限界分布

確率論と統計学において、ランダム変数の集合のサブセットの周辺分布は、サブセットに含まれる変数の確率分布です。これは、サブセット内の変数のさまざまな値の確率を、他の変数の値を参照せずに示します。これは、他の変数の値に応じて確率を示す 条件付き分布とは対照的です。

限界変数とは、保持される変数のサブセット内の変数です。これらの概念は、表の行または列に沿って値を合計し、その合計を表の余白に書き込むことで見つけることができるため、「限界」と呼ばれます。^[1]限界変数の分布（限界分布）は、破棄される変数の分布を周辺化（つまり、余白の合計に焦点を合わせる）することで得られ、破棄された変数は周辺化されたと言われています。

ここでの文脈は、行われている理論的研究や行われているデータ分析には、より広範なランダム変数のセットが関係しているが、注目されているのはそれらの変数の少数に限られているということです。多くのアプリケーションでは、分析は与えられたランダム変数の集合から始まり、最初に新しい変数を定義してセットを拡張し (元のランダム変数の合計など)、最後にサブセットの周辺分布 (合計など) に注目して数を減らします。複数の異なる分析が行われ、それぞれが変数の異なるサブセットを周辺分布として扱います。

2 つの離散ランダム変数XとYの既知の結合分布が与えられている場合、いずれかの変数 (たとえばX )の周辺分布は、 Yの値が考慮されていない場合のXの確率分布です。これは、 Yのすべての値にわたる結合確率分布を合計することで計算できます。当然、逆もまた真です。つまり、 Yの周辺分布は、 Xの個別の値を合計することで取得できます。

${\displaystyle p_{X}(x_{i})=\sum _{j}p(x_{i},y_{j})}$、 そして${\displaystyle p_{Y}(y_{j})=\sum _{i}p(x_{i},y_{j})}$

限界確率は常に期待値として表すことができます。 $${\displaystyle p_{X}(x)=\int _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y=\演算子名{E} _{Y}[p_{X\mid Y}(x\mid Y)]\;.}$$

直感的には、 Xの周辺確率は、Yの特定の値が与えられた場合のX の条件付き確率を調べ、次にこの条件付き確率をYのすべての値の分布にわたって平均することによって計算されます。

これは期待値の定義から導かれる（無意識の統計学者の法則を適用した後） $${\displaystyle \operatorname {E} _{Y}[f(Y)]=\int _{y}f(y)p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y.}$$

したがって、周辺化は、ランダム変数Yと別のランダム変数X = g ( Y )の確率分布の変換規則を提供します。 $${\displaystyle p_{X}(x)=\int _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y=\int _{y}\delta {\big (}xg(y){\big )}\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y.}$$

結合分布が既知の2つの連続 確率変数 XとYが与えられた場合、結合確率分布fをYについて積分することで周辺確率密度関数が得られ、その逆も同様である。つまり、

${\displaystyle f_{X}(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx}$

ここで、、および。 ${\displaystyle x\in [a,b]}$${\displaystyle y\in [c,d]}$

結合累積分布関数から 限界累積分布関数を見つけるのは簡単です。次のことを思い出してください。

• 離散確率変数の場合、$${\displaystyle F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)}$$
• 連続確率変数の場合、$${\displaystyle F(x,y)=\int _{a}^{x}\int _{c}^{y}f(x',y')\,dy'dx'}$$

XとYが[ a , b ]×[ c , d ] の値を一緒に取る場合、

${\displaystyle F_{X}(x)=F(x,d)}$そして${\displaystyle F_{Y}(y)=F(b,y)}$

dが ∞ の場合、これは極限 になります。 の場合も同様です。 ${\textstyle F_{X}(x)=\lim _{y\to \infty }F(x,y)}$${\displaystyle F_{Y}(y)}$

限界確率は、他のイベントとは無関係に単一のイベントが発生する確率です。一方、条件付き確率は、別の特定のイベントがすでに発生している場合に、イベントが発生する確率です。つまり、1つの変数の計算は別の変数に依存します。^[2]

ある変数を別の変数が与えられた場合の条件付き分布は、両変数の結合分布を他の変数の限界分布で割ったものである。^[3]つまり、

• 離散確率変数の場合、$${\displaystyle p_{Y|X}(y|x)=P(Y=y\mid X=x)={\frac {P(X=x,Y=y)}{P_{X}(x)}}}$$
• 連続確率変数の場合、$${\displaystyle f_{Y|X}(y|x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}}$$

200人の生徒がいる教室の学習時間（X）と正答率（Y）に関するデータがあるとします。^[4] XとYが_離散確率変数であると仮定すると、 XとYの結合分布は、表3に示すように、 p（xi、yj ）のすべて_の可能な値をリストすることによって記述できます。

周辺分布を使用すると、20 点以下の得点を取った学生の数を判断できます。つまり、10 人または 5% です。 ${\displaystyle p_{Y}(y_{1})=P_{Y}(Y=y_{1})=\sum _{i=1}^{4}P(x_{i},y_{1} )={\frac {2}{200}}+{\frac {8}{200}}={\frac {10}{200}}}$

条件付き分布を使用すると、60 分以上勉強した学生が 20 以下のスコアを取得する確率を判断できます。つまり、少なくとも 60 分勉強した後に 20 のスコアを取得する確率は約 11% です。 ${\displaystyle p_{Y|X}(y_{1}|x_{4})=P(Y=y_{1}|X=x_{4})={\frac {P(X=x_{4},Y=y_{1})}{P(X=x_{4})}}={\frac {8/200}{70/200}}={\frac {8}{70}}={\frac {4}{35}}}$

歩行者が横断歩道を渡っているときに信号に注意を払わずに車に衝突する確率を計算するとします。H を{衝突、衝突しない} から 1 つの値を取る離散ランダム変数とします。L (信号機) を {赤、黄、緑} から 1 つの値を取る離散ランダム変数とします。

現実的には、H は L に依存します。つまり、P(H = ヒット) は L が赤、黄、緑のいずれであるかによって異なる値になります (P(H = ヒットなし) も同様です)。たとえば、横断歩道を渡ろうとする人が車にはねられる可能性は、横断歩道が赤の場合よりも緑の場合の方がはるかに高くなります。言い換えると、H と L の任意の可能な値のペアについて、歩行者が信号の状態を無視した場合にそのイベントのペアが同時に発生する確率を見つけるには、H と L の結合 確率分布を考慮する必要があります。

しかし、周辺確率P(H = Hit)を計算しようとする場合、求められているのは、L の特定の値が不明で、歩行者が信号の状態を無視している状況で H = Hit となる確率です。一般的に、歩行者は信号が赤の場合、または信号が黄色の場合、または信号が緑の場合に衝突する可能性があります。したがって、周辺確率の答えは、L の可能なすべての値について P(H | L) を合計し、L の各値に発生確率で重み付けすることで求められます。

以下は、ライトの状態に応じて、衝突の条件付き確率を示す表です。(ライトの状態に関係なく衝突の確率は 1 であるため、この表の列の合計は 1 になる必要があることに注意してください。)

結合確率分布を求めるには、より多くのデータが必要です。たとえば、P(L = 赤) = 0.2、P(L = 黄) = 0.1、P(L = 緑) = 0.7 とします。条件付き分布の各列にその列の発生確率を掛けると、中央の 2×3 ブロックのエントリに示されている H と L の結合確率分布が得られます (この 2×3 ブロックのセルの合計は 1 になることに注意してください)。

限界確率 P(H = ヒット) は、この結合分布表の H = ヒット行の合計 0.572 です。これは、信号が赤または黄色または緑の場合に衝突される確率です。同様に、限界確率 P(H = ヒットしない) は、H = ヒットしない行の合計です。

多変量分布の場合、上記と同様の式が適用されますが、記号XとYはベクトルとして解釈されます。特に、各合計または積分は、 Xに含まれる変数を除くすべての変数に対して行われます。^[5]

つまり、X ₁、X ₂、…、X _nが離散確率変数である場合、周辺確率密度関数は、 X ₁、X ₂、…、X _nが連続確率変数である 場合、周辺確率密度関数は、 $${\displaystyle p_{X_{i}}(k)=\sum p(x_{1},x_{2},\dots ,x_{i-1},k,x_{i+1},\dots ,x_{n});}$$$${\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{i-1}dx_{i+1}\cdots dx_{n}.}$$

• 複合確率分布
• 結合確率分布
• 限界確率
• ワッサーシュタイン計量法
• 条件付き配布

• Everitt, BS; Skrondal, A. (2010). Cambridge Dictionary of Statistics . Cambridge University Press .
• デッキング、FM;クライカンプ、C.ロプハー、HP;ミースター、LE (2005)。確率と統計の現代的な入門書。ロンドン : スプリンガー。ISBN 9781852338961。