − 1 ） / （ b − 1 ） {\displaystyle F(c)=(c-a)/(b-a)} 1 、 b {\displaystyle a,b} c {\displaystyle c}
配布物の使用 三角形分布は、サンプルデータが限られている母集団の主観的な記述として一般的に使用され、特に変数間の関係はわかっているがデータが少ない場合（収集コストが高いためなど）に用いられます。これは、最小値と最大値の知識と、最頻値に関する「ひらめきによる推測」[ 3 ]
オーディオディザリング 対称三角形分布は、オーディオディザリング で一般的に使用され、TPDF（三角形確率密度関数）と呼ばれます。
関連項目 台形分布 トーマス・シンプソン 3点推定 5数要約 7つの数値による要約 三角関数 中心極限定理 — 三角形分布は、2 つの一様乱数を加算した結果としてよく発生します。言い換えれば、三角形分布は、中心極限定理の加算プロセスの最初の反復の結果であることが多い (常にではない)。n = 2 {\textstyle n=2} n ≥ 3 {\textstyle n\geq 3} アーウィン・ホール分布 — アーウィン・ホール分布を使用すると、簡単に三角形分布を生成できます。ベイツ分布 ― アーウィン・ホール分布に似ていますが、値が0～1の範囲に再スケーリングされています。三角形分布の計算に役立ち、その後、再スケーリングやシフトを行うことで、0～1の範囲外の他の三角形分布を作成できます。
参考文献 ↑ Kotz, Samuel; Dorp, Johan Rene Van (2004-12-08). Beyond Beta: Other Continuous Families Of Distributions With Bounded Support And Applications . World Scientific. ISBN 978-981-4481-24-3 。 ↑ 「アーカイブされたコピー」 (PDF) . www.asianscientist.com . 2014年4月7日に オリジナル (PDF)からアーカイブされました 。 2022年 1月12日 に取得。 {{cite web}}: CS1 maint: タイトルとしてアーカイブされたコピー (リンク)↑ 「アーカイブされたコピー」 (PDF) 。 2006年9月23日に オリジナル (PDF)からアーカイブされました 。 2006年9月23日 に取得。 {{cite web}}: CS1 maint: タイトルとしてアーカイブされたコピー (リンク)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=2x,\\[8pt]F(x)&=x^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd343fa297be8c0f9b1577645d850cada9a24cc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&={\frac {2}{3}}\\[8pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{18}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f24b03334eae3cdacab78cc232afda9537732d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=2-2x{\text{ for }}0\leq x<1\\[6pt]F(x)&=2x-x^{2}{\text{ for }}0\leq x<1\\[6pt]E(X)&={\frac {1}{3}}\\[6pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{18}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe08f03f7fa58adc4c3ff145380cf294a0ce27f7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {(bc)-|cx|}{(bc)^{2}}}\\[6pt]&={\frac {2}{ba}}\left(1-{\frac {\left|a+b-2x\right|}{ba}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21fed7bf09409af75f760a427c24824d7716af4e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&={\frac {1}{2}}\\[6pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{24}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30f5209e0fb7c8e67495e515b68623b00b681a2c)
