回復力（数学）

数理モデルでは、レジリエンスとは、動的システムが摂動から回復し、元の安定した定常状態に戻る能力を指します。^{[ 1 ]}これは、変化や擾乱に直面したときのシステムの安定性と堅牢性の尺度です。システムが十分にレジリエントでない場合、摂動に対してより脆弱になり、臨界遷移を起こしやすくなります。平衡のレジリエンスの概念を説明するためによく使われる類推は、谷にあるボールです。レジリエントな定常状態は深い谷にあるボールに対応し、押す力や摂動によってボールはすぐに元の静止点に戻ります。一方、レジリエントでない定常状態は浅い谷にあるボールに対応し、摂動の後、ボールが平衡状態に戻るにははるかに長い時間がかかります。

回復力の概念は、転換点を示すシステムにおいて特に有用であり、その研究はカタストロフィー理論にまで遡る長い歴史を持つ。この理論は当初過剰に宣伝され、支持を失ったが、その数学的基盤は依然として強固であり、現在では多くの異なるシステムに関連するものとして認識されている。^{[ 2 ] [ 3 ]}

1973年、カナダの生態学者CS Hollingは、生態系の文脈で回復力の定義を提案した。Hollingによれば、回復力とは「システムの持続性と、変化や撹乱を吸収し、個体群間または状態変数間の同じ関係を維持する能力の尺度」である。Hollingは、回復力を工学的回復力と生態学的回復力の2種類に区別した。^{[ 4 ]}工学的回復力とは、地震後に修復できる橋のように、撹乱後にシステムが元の状態に戻る能力を指す。一方、生態学的回復力とは、山火事の後、生物多様性と生態系サービスを維持しながら再生できる森林のように、撹乱にもかかわらずシステムがそのアイデンティティと機能を維持する能力を指す。時が経つにつれ、かつては明確に定義され曖昧さのない回復力の概念は、徐々に明確さを失い、より曖昧になり、具体的な尺度というよりは包括的な用語に近くなっている。^{[ 5 ]}

数学的には、回復力は平衡状態への回帰時間の逆数で近似できる^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]。}

${\displaystyle {\text{resilience}}\equiv -{\text{Re}}(\lambda _{1}({\textbf {A}}))}$

どこ${\textstyle \lambda _{1}}$は行列の最大固有値です${\textstyle {\textbf {A}}}$。

この値が大きいほど、システムは元の安定した定常状態に戻るのが速くなり、言い換えれば、摂動が減衰するのが速くなります。^{[ 9 ]}

生態学において、回復力とは、火災、干ばつ、外来種の侵入などの撹乱から生態系が回復する能力を指す場合がある。回復力のある生態系は、これらの変化に適応して機能し続けることができるが、回復力の低い生態系は、不可逆的な損傷や崩壊を経験する可能性がある。 ^{[ 10 ]}回復力の正確な定義は実際的な問題に関して曖昧なままであり、そのため生態系の管理へのその知見の適切な適用は遅れている。^{[ 11 ]}

疫学において、回復力とは、健康なコミュニティが感染者の侵入から回復する能力を指す場合がある。つまり、回復力のあるシステムは、新たな感染症の侵入後も病気のない平衡状態を維持する可能性が高い。安定しているシステムの中には、基本再生産数が1に近づくにつれて回復力が低下し、病気のない定常状態に戻るのに時間がかかる臨界減速を示すものもある。 ^{[ 12 ]}

レジリエンスは複雑系の研究において重要な概念であり、複雑系には予測不可能な方法で互いに影響し合う多くの相互作用するコンポーネントが存在します。^{[ 13 ]}数学モデルは、このようなシステムのレジリエンスを探求し、環境変化やその他の変化に直面した際のレジリエンスを向上させる戦略を特定するために使用できます。たとえば、ネットワークをモデル化する場合、ノードの損失に対するネットワークのレジリエンス、つまりネットワークの堅牢性を定量化できることが重要になることがよくあります。スケールフリーネットワークは、ほとんどのノードがリンクが少ないため、特にレジリエントです^{[ 14 ]}。これは、一部のノードがランダムに削除された場合、接続の少ないノードが削除される可能性が高く、ネットワークの重要な特性が維持されることを意味します。^{[ 15 ]}

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