漸近分布

数学と統計学において、漸近分布は、ある意味では分布のシーケンスの「限界」分布である確率分布です。漸近分布の考え方の主な用途の 1 つは、統計推定量の累積分布関数の近似値を提供することです。

分布の列は、i = 1, 2, ..., Iに対するランダム変数の列Z _iに対応します。最も単純なケースでは、 i が増加するにつれてZ _iの確率分布が確率分布 (漸近分布) に収束する場合、漸近分布が存在します。分布の収束を参照してください。漸近分布の特殊なケースは、i が無限大に近づくにつれてランダム変数の列が常にゼロ、つまりZ _i = 0 になる場合です。ここで、漸近分布は退化した分布であり、値 0 に対応します。

しかし、漸近分布という用語が使われる最も一般的な意味は、ランダム変数Z _{i が}2つの非ランダムな値の列によって変更される場合である。つまり、

${\displaystyle Y_{i}={\frac {Z_{i}-a_{i}}{b_{i}}}}$

2つの数列{ a _i }と{ b _i }に対して、分布が非退化分布に収束する場合、 Z _{i は}その分布を漸近分布として持つと言われる。漸近分布の分布関数がFである場合、 nが大きい場合、次の近似が成り立つ。

${\displaystyle P\left({\frac {Z_{n}-a_{n}}{b_{n}}}\leq x\right)\approx F(x),}$

${\displaystyle P(Z_{n}\leq z)\approx F\left({\frac {z-a_{n}}{b_{n}}}\right).}$

漸近分布が存在する場合、ランダム変数のシーケンスのいずれかの結果が収束する数値シーケンスであるとは限りません。収束するのは確率分布のシーケンスです。

おそらく、漸近分布として現れる最も一般的な分布は正規分布です。特に、中心極限定理は、漸近分布が正規分布である例を示しています。

中心極限定理

が、およびのiidランダム変数のシーケンスであるとします。がの平均であるとします。すると、 が無限大に近づくにつれて、ランダム変数は分布において正規分布に収束します。^[1]${\displaystyle \{X_{1},X_{2},\dots \}}$${\displaystyle \mathrm {E} [X_{i}]=\mu }$${\displaystyle \operatorname {Var} [X_{i}]=\sigma ^{2} <\infty }$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {n}}(S_{n}-\mu )}$ ${\displaystyle N(0,\sigma ^{2})}$

中心極限定理は漸近分布のみを与えます。有限数の観測値に対する近似値としては、正規分布のピークに近い場合にのみ妥当な近似値を提供します。裾まで広がるには非常に多くの観測値が必要です。

局所漸近正規性は中心極限定理の一般化です。これは統計モデルのシーケンスの特性であり、パラメータの再スケーリング後に、このシーケンスを正規位置モデルで漸近的に近似することができます。局所漸近正規性が保持される重要な例は、正規のパラメトリック モデルからの独立かつ同一に分布するサンプリングの場合です。これはまさに中心極限定理です。

バーンドルフ・ニールソンとコックスは漸近正規性の直接的な定義を提供している。^[2]

• 漸近解析
• 漸近理論（統計学）
• ド・モアブル・ラプラスの定理
• 離散点の密度の限界
• デルタ法