地統計学

地統計学は、空間または時空間データセットに焦点を当てた統計学の分野です。もともとは採掘作業における鉱石品位の確率分布を予測するために開発されましたが、^[1]現在では石油地質学、水文地質学、水文学、気象学、海洋学、地球化学、地質冶金学、地理学、林業、環境制御、景観生態学、土壌科学、農業（特に精密農業）など、さまざまな分野に応用されています。地統計学は地理学のさまざまな分野、特に病気の蔓延（疫学）、商業および軍事計画の実践（兵站学）、効率的な空間ネットワークの開発に関係する分野で応用されています。地統計アルゴリズムは、地理情報システム（GIS）を含む多くの場所に組み込まれています。

背景

地統計学は補間法と密接に関連していますが、単純な補間問題をはるかに超えています。地統計学の手法は、ランダム関数 (またはランダム変数) 理論に基づく統計モデルに依存し、空間推定とシミュレーションに関連する不確実性をモデル化します。

逆距離加重法、双線形補間法、最近傍補間法など、より単純な補間法/アルゴリズムは、地統計学以前にすでによく知られていました。^[2]地統計学は、未知の場所における研究対象の現象を相関するランダム変数の集合として考えることで、補間の問題を超えています。

$Z (x) を特定の場所$ $x$ における対象変数の値とします。この値は未知です (例: 気温、降雨量、圧力レベル、地質相など)。場所 $x$ には測定可能な値が存在しますが、地統計学では、この値は測定されていないか、まだ測定されていないため、ランダムであるとみなします。ただし、 $Z (x)$ のランダム性は完全ではなく、値 $Z$ $($ $x$ $)$ に関する特定の既知の情報に依存する累積分布関数(CDF) によって定義されます。

F({\mathit {z}},\mathbf {x} )=\operatorname {Prob} \lbrace Z(\mathbf {x} )\leqslant {\mathit {z}}\mid {\text{information}}\rbrace .

$通常、 x$ に近い位置（または $x$ の近傍）での $Z$ の値がわかっている場合は、この近傍によって $Z$ $($ $x$ $)$ の CDF を制約できます。つまり、高い空間連続性が想定される場合、 $Z$ $($ $x$ $) は$ 近傍にある値と同様の値しか取れません。逆に、空間連続性がない場合、 $Z$ $($ $x$ $)は任意の値を取ることができます。ランダム変数の空間連続性は、空間連続性モデルによって記述されます。このモデルは、$ バリオグラムベースの地統計学の場合はパラメトリック関数、マルチポイントシミュレーション^[3]や疑似遺伝的手法などの他の方法を使用する場合は非パラメトリック形式になります。

$単一の空間モデルを領域全体に適用すると、 Z は$ 定常プロセスであるという仮定が立てられます。これは、同じ統計特性が領域全体に適用可能であることを意味します。いくつかの地統計学的手法では、この定常性の仮定を緩和する方法が提供されています。

このフレームワークでは、2 つのモデリング目標を区別できます。

$Z (x)$ の値を、通常はCDF $f$ $($ $z$ $,$ $x$ $)の$ 期待値、中央値、または最頻値によって推定します。これは通常、推定問題として表されます。
$確率密度関数f (z, x)$ 全体から、各位置における各可能な結果を実際に考慮してサンプリングする。これは通常、実現と呼ばれる $Zの複数の代替マップを作成することによって行われます$ $。N$ 個のグリッドノード (またはピクセル)で離散化された領域を考えてみましょう。各実現は、完全な $N$ 次元結合分布関数のサンプルです。

F(\mathbf {z} ,\mathbf {x} )=\operatorname {Prob} \lbrace Z(\mathbf {x} _{1})\leqslant z_{1},Z(\mathbf {x } _{2})\leqslant z_{2},...,Z(\mathbf {x} _{N})\leqslant z_{N}\r中括弧 .

このアプローチでは、補間問題に対する複数の解の存在が認識されます。各実現は、実際の変数が何であるかの可能性のあるシナリオとして考慮されます。関連するすべてのワークフローは、実現のアンサンブル、つまり確率予測を可能にする予測のアンサンブルを考慮します。したがって、地統計学は、逆問題を解決するときに空間モデルを生成または更新するためによく使用されます。^[4]^[5]

地統計学的推定と多重実現アプローチには、多くの方法が存在する。いくつかの参考書がこの分野の包括的な概要を提供している。^[6]^[2]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]

方法

推定

クリギング

クリギングは、観測されていない場所のランダムフィールド (たとえば、地理的位置の関数としての地形の標高、z) の値を、近くの場所でのその値の観測から補間する地統計学的手法のグループです。

ベイズ推定

ベイズ推論は、より多くの証拠や情報が利用可能になるとベイズの定理を使用して確率モデルを更新する統計的推論の方法である。ベイズ推論は、地統計学においてますます重要な役割を果たしている。 ^[16]ベイズ推定は、空間プロセス（最も一般的にはガウス過程）を通じてクリギングを実装し、ベイズの定理を使用してその事後分布を計算してプロセスを更新する。高次元ベイズ地統計学^[17]

有限差分法

確率保存の原理を考慮して、格子と組み合わせて再帰差分方程式（有限差分方程式）を使用して、地質構造に関する不確実性を定量化する確率を計算しました。この手順は、マルコフ連鎖やベイズモデルに代わる数値的方法です。^[18]

シミュレーション

集約
分離
回転バンド
コレスキー分解
切り捨てガウス分布
多ガウス
アニーリング
スペクトルシミュレーション
シーケンシャルインジケーター
シーケンシャルガウス
デッドリーブ
遷移確率
マルコフ連鎖地統計学
サポートベクターマシン
ブールシミュレーション
遺伝モデル
疑似遺伝モデル
セルオートマトン
複数ポイント地統計学

定義とツール

参照

注記

^ クリゲ、ダニー・G. (1951)。「ウィットウォーターズランドにおける基本的な鉱山評価問題への統計的アプローチ」南アフリカ化学・金属・鉱業学会誌 52 (6): 119–139
^ ab Isaaks, EH および Srivastava, RM (1989)、「応用地統計学入門」、オックスフォード大学出版局、ニューヨーク、米国。
^ Mariethoz, Gregoire, Caers, Jef (2014). マルチポイント地統計学: トレーニング画像によるモデリング。Wiley-Blackwell、チチェスター、イギリス、364 ページ。
^ Hansen, TM、Journel, AG、Tarantola, A.、Mosegaard, K. (2006)。「線形逆ガウス理論と地統計学」、地球物理学71
^ キタニディス、PK およびヴォムヴォリス、EG (1983)。「地下水モデリング (定常状態) および 1 次元シミュレーションにおける逆問題への地統計学的アプローチ」、水資源研究19(3):677-690
^ Remy, N., et al. (2009), Applied Geostatistics with SGeMS: A User's Guide, 284 pp., Cambridge University Press, Cambridge.
^ Deutsch, CV, Journel, AG, (1997). GSLIB: 地統計ソフトウェアライブラリおよびユーザーズガイド (応用地統計シリーズ)、第 2 版、オックスフォード大学出版局、369 ページ、http://www.gslib.com/
^ Chilès, J.-P.、および P. Delfiner (1999)、「地球統計学 - 空間的不確実性のモデリング」、 John Wiley & Sons、Inc.、ニューヨーク、米国。
^ Lantuéjoul, C. (2002)、地球統計シミュレーション：モデルとアルゴリズム、 232 pp.、Springer、ベルリン。
^ Journel, AG および Huijbregts , CJ (1978) Mining Geostatistics、 Academic Press。ISBN 0-12-391050-1
^ Kitanidis, PK (1997)地統計学入門：水文地質学への応用、ケンブリッジ大学出版局。
^ Wackernagel、H. (2003)。多変量地球統計学、第 3 版、Springer-Verlag、ベルリン、387 ページ。
^ Pyrcz, MJ および Deutsch, CV, (2014).地統計的貯留層モデリング、第 2 版、オックスフォード大学出版局、448 ページ。
^ Tahmasebi, P., Hezarkhani, A., Sahimi, M., 2012, 相互相関関数に基づく多点地統計モデリング, Computational Geosciences, 16(3):779-79742,
^ Schnetzler, Manu. 「Statios - WinGslib」。2015年5月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。2005年10月10日閲覧。
^ Banerjee S.、Carlin BP、Gelfand AE (2014)。空間データのための階層的モデリングと分析、第 2 版。Chapman & Hall/CRC 統計と応用確率に関するモノグラフ。ISBN 9781439819173
^ Banerjee, Sudipto. 高次元ベイジアン地理統計学。ベイジアン・アナル。12 (2017), no. 2, 583--614. doi :10.1214/17-BA1056R. https://projecteuclid.org/euclid.ba/1494921642
^ Cardenas, IC (2023). 「非均質ランダムフィールドを用いたボーリングデータからの地層の不確実性を定量化する2次元アプローチ」.工学地質学. doi : 10.1016/j.enggeo.2023.107001 .

参考文献

Armstrong, M および Champigny, N, 1988, 「小さなブロックのクリギングに関する研究」、CIM Bulletin、Vol 82、No 923
アームストロング、M、1992年、「言論の自由? De Geostatisticis」7月号、第14号
シャンピニー、N、1992年、「地質統計学：効果的なツール」、ノーザン・マイナー、5月18日
クラーク I、1979 年、「実用地統計学」、応用科学出版社、ロンドン
David, M、1977 年、「地統計学的鉱石埋蔵量推定」、Elsevier Scientific Publishing Company、アムステルダム
Hald, A, 1952, 統計理論と工学的応用、John Wiley & Sons、ニューヨーク
Honarkhah, Mehrdad; Caers, Jef (2010). 「距離ベースのパターンモデリングを使用したパターンの確率的シミュレーション」.数学地球科学. 42 (5): 487–517. doi :10.1007/s11004-010-9276-7. S2CID 73657847.(IAMG 09 最優秀論文賞)
ISO/DIS 11648-1 バルク材料からのサンプリングの統計的側面 - パート1：一般原則
Lipschutz, S, 1968, 「確率の理論と問題」、McCraw-Hill Book Company、ニューヨーク。
Matheron、G. 1962 年。地理統計のアップリケ。 Tome 1、Editions Technip、パリ、334 ページ。
Matheron, G. 1989. 推定と選択、Springer-Verlag、ベルリン。
McGrew, J. Chapman、Monroe, Charles B.、2000 年。地理学における統計的問題解決入門、第 2 版、McGraw-Hill、ニューヨーク。
マークス、JW、1992年、「地質統計学かブードゥー科学か」、ノーザン・マイナー、5月18日
マークス、JW、「統計の乱用」、CIM 速報、1993 年 1 月、第 86 巻、第 966 号
マイヤーズ、ドナルド E.、「地統計学とは何か?」
Philip, GM および Watson, DF、1986 年、「Matheronian Geostatistics; Quo Vadis?」、Mathematical Geology、第 18 巻、第 1 号
Pyrcz, MJ および Deutsch, CV、2014 年、「地統計的貯留層モデリング」、第 2 版、オックスフォード大学出版局、ニューヨーク、p. 448
シャロフ、A：定量的人口生態学、1996年、https://web.archive.org/web/20020605050231/http://www.ento.vt.edu/~sharov/PopEcol/popecol.html
Shine, JA、Wakefield, GI: アナリストが選択したトレーニングセットと地理統計的に選択したトレーニングセットを使用した教師あり画像分類の比較、1999、https://web.archive.org/web/20020424165227/http://www.geovista.psu.edu/sites/geocomp99/Gc99/044/gc_044.htm
Strahler, AH、および Strahler A.、2006、「Introducing Physical Geography」、第 4 版、Wiley。
Tahmasebi, P., Hezarkhani, A., Sahimi, M., 2012, 相互相関関数に基づく複数ポイントの地統計モデリング、Computational Geosciences、16(3):779-79742。
Volk, W、1980、「エンジニアのための応用統計学」、Krieger Publishing Company、ハンティントン、ニューヨーク。

外部リンク

古典的な統計学から新しい科学である地統計学へのマセロンの旅を記録したオンラインライブラリ
[1]

[1] クリゲ、ダニー・G. (1951)。「ウィットウォーターズランドにおける基本的な鉱山評価問題への統計的アプローチ」南アフリカ化学・金属・鉱業学会誌 52 (6): 119–139

[IandS1989-2] Isaaks, EH および Srivastava, RM (1989)、「応用地統計学入門」、オックスフォード大学出版局、ニューヨーク、米国。

[3] Mariethoz, Gregoire, Caers, Jef (2014). マルチポイント地統計学: トレーニング画像によるモデリング。Wiley-Blackwell、チチェスター、イギリス、364 ページ。

[4] Hansen, TM、Journel, AG、Tarantola, A.、Mosegaard, K. (2006)。「線形逆ガウス理論と地統計学」、地球物理学71

[5] キタニディス、PK およびヴォムヴォリス、EG (1983)。「地下水モデリング (定常状態) および 1 次元シミュレーションにおける逆問題への地統計学的アプローチ」、水資源研究19(3):677-690

[6] Remy, N., et al. (2009), Applied Geostatistics with SGeMS: A User's Guide, 284 pp., Cambridge University Press, Cambridge.

[7] Deutsch, CV, Journel, AG, (1997). GSLIB: 地統計ソフトウェアライブラリおよびユーザーズガイド (応用地統計シリーズ)、第 2 版、オックスフォード大学出版局、369 ページ、http://www.gslib.com/

[8] Chilès, J.-P.、および P. Delfiner (1999)、「地球統計学 - 空間的不確実性のモデリング」、 John Wiley & Sons、Inc.、ニューヨーク、米国。

[9] Lantuéjoul, C. (2002)、地球統計シミュレーション：モデルとアルゴリズム、 232 pp.、Springer、ベルリン。

[10] ^ Journel, AG および Huijbregts , CJ (1978) Mining Geostatistics、 Academic Press。ISBN 0-12-391050-1

[11] Kitanidis, PK (1997)地統計学入門：水文地質学への応用、ケンブリッジ大学出版局。

[12] Wackernagel、H. (2003)。多変量地球統計学、第 3 版、Springer-Verlag、ベルリン、387 ページ。

[13] Pyrcz, MJ および Deutsch, CV, (2014).地統計的貯留層モデリング、第 2 版、オックスフォード大学出版局、448 ページ。

[14] Tahmasebi, P., Hezarkhani, A., Sahimi, M., 2012, 相互相関関数に基づく多点地統計モデリング, Computational Geosciences, 16(3):779-79742,

[15] Schnetzler, Manu. 「Statios - WinGslib」。2015年5月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。2005年10月10日閲覧。

[16] Banerjee S.、Carlin BP、Gelfand AE (2014)。空間データのための階層的モデリングと分析、第 2 版。Chapman & Hall/CRC 統計と応用確率に関するモノグラフ。ISBN 9781439819173

[17] Banerjee, Sudipto. 高次元ベイジアン地理統計学。ベイジアン・アナル。12 (2017), no. 2, 583--614. doi :10.1214/17-BA1056R. https://projecteuclid.org/euclid.ba/1494921642

[18] Cardenas, IC (2023). 「非均質ランダムフィールドを用いたボーリングデータからの地層の不確実性を定量化する2次元アプローチ」.工学地質学. doi : 10.1016/j.enggeo.2023.107001 .

背景

方法

推定