感染症の数理モデル

数理モデルは、感染症の進行を予測し、流行（植物における流行を含む）の起こりうる結果を示し、公衆衛生および植物衛生対策の策定に役立ちます。モデルは、基本的な仮定や収集された統計データと数学的手法を用いて、様々な感染症のパラメータを求め、それらのパラメータを用いて、集団予防接種プログラムなどの様々な対策の効果を計算します。モデリングは、どの対策を避けるべきか、どの対策を試行すべきかを決定したり、将来の成長パターンを予測したりするのに役立ちます。

感染症のモデリングは、病気が広がるメカニズムを研究したり、流行の将来の経過を予測したり、流行を制御するための戦略を評価したりするために使用されてきたツールです。^{[ 1 ]}

死因を体系的に定量化しようと試みた最初の科学者は、 1662年にジョン・グラントが著した『死亡統計表に基づく自然および政治に関する観察』である。彼が研究した統計表は、毎週公表される死亡者数と死因のリストであった。グラントによる死因の分析は、「競合リスク理論」の始まりと考えられており、デイリーとガニ^{[ 1 ]}によれば、この理論は「現代の疫学者の間では確立された理論」である。

病気の蔓延を数学的にモデル化した最初の例は、 1760年にダニエル・ベルヌーイによって行われた。医師としての訓練を受けたベルヌーイは、天然痘に対する予防接種の実践を擁護するために数学モデルを作成した。^{[ 2 ]}このモデルによる計算では、天然痘に対する普遍的な予防接種によって平均寿命が26歳7ヶ月から29歳9ヶ月に延びることが示された。 ^{[ 3 ]}ダニエル・ベルヌーイの研究は、現代の細菌説の理解に先立つものであった。^{[ 4 ]}

20世紀初頭、ウィリアム・ハマー^{[ 5 ]}とロナルド・ロス^{[ 6 ]}は、集団行動の法則を応用して伝染病の挙動を説明した。

1920年代には、コンパートメントモデルが登場しました。カーマック・マッケンドリック流行モデル（1927年）とリード・フロスト流行モデル（1928年）は、いずれも集団における感受性者、感染者、免疫者の関係を記述しています。カーマック・マッケンドリック流行モデルは、記録された多くの流行で観察されたものと非常によく似た流行の挙動を予測することに成功しました。^{[ 7 ]}

近年、エージェントベースモデル（ABM）は、より単純なコンパートメントモデルの代わりに用いられるようになっている。^{[ 8 ]}例えば、疫学ABMは、SARS-CoV-2の蔓延に対する公衆衛生（非医薬品）介入の指針として用いられてきた。^{[ 9 ]}疫学ABMは、その複雑さと高い計算能力を必要とするにもかかわらず、単純化され非現実的な仮定に基づいているとして批判されてきた。^{[ 10 ] [ 11 ]}それでも、ABMが正確に較正されている場合、緩和策や抑制策に関する意思決定の指針として役立つ可能性がある。^{[ 12 ]}

モデルは、その基礎となる仮定の良し悪しによってのみ評価されます。モデルが観測結果と矛盾する予測を行い、数学的に正しい場合、モデルを有用なものにするためには、初期の仮定を変更する必要があります。^{[ 13 ]}

• 年齢分布が長方形で定常的である、つまり、人口の全員がL歳まで生き、その後死亡し、各年齢（L歳まで）における人口の人数が一定である。これは、乳児死亡率が低く、人口の大部分が平均寿命まで生きる先進国では、しばしば妥当な仮定となる。
• 人口の均質な混合、すなわち、調査対象集団の個人は無作為に集まり接触し、主に小さなサブグループ内で混ざり合うことはないという仮定。社会構造は広範囲に及ぶため、この仮定が正当化されることは稀である。例えば、ロンドンのほとんどの人は、他のロンドン市民としか接触しない。さらに、ロンドン内には、トルコ人コミュニティやティーンエイジャー（ほんの2つの例）のような、グループ外の人々よりも互いに交流する小さなサブグループが存在する。しかし、均質な混合は、数学的な分析を扱いやすくするための標準的な仮定である。

伝染病の拡大に関する一般的な説明では、1人が2人に感染させ、その2人が4人に感染させ、といった具合に感染が広がり、世代ごとに感染者数が倍増していくとされています。これは、1人が2人にタッチし、その2人がまだタッチされていない4人にタッチするという鬼ごっこに似ています。このゲームが進むにつれて、タッチされた人が以前にタッチされた人を追い越し、まだタッチされていない人を追いかけるため、ますます激しくなります。したがって、この伝染病モデルでは、人口全体が感染するまで指数関数的に増加する曲線が描かれ、最終的にはゼロに落ち込みます。つまり、集団免疫はなく、現実に見られるようなピークと緩やかな減少もありません。^{[ 19 ]}

伝染病は、人々の間の接触ネットワークを介して広がる病気としてモデル化できます。このようなネットワークはグラフで数学的に表現でき、接触ネットワークと呼ばれます。^{[ 20 ]}接触ネットワークの各ノードは個人を表し、ノード間の各リンク（エッジ）はそれらの間の接触を表します。接触ネットワーク内のリンクは、個人間で病気を伝染させるために使用される可能性があり、各病気は接触ネットワーク上で独自のダイナミクスを持ちます。接触ネットワークに対する介入（もしあれば）の影響下での病気のダイナミクスの組み合わせは、伝染ネットワークとして知られる別のネットワークでモデル化できます。伝染ネットワークでは、すべてのリンクが病気の伝染に関与します。このようなネットワークが局所的に木のようなネットワーク、つまり、そのようなネットワーク内の任意の局所的な近傍が木の形をとる場合、基本的な再生産は伝染ネットワークの平均過剰次数で次のように記述できます。

$${\displaystyle R_{0}={\frac {\langle k^{2}\rangle }{\langle k\rangle }}-1,}$$

どこ${\displaystyle {\langle k\rangle }}$はネットワークの平均次数（平均次数）であり、${\displaystyle {\langle k^{2}\rangle }}$は、伝播ネットワークの次数分布の2次モーメントです。ただし、接触ネットワークと疾病ダイナミクスから伝播ネットワークを見つけることは必ずしも容易ではありません。^{[ 21 ]}例えば、接触ネットワークがポアソン次数分布を持つエルデシュ・レニーグラフで近似でき、疾病伝播パラメータが上記の例で定義されているように、${\displaystyle \beta }$は一人当たりの感染率であり、この病気の平均感染期間は${\displaystyle {\dfrac {1}{\gamma }}}$すると基本再生産数は${\displaystyle R_{0}={\dfrac {\beta }{\gamma }}{\langle k\rangle }}$^{[ 22 ] [ 23 ]}以来 ${\displaystyle {\langle k^{2}\rangle }-{\langle k\rangle }^{2}={\langle k\rangle }}$ポアソン分布の場合。

基本再生産数（ R ₀で表される）は、病気の伝染性の度合いを示す指標です。これは、感染者が感染期間中に平均して何人に感染させるかを示すものです。この数値によって、感染が指数関数的に増加するか_{、終息するか、一定のままになるかが決まります。R 0 > 1 の場合、平均して各人が他の 1 人以上に感染させるため、病気は広がります。R 0} < 1の_場合、平均して各人が他の 1 人未満に感染させるため、病気は終息します。R 0 = 1 の場合、平均して各人が他の 1 人にちょうど感染させるため、病気は風土病になります。つまり_、人口全体に広がりますが、増加も減少もしません。^{[ 24 ]}

感染症は、外部からの流入を必要とせずに集団内で持続できる場合に風土病であると言われます。これは、平均して感染者1人がちょうど1人に感染させていることを意味します（これより多いと感染者数は指数関数的に増加し、流行になります。これより少ないと病気は終息します）。数学的に言うと、次のようになります。

${\displaystyle \ R_{0}S\ =1.}$

全員が感染しやすいと仮定した場合の、病気の基本再生産数 (R 0) に、実際に感染しやすい人口の割合 (S) を掛けたものは1でなければ_なりません (感染しにくい人は病気にかからないため、計算には含まれません)。この関係は、病気が風土病の定常状態にあるためには、基本再生産数が高いほど、感染しやすい人口の割合が低くなければならず、その逆もまた然りであることを意味します。この式には、感染しやすい人口の割合に関する制限があります。たとえば、R ₀が 0.5 の場合、S は 2 でなければなりませんが、この割合は人口規模を超えています。

年齢分布が矩形定常分布であると仮定し、感染年齢も各出生年において同じ分布を持つとします。感染の平均年齢をAとします。例えば、Aより若い人は感染しやすく、 Aより年上の人は免疫（または感染性）があるとします。すると、感染しやすい人の割合は、簡単な議論によって次のように表されることが示されます。

${\displaystyle S={\frac {A}{L}}.}$

Lは、このモデルにおいてすべての個体が死亡すると想定される年齢であることを改めて述べておきます。しかし、風土病の定常状態の数学的定義は、次のように書き換えることができます。

${\displaystyle S={\frac {1}{R_{0}}}.}$

したがって、推移律により：

${\displaystyle {\frac {1}{R_{0}}}={\frac {A}{L}}\Rightarrow R_{0}={\frac {L}{A}}.}$

_これは、容易に入手可能なデータを用いてパラメータR₀を推定する簡単な方法を提供する。

年齢分布が指数分布である人口の場合、

${\displaystyle R_{0}=1+{\frac {L}{A}}.}$

これにより、 AとLが与えられた場合、どちらのタイプの人口分布においても、疾病の基本再生産数を求めることができる。

コンパートメントモデルはマルコフ連鎖として定式化される。^{[ 25 ]}疫学における古典的なコンパートメントモデルはSIRモデルであり、これは流行をモデル化するための単純なモデルとして使用できる。他にも複数のタイプのコンパートメントモデルが使用されている。

SIRモデル

1927年、WO KermackとAG McKendrickは、感受性、感染、および感染の3つのコンパートメントのみを持つ固定集団を考慮したモデルを作成しました。${\displaystyle S(t)}$; 感染した、${\displaystyle I(t)}$回復し、${\displaystyle R(t)}$このモデルで使用される区画は、次の 3 つのクラスで構成されています。^{[ 26 ]}

• ${\displaystyle S(t)}$あるいは、その集団における疾病に罹患しやすい人々。
• ${\displaystyle I(t)}$これは、その病気に感染しており、感受性のある人々に病気を広める可能性のある人々を指します。
• ${\displaystyle R(t)}$これは、感染後、予防接種または死亡によって病気から解放された人々を対象とする区分です。この区分に属する人々は、再び感染したり、他人に感染を広げたりすることはありません。

数理モデルは、宿主と病原体の相互作用に関して生成される増大するデータ量を統合する必要がある。植物や動物（人間を含む）の感染症の個体群動態、構造、進化に関する多くの理論的研究は、この問題に関心を寄せている。^{[ 27 ]}

研究テーマには以下が含まれます。

• 抗原シフト
• 疫学ネットワーク
• 耐性の進化と拡散
• 免疫疫学
• 宿主内動態
• パンデミック
• 病原体集団遺伝学
• 宿主内における病原体の持続性
• 系統動態学
• 感染源の役割と特定
• 宿主遺伝因子の役割
• 空間疫学
• 統計的・数学的ツールとイノベーション
• 菌株（生物学）の構造と相互作用
• 感染の伝播、拡大、および制御
• 毒性

人口のうち免疫を持つ人の割合が、その病気に対する集団免疫レベルを超えると、その病気はもはや集団内で存続できなくなり、その伝播は終息する。 ^{[ 28 ]}したがって、ワクチン接種または過去の病気への曝露からの回復により十分な数の人が免疫を獲得すれば、その病気は集団から排除することができる。例えば、 1977年に最後の野生型症例が確認された天然痘の根絶、および3種類の野生型ポリオウイルスのうち2種類（2型は1999年に最後の症例が報告された後、2015年に、3型は2012年に最後の症例が報告された後、2019年に）の国内伝播の根絶が認定されている。^{[ 29 ]}

集団免疫レベルをqと表記する。安定状態の場合、以下のことが成り立つことを思い出してほしい。

${\displaystyle R_{0}\cdot S=1.}$

順番に、

${\displaystyle R_{0}={\frac {N}{S}}={\frac {\mu N\operatorname {E} (T_{L})}{\mu N\operatorname {E} [\min(T_{L},T_{S})]}}={\frac {\operatorname {E} (T_{L})}{\operatorname {E} [\min(T_{L},T_{S})]}},}$

これはおおよそ次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\operatorname {\operatorname {E} } (T_{L})}{\operatorname {\operatorname {E} } (T_{S})}}=1+{\frac {\lambda }{\mu }}={\frac {\beta N}{v}}.}$

S は(1 − q )となる。なぜなら、 qは免疫を持つ人口の割合であり、q + Sは1に等しくなければならないからである（この単純化されたモデルでは、全員が感受性か免疫のどちらかであるため）。すると次のようになる。   

${\displaystyle {\begin{aligned}&R_{0}\cdot (1-q)=1,\\[6pt]&1-q={\frac {1}{R_{0}}},\\[6pt]&q=1-{\frac {1}{R_{0}}}.\end{aligned}}}$

これはあくまで閾値レベルであることを覚えておいてください。集団予防接種プログラムによって免疫を持つ人の割合がこのレベルを超えた場合にのみ、感染による死滅が起こります。

私たちは、臨界免疫閾値（qc_と表記）を計算しました。これは、集団内で感染症が終息するために、出生時（または出生直後）に免疫接種を受ける必要がある人口の最小割合です。

${\displaystyle q_{c}=1-{\frac {1}{R_{0}}}.}$

なぜなら、最終的な人口規模pのうち、決して感染しない人口の割合は次のように定義できるからである。

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }S(t)=e^{-\int _{0}^{\infty }\lambda (t)\,dt}=1-p.}$

したがって、

${\displaystyle p=1-e^{-\int _{0}^{\infty }\beta I(t)\,dt}=1-e^{-R_{0}p}.}$

解決する${\displaystyle R_{0}}$すると、次の結果が得られます。

${\displaystyle R_{0}={\frac {-\ln(1-p)}{p}}.}$

モデルは、単一の予測を行うのではなく、複数の結果を同時に検証できるという利点があります。モデルは、 SARS、SARS-CoV-2、^{[ 30 ]}豚インフルエンザ、MERS、エボラ出血熱などの過去のパンデミックにおいて、幅広い信頼性を示してきました。^{[ 31 ]}

• バラバシ AL (2016)。ネットワーク科学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-107-07626-6。
• Brauer F、Castillo-Chavez C (2012).集団生物学と疫学における数理モデル. 応用数学テキスト. 第 40巻. doi : 10.1007/978-1-4614-1686-9 . ISBN 978-1-4614-1685-2。
• Daley DJ 、 Gani JM (1999)。疫学モデリング入門。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-01467-0。
• Hamer WH (1929). Epidemiology, Old and New . Macmillan. hdl : 2027/mdp.39015006657475 . OCLC 609575950 . 
• Ross R (1910).マラリアの予防. Dutton. hdl : 2027/uc2.ark:/13960/t02z1ds0q . OCLC 610268760 . 

ソフトウェア

• モデルビルダー：常微分方程式モデルの構築、シミュレーション、および解析を行うための対話型（GUIベース）ソフトウェア。
• GLEaMvizシミュレーター：世界中に広がる新興感染症のシミュレーションを可能にします。
• STEM：Eclipse Foundationを通じて入手可能な、疫学モデリングのためのオープンソースフレームワーク。
• Rパッケージsurveillance：疫病現象の時間的・空間的モデリングとモニタリング