確率シミュレーション

確率変数 X は、通常 1 (成功またはデフォルト) または 0 (失敗または生存) で符号化される 2 つの可能な結果がある場合、パラメータ p のベルヌーイ分布に従います^{[ 5 ]。}ここで、成功と失敗の確率は、${\displaystyle P(X=1)=p}$そして${\displaystyle P(X=0)=1-p}$どこ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$。

乱数発生器によって生成された一様分布 U(0,1) からベルヌーイ分布を持つ乱数 X を生成するために、次のように定義します。 $${\displaystyle X={\begin{cases}1,&{\text{if }}0\leq U<p\\0,&{\text{if }}1\geq U\geq p\end{cases}}}$$ 確率が${\displaystyle P(X=1)=P(0\leq U<p)=p}$そして${\displaystyle P(X=0)=P(1\geq U\geq p)=1-p}$[ ^{2 ]​}

パラメータnとpを持つ二項分布確率変数 Y は、n 個の独立かつ同一のベルヌーイ分布確率変数X ₁、X ₂、 ...、X _{n の}和として得られる^{[ 4 ]}

例：コインを3回投げます。表がちょうど2回出る確率を求めます。この問題は標本空間を見ることで解くことができます。表が2回出る方法は3通りあります。

答えは3/8（=0.375）です。^{[ 7 ]}

ポアソン過程とは、時間または空間の区間内で事象がランダムに発生する過程である。^{[ 2 ] [ 8 ]}一定レートλ /時間間隔のポアソン過程の確率分布は、次の式で与えられる。^{[ 4 ]}$${\displaystyle P(k個の事象が区間内で発生する)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}}$$

定義する${\displaystyle N(t)}$時間間隔内に発生するイベントの数${\displaystyle t}$$${\displaystyle P(N(t)=k)={\frac {(t\lambda )^{k}}{k!}}e^{-t\lambda }}$$

イベントの到着間隔は、累積分布関数（CDF）が指数分布に従うことが示せる。${\displaystyle F(t)=1-e^{-t\lambda }}$指数分布の累積分布関数の逆関数は次のように表される。 $${\displaystyle t=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(u)}$$ どこ${\displaystyle u}$は${\displaystyle U(0,1)}$一様分布する確率変数。^{[ 2 ]}

一定レートのポアソン過程のシミュレーション${\displaystyle \lambda }$イベントの数${\displaystyle N}$間隔で発生する${\displaystyle [t_{\text{start}},t_{\text{end}}]}$以下のアルゴリズムで実行できます。^{[ 9 ]}

1. まず${\displaystyle N=0}$そして${\displaystyle t=t_{\text{start}}}$
2. 乱数を生成する${\displaystyle u}$から${\displaystyle U(0,1)}$一様分布
3. 時間を更新して${\displaystyle t=t-\ln(u)/\lambda }$
4. もし${\displaystyle t>t_{\text{end}}}$であれば停止します。そうでなければ、ステップ5に進みます。
5. ${\displaystyle N=N+1}$
6. ステップ2に進んでください。

1977年にダン・ギレスピーによって発表された、累積配列に対する線形探索アルゴリズムです。ギレスピーアルゴリズムを参照してください。

ギレスピーの確率シミュレーションアルゴリズム（SSA）は、本質的に、よく撹拌された化学反応系の時間発展を数値的にシミュレートするための正確な手順であり、そのようなシステムに内在するランダム性を適切に考慮に入れています。^{[ 10 ]}

これは、化学マスター方程式の基礎となる微視的な前提に厳密に基づいており、常微分方程式で数学的に表現される決定論的な反応速度方程式（RRE）よりもシステムの進化をより現実的に表現します。^{[ 10 ]}

化学の基本方程式と同様に、SSAは反応物の数が非常に多い極限において、質量作用の法則と同じ解に収束する。

2000年にギブソンとブルック^{[ 11 ]}によって発表された次反応法は、生成する必要のある乱数の量を減らすことで、第一反応法よりも優れています。反応のサンプリングをより効率的にするために、インデックス付き優先度キューを使用して反応時間を格納します。反応傾向の計算をより効率的にするために、依存グラフも使用されます。この依存グラフは、特定の反応が発生した後にどの反応傾向を更新するかを示します。次反応法はより効率的ですが、直接シミュレーションや第一反応法よりも複雑なデータ構造を必要とします。

2004年^{[ 12 ]}と2005年に発表されたこれらの手法は、累積配列をソートしてアルゴリズムの平均探索深度を削減します。前者は事前シミュレーションを実行して反応の発火頻度を推定し、後者は累積配列をその場でソートします。

2006年に発表された。これは累積配列に対する二分探索であり、反応サンプリングの最悪時間計算量をO(log M)に削減する。

2009年、2010年、2011年に発表（Ramaswamy 2009、2010、2011）。ネットワーク内の種数に応じて計算コストを削減するために、因数分解された部分反応傾向を使用し、（より大きな）反応数に比例するようにスケーリングします。4つのバリアントが存在します。

• PDM（部分傾向直接法）は、反応ネットワーク内の異なる種の数に比例して計算コストが増加するが、ネットワークの結合クラスには依存しない（Ramaswamy 2009）。
• SPDM（ソート部分傾向直接法）は、動的バブルソートを使用して、反応速度が数桁にわたるマルチスケール反応ネットワークにおける計算コストの係数を削減します（Ramaswamy 2009）。
• PSSA-CRは、構成棄却サンプリングを用いた部分傾向SSAです。構成棄却サンプリング（Slepoy 2008）を用いることで、弱結合ネットワーク（Ramaswamy 2010）の計算コストを定数時間（つまり、ネットワークサイズに依存しない）に削減します。
• dPDMは、遅延部分傾向直接法です。遅延SSA法の部分傾向変種（Bratsun 2005、Cai 2007）を提供することにより、PDMを時間遅延を伴う反応ネットワーク（Ramaswamy 2011）に拡張します。

部分傾向法を用いる場合、反応物の種類が最大で2種類以下の基本的な化学反応に限定される。非基本的な化学反応はすべて、ネットワークサイズが（反応の次数に応じて）直線的に増加するという代償を伴いながら、一連の基本的な化学反応に等価に分解することができる。

SSA法は各遷移を追跡するため、時間計算量が高くなり、特定のアプリケーションへの実装は非現実的です。Gillespieは、精度を最小限に損なうだけで計算時間を短縮する近似アルゴリズムであるタウリーピング法を提案しました。 ^{[ 13 ]} SSA法のように各時間ステップでX ( t ) を追跡しながら時間的に増分ステップを取る代わりに、タウリーピング法は1つのサブインターバルから次のサブインターバルへと飛び移り、与えられたサブインターバル中に発生する遷移の数を近似します。リープ値τは、サブインターバル[ t , t + τ ]に沿った遷移率の値に大きな変化がないほど十分に小さいと仮定されます。この条件はリープ条件として知られています。したがって、タウリーピング法は、精度を大きく損なうことなく1回のリープで多くの遷移をシミュレートできるという利点があり、結果として計算時間が短縮されます。^{[ 14 ]}

この方法は、可逆過程（ランダムウォーク/拡散過程を含む）を近似するために、可逆過程の反対事象の正味の速度のみを考慮に入れます。この方法の主な利点は、モデルの以前の遷移速度を新しい有効速度に置き換える単純なif文で実装できることです。このように、遷移速度が置き換えられたモデルは、例えば従来のSSAで解くことができます。^{[ 15 ]}

確率変数X は、確率変数の密度が式^{[ 4 ]}で与えられる場合、パラメータμとσを持つ正規分布に従うと言われ、 X ∈ N ( μ , σ ² )と略記されます。$${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},\quad x\in \mathbb {R} .}$$

実際には多くのものが正規分布に従うか、それに非常に近い分布に従います。たとえば、身長や知能はほぼ正規分布に従います。測定誤差も多くの場合、正規分布に従います。^{[ 19 ]}

指数分布は、ポアソン過程における事象間の時間間隔を表す。ポアソン過程とは、事象が連続的かつ独立に、一定の平均率で発生する過程である。

指数分布は、例えば、特定のイベントが発生するまでの待ち時間をモデル化したい場合の待ち行列理論でよく用いられます。例としては、次の顧客が店に入るまでの時間、特定の企業が債務不履行に陥るまでの時間、または機械に欠陥が生じるまでの時間などが挙げられます。 ^{[ 4 ]}

スチューデントのt分布は、資産収益の確率モデルとして金融分野で使用されています。t分布の密度関数は次の式で与えられます。 ^{[ 4 ]}$${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}},}$$ どこ${\displaystyle \nu }$は自由度の数であり、${\displaystyle \Gamma }$はガンマ関数です。

nの値が大きい場合、t分布は標準正規分布と大きく異ならない。通常、 n > 30の場合、 t分布は標準正規分布と等しいとみなされる。

• 一般化された極値分布