マルチレベルモンテカルロ法

数値解析におけるマルチレベル モンテ カルロ (MLMC) 法は、確率的シミュレーションで生じる期待値を計算するアルゴリズムです。モンテ カルロ法と同様に、繰り返しランダム サンプリングに依存しますが、これらのサンプルはさまざまなレベルの精度で取得されます。MLMC 法では、ほとんどのサンプルを低い精度とそれに応じた低コストで取得し、ごく少数のサンプルのみを高い精度とそれに応じた高コストで取得することで、標準的なモンテ カルロ法の計算コストを大幅に削減できます。

マルチレベルモンテカルロ法の目的は、確率的シミュレーションの出力であるランダム変数の期待値 を近似することです。このランダム変数を正確にシミュレートすることはできませんが、精度は向上しますがコストも増加し、 に収束する一連の近似値があるとします。マルチレベル法の基礎は、テレスコーピング和恒等式です。^[1]${\displaystyle \operatorname {E} [G]}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{0},G_{1},\ldots ,G_{L}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle L\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \operatorname {E} [G_{L}]=\operatorname {E} [G_{0}]+\sum _{\ell =1}^{L}\operatorname {E} [G_{\ell }-G_{\ell -1}],}$

これは、期待値演算子の線形性により自明に満たされます。次に、各期待値はモンテカルロ法によって近似され、マルチレベルモンテカルロ法が得られます。レベルでの差のサンプルを取得するには、との両方をシミュレーションする必要があることに注意してください。 ${\displaystyle \operatorname {E} [G_{\ell }-G_{\ell -1}]}$${\displaystyle G_{\ell }-G_{\ell -1}}$ ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle G_{\ell }}$${\displaystyle G_{\ell -1}}$

MLMC 法は、分散が の場合に機能します。これは、 と の両方が同じランダム変数 を近似する場合に当てはまります。中心極限定理により、これは、差の期待値を として正確に近似するために必要なサンプル数がますます少なくなることを意味します。したがって、ほとんどのサンプルは、サンプルが安価であるレベル で取得され、最も細かいレベル ではごくわずかなサンプルのみが必要になります。この意味で、MLMC は再帰的な制御変量戦略と見なすことができます。 ${\displaystyle \operatorname {V} [G_{\ell }-G_{\ell -1}]\rightarrow 0}$${\displaystyle \ell \rightarrow \infty }$${\displaystyle G_{\ell }}$${\displaystyle G_{\ell -1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{\ell }-G_{\ell -1}}$${\displaystyle \ell \rightarrow \infty }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle L}$

MLMCの最初の応用は、オプション価格設定のための確率微分方程式（SDE）の文脈でマイク・ジャイルズ^[2]に帰せられますが、それより初期の痕跡は、パラメトリック積分の文脈でのハインリッヒの研究の中に見られます。^[3]ここで、ランダム変数はペイオフ関数と呼ばれ、近似値のシーケンスは、時間ステップを持つサンプルパスの近似を使用します。 ${\displaystyle G=f(X(T))}$${\displaystyle G_{\ell }}$${\displaystyle \ell =0,\ldots ,L}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle h_{\ell }=2^{-\ell }T}$

MLMCの不確実性定量化（UQ）の問題への応用は、活発な研究分野です。^{[4] [5]}これらの問題の重要な典型的な例は、ランダム係数を持つ偏微分方程式（PDE）です。この文脈では、ランダム変数は関心のある量として知られており、近似のシーケンスは、異なるメッシュサイズでのPDEの 離散化に対応します。${\displaystyle G}$

MLMC シミュレーション用の単純なレベル適応アルゴリズムを擬似コードで以下に示します。

${\displaystyle L\gets 0}$
繰り返し
    レベルでウォームアップサンプルを採取する
    すべてのレベルでサンプル分散を計算するすべてのレベルで
    最適なサンプル数を定義するifに従って
    各レベルで追加のサンプルを採取する${\displaystyle L}$${\displaystyle \ell =0,\ldots ,L}$${\displaystyle N_{\ell }}$${\displaystyle \ell =0,\ldots ,L}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle N_{\ell }}$
     ${\displaystyle L\geq 2}$ 
        収束のテスト
    
    収束しない場合は終了し、
        収束する
まで終了します${\displaystyle L\gets L+1}$
    

マルチレベルモンテカルロ法の最近の拡張には、複数の改良方向が考慮されるマルチインデックスモンテカルロ^{[6]や、MLMCと}準モンテカルロ法の組み合わせ^{[7] [8]}などがある。

• モンテカルロ法
• 金融におけるモンテカルロ法
• 金融における準モンテカルロ法
• 不確実性の定量化
• ランダム係数を持つ偏微分方程式