曲線フィッティング

1次多項式方程式

${\displaystyle y=ax+b\;}$

は傾きaの直線です。直線は任意の 2 点を結ぶので、1 次多項式方程式は、異なる x 座標を持つ任意の 2 点を正確に近似します。

方程式の次数を2次多項式に上げると、次の結果が得られます。

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\;.}$

これは、単純な曲線を3つの点に正確に当てはめます。

方程式の次数を3次多項式に上げると、次の式が得られます。

${\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\;.}$

これはちょうど4つの点に収まります。

より一般的な言い方をすれば、それは 4 つの制約に正確に適合するということです。各制約は、点、角度、または曲率(接円の半径の逆数) のいずれかになります。角度と曲率の制約は、多くの場合、曲線の両端に追加され、その場合は端条件と呼ばれます。同一の端条件は、単一のスプライン内に含まれる多項式曲線間のスムーズな遷移を保証するためによく使用されます。「曲率の変化率」などの高次の制約も追加できます。これは、たとえば、高速道路のクローバーリーフ設計において、クローバーリーフに沿って走行する車に加わる力の変化率 (ジャークを参照) を理解し、それに応じて適切な速度制限を設定するのに役立ちます。

1次多項式は1点と角度に対して正確に適合する可能性があり、3次多項式は2点、角度制約、および曲率制約に対して正確に適合する可能性があります。これらの多項式およびより高次の多項式については、他にも多くの制約の組み合わせが可能です。

制約条件がn  + 1 個以上ある場合 （nは多項式の次数）、多項式曲線はそれらの制約条件を満たすように描画できます。すべての制約条件に完全に適合するとは限りませんが（例えば、1 次多項式が 3 つの共線点に完全に適合する場合など）、一般的には、各近似を評価するための何らかの方法が必要になります。最小二乗法は、偏差を比較する一つの方法です。

多項式の次数を上げるだけで正確な一致が得られるにもかかわらず、近似的な一致を求める理由はいくつか挙げられる。

• 完全に一致するものが存在する場合でも、必ずしも容易に発見できるとは限りません。使用するアルゴリズムによっては、正確な一致を計算できない場合や、解を見つけるのに膨大な計算時間を要する場合など、例外的なケースが発生する可能性があります。このような状況では、近似解が必要となる場合があります。
• サンプル中の疑わしいデータポイントを平均化する方が、曲線をそれらに正確に適合させるために歪めるよりも望ましい場合がある。
• ルンゲ現象：高次多項式は非常に振動的になることがあります。曲線が2点AとBを通る場合、曲線はAとBの中点付近を通ると予想されます。しかし、高次多項式曲線ではそうならない場合があり、正または負の絶対値が非常に大きくなることさえあります。低次多項式の場合、曲線は中点付近を通る可能性が高くなります（1次多項式では、曲線は必ず中点を通ります）。
• 次数が低い多項式は滑らかになりがちで、次数が高い多項式曲線は「でこぼこ」になりがちである。これをより正確に定義すると、多項式曲線で可能な変曲点の最大数はn-2であり、n は多項式の次数である。変曲点とは、曲線の半径が正から負に変化する点である。これは、曲線が「水を溜めている」状態から「水を放出している」状態に移行する点とも言える。次数が高い多項式がでこぼこになるのは「可能性」に過ぎず、滑らかになる可能性もあるが、次数が低い多項式曲線とは異なり、保証はない。15 次多項式は最大で 13 個の変曲点を持つ可能性があるが、11 個、9 個、あるいは 1 個までの任意の奇数個の変曲点を持つ可能性もある。（次数が偶数の多項式は、n  -  2 個から 0 個までの任意の偶数個の変曲点を持つ可能性がある。）

多項式曲線の次数が、正確なフィッティングに必要な次数よりも高い場合、高次多項式の場合に挙げたすべての理由から好ましくないだけでなく、解が無限に存在するケースにもつながります。例えば、通常のように2点ではなく1点のみで制約された1次多項式（直線）は、無限の解を持つことになります。これは、ソフトウェアと人間の両方にとって問題となる可能性のある、1つの解を比較して選択する方法という問題を引き起こします。そのため、通常はすべての制約条件で正確な一致が得られるように、できるだけ低い次数を選択するのが最善であり、近似的なフィッティングで許容できる場合は、さらに低い次数を選択するのが望ましいでしょう。

場合によっては、三角関数（正弦や余弦など）といった他の種類の曲線も使用されることがあります。

分光法では、データはガウス関数、ローレンツ関数、フォークト関数、および関連する関数で近似されることがある。

In biology, ecology, demography, epidemiology, and many other disciplines, the growth of a population, the spread of infectious disease, etc. can be fitted using the logistic function.

In agriculture the inverted logistic sigmoid function (S-curve) is used to describe the relation between crop yield and growth factors. The blue figure was made by a sigmoid regression of data measured in farm lands. It can be seen that initially, i.e. at low soil salinity, the crop yield reduces slowly at increasing soil salinity, while thereafter the decrease progresses faster.

Coope^[23] approaches the problem of trying to find the best visual fit of circle to a set of 2D data points. The method elegantly transforms the ordinarily non-linear problem into a linear problem that can be solved without using iterative numerical methods, and is hence much faster than previous techniques. In addition to applying the general method of least squares, Strutz also explains a solution using the total least squares method, which takes into account the Euclidean distance between the observations and the circular curve ^[24].

The equation of a conic section (including the ellipses) has the form ^[25]

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

境界上のデカルト座標(x,y)を持つ点の場合。散在点(x _i ,y _i )のデータセットと固定された楕円の場合、この方程式の右辺はもはやゼロではありません。点を楕円にフィッティングする 1 つのアプローチは、残差右辺の (二乗) の合計が最小になるように 6 つのパラメータAからFを見つけることです。これは、基本的に(x _i ,y _i )の混合べき乗の合計を含む関連する6 x 6行列の固有ベクトルを見つけることによって解決される線形最小二乗フィッティング問題につながります。 ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}

上記の手法は、非線形ステップを追加することで 一般の楕円に拡張され^{[ 30 ] 、その結果、高速でありながら任意の向きと変位の視覚的に美しい楕円を見つける方法となる。幾何学的フィットは、データ点から楕円の境界までの直交距離の二乗の合計を最小化する。 [ 31 ] [ 32 ]} これらの直交距離を近似する同様の方法は、サンプソンメトリックに基づいている。 ^{[ 33 ] [ 34 ]}