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数理心理学は、知覚、思考、認知、運動過程の数学的モデル化と、定量化可能な刺激特性と定量化可能な行動（実際には多くの場合、課題遂行によって構成される）を関連付ける法則のような規則の確立に基づく心理学研究のアプローチです。数学的アプローチは、より正確な仮説を導き出し、より厳密な経験的検証をもたらすことを目的として使用されます。数理心理学には、学習と記憶、知覚と精神物理学、選択と意思決定、言語と思考、測定と尺度化の5 つの主要な研究領域があります。[ 1 ]
心理学は独立した科学分野としては物理学よりも新しい学問分野であるが、[ 2 ]心理学への数学の応用は、少なくとも17世紀に遡る物理科学におけるこのアプローチの成功を模倣することを期待して行われてきた。[ 3 ]心理学における数学は、大きく分けて2つの分野で広く用いられている。1つは心理学理論と実験現象の数学的モデル化であり、これは数理心理学につながる。もう1つは心理学における定量的測定の実践に対する統計的アプローチであり、これは心理測定学につながる。[ 2 ]
この取り組みにおいて行動の定量化が基本となるため、測定理論は数理心理学の中心的なテーマです。したがって、数理心理学は心理測定学と密接に関連しています。しかし、心理測定学が主に静的な変数における個人差（または集団構造）に関心を寄せているのに対し、数理心理学は「平均的な個人」から推測される知覚、認知、運動プロセスのプロセスモデルに焦点を当てています。さらに、心理測定学が集団で観察される変数間の確率的依存構造を調査するのに対し、数理心理学は実験パラダイムから得られたデータのモデリングにほぼ専ら焦点を当てており、そのため実験心理学、認知心理学、心理経済学とより密接に関連しています。計算神経科学や計量経済学と同様に、数理心理学の理論は、人間の脳が最適化された方法で問題を解決するように進化してきたという仮定に基づき、統計的最適性を指導原理として用いることがよくあります。認知心理学の中心的なテーマ（例えば、処理能力の制限と無制限、直列処理と並列処理）とその含意は、数理心理学における厳密な分析の中心となっています。
数理心理学者は、心理学の多くの分野、特に精神物理学、感覚と知覚、問題解決、意思決定、学習、記憶、言語、行動の定量的分析において活躍しており、臨床心理学、社会心理学、教育心理学、音楽心理学といった心理学の他の下位分野の研究にも貢献している。
選択と意思決定の理論は、統計理論の発展に根ざしています。1600年代半ば、ブレーズ・パスカルはギャンブルの状況を考察し、さらにパスカルの賭けへと発展させました。[ 4 ] 18世紀には、ニコラ・ベルヌーイが意思決定におけるサンクトペテルブルクのパラドックスを提唱し、ダニエル・ベルヌーイが解決策を示し、後にラプラスがその解決策の修正を提案しました。1763年、ベイズは「確率の教義における問題解決への試み」という論文を発表しました。これはベイズ統計学のマイルストーンです。
ロバート・フックは人間の記憶のモデル化に取り組み、これは記憶研究の先駆けとなった。
19世紀のドイツとイギリスにおける研究の発展により、心理学は新たな学問分野となった。ドイツのアプローチは、すべての人間に共通する心理過程の調査における実験を重視し、イギリスのアプローチは個人差の測定を重視したため、数学の応用方法も異なっていた。
ドイツでは、ヴィルヘルム・ヴントが最初の実験心理学研究所を設立した。ドイツ心理学における数学は、主に感覚と精神物理学に応用されている。エルンスト・ウェーバー（1795～1878）は、様々な実験に基づいて、心に関する最初の数学的法則であるウェーバーの法則を提唱した。グスタフ・フェヒナー（1801～1887）は、感覚と知覚に関する理論に貢献し、その一つがウェーバーの法則を修正したフェヒナーの法則である。
心理学における数理モデル化は長い歴史を持ち、19世紀にエルンスト・ウェーバー（1795～1878）とグスタフ・フェヒナー（1801～1887）が、心理学的プロセスに関数方程式を応用した最初の人物として始まりました。彼らはそれによって、実験心理学全般、特に精神物理学の分野を確立しました。
19世紀の天文学研究者たちは、望遠鏡の十字線を星が通過する正確な時刻を記録することで、星間の距離を測量していた。現代のような自動記録装置がなかったため、これらの時間測定は完全に人間の反応速度に依存していた。異なる天文学者によって測定された時間にわずかな系統的な差があることが指摘されており、これを初めて体系的に研究したのはドイツの天文学者フリードリヒ・ベッセル（1782～1846）であった。ベッセルは、基本的な反応速度の測定値から、天文学的計算から個人差を相殺する独自の式を構築した。これとは別に、物理学者のヘルマン・フォン・ヘルムホルツは、反応時間を測定して神経伝導速度を決定し、聴覚の共鳴理論とヤング＝ヘルムホルツの色覚理論を開発した。
これらの2つの研究は、オランダの生理学者FCドンダースと彼の学生JJデ・ヤーガーの研究で結びつき、基本的な精神操作に必要な時間を多かれ少なかれ客観的に定量化するための反応時間の可能性を認識しました。ドンダースは、単純な反応時間を測定することによって複雑な認知活動の要素を科学的に推測するために、自身の精神時間測定法を使用することを構想しました[ 5 ]。
感覚や知覚の分野では発展が見られるものの、ヨハン・ヘルバルトは意識の精神過程を理解するために、認知領域における数学的理論体系を構築した。
イギリス心理学の起源はダーウィンの進化論に遡ることができる。しかし、イギリス心理学の隆盛は、人間の心理的変数における個人差に関心を持ったフランシス・ゴルトンの功績によるところが大きい。イギリス心理学における数学は主に統計学であり、ゴルトンの研究と手法は心理測定学の基礎となっている。
ガルトンは、同一人物の特性をモデル化する際に二変量正規分布を導入し、測定誤差を調査して独自のモデルを構築したほか、姓の消滅を調べるために確率的分岐過程も開発した。ガルトンから始まったイギリス心理学における知能研究への関心の伝統も存在する。ジェームズ・マッキーン・キャッテルとアルフレッド・ビネーは知能検査を開発した。
最初の心理学実験室は、ドンダースの考えを大いに活用したヴィルヘルム・ヴントによってドイツに設立された。しかし、実験室で得られた結果は再現が難しく、これはすぐにヴントが導入した内観法に起因するものとされた。問題の一部は、天文学者が発見した反応速度の個人差に起因していた。ヴント自身はこうした個人差には関心を示さず、人間の精神全般の研究に注力していたようだが、ヴントの教え子であるアメリカ人のジェームズ・マッキーン・キャッテルはこうした個人差に魅了され、イギリス滞在中にその研究に着手した。
ヴントの内観法が失敗に終わったことで、様々な学派が台頭した。ヴントの研究室は、フェヒナーやウェーバーの刺激強度に関する研究と同様に、人間の意識的な経験に焦点を当てていた。一方、イギリスでは、フランシス・ゴルトンが主導した人体計測学の発展の影響を受け、ベッセルの研究と同様に、心理的変数における人間の個人差に関心が向けられた。キャッテルはすぐにゴルトンの方法を採用し、心理測定学の基礎を築くのに貢献した。
20世紀以前から多くの統計的手法が開発されていました。チャールズ・スピアマンは、分散と共分散によって個人差を研究する因子分析を発明しました。ドイツ心理学とイギリス心理学は融合し、アメリカ合衆国に引き継がれました。20世紀初頭には、統計的手法がこの分野を支配しました。重要な統計的発展として、構造方程式モデリング（SEM）と分散分析（ANOVA）の2つがあります。因子分析では因果関係を推論できないため、相関データから因果関係を推論する構造方程式モデリングの手法がシーウォール・ライトによって開発され、これは今日でも主要な研究分野となっています。これらの統計的手法が心理測定学を形成しました。心理測定学会は1935年に設立され、学術誌『Psychometrika』は1936年から発行されています。
アメリカでは、行動主義は内観主義とそれに伴う反応時間研究に反対して出現し、心理学研究の焦点を完全に学習理論へと向けた。 [ 5 ]ヨーロッパでは、内観主義はゲシュタルト心理学に生き残った。行動主義は第二次世界大戦終結までアメリカの心理学を支配し、精神過程に関する推論をほとんど控えた。形式理論はほとんど存在しなかった（視覚と聴覚を除く）。
戦争中、工学、数理論理学、計算可能性理論、コンピュータ科学、数学の発展、そして人間の能力と限界を理解する必要性から、実験心理学者、数学者、エンジニア、物理学者、経済学者が集結した。こうした様々な分野の融合から数理心理学が生まれた。特に信号処理、情報理論、線形システムとフィルタ理論、ゲーム理論、確率過程、数理論理学の発展は心理学的思考に大きな影響を与えた。[ 5 ] [ 6 ]
心理学レビュー誌に掲載された学習理論に関する2つの重要な論文は、行動主義者が依然として支配的であった世界でこの分野を確立するのに役立ちました。ブッシュとモステラーによる論文は学習への線形演算子アプローチを提唱し[ 7 ]、エステスによる論文は心理学理論における刺激サンプリングの伝統を始めました[ 8 ] 。これらの2つの論文は、学習実験からのデータに関する最初の詳細な形式的説明を提示しました。
学習過程の数理モデルは、行動学習理論が隆盛を極めた1950年代に大きく発展した。その一つがウィリアムズ・K・エステスによる刺激サンプリング理論であり、もう一つはロバート・R・ブッシュとフレデリック・モステラーによる線形演算子モデルである。
信号処理と検出理論は、知覚、精神物理学、および非感覚的認知の分野で幅広く用いられている。フォン・ノイマンの著書『ゲーム理論と経済行動』は、ゲーム理論と意思決定の重要性を確立した。R・ダンカン・ルースとハワード・ライファは、選択と意思決定の分野に貢献した。
言語と思考の分野は、コンピュータ科学と言語学、特に情報理論と計算理論の発展とともに注目を集めるようになった。チョムスキーは言語学モデルと計算階層理論を提唱し、アレン・ニューウェルとハーバート・サイモンは人間が問題を解決するモデルを提唱した。人工知能とヒューマンコンピュータインターフェースの発展は、コンピュータ科学と心理学の両分野において活発な研究領域となっている。
1950 年代以前、心理測定学者は測定誤差の構造と心理量の測定のための高検出力統計的手法の開発を重視していましたが、心理測定研究のほとんどは、測定される心理量の構造や応答データの背後にある認知要因には関心を払っていませんでした。スコットとサップスは、データの構造とデータを表す数値システムの構造との関係を研究しました。[ 9 ]クームズは、統計的データ処理アルゴリズムではなく、測定状況における回答者の形式的認知モデル、例えば展開モデルを構築しました。[ 10 ] [ 11 ]もう一つの画期的な成果は、スティーブンスのべき乗則のような心理物理データを収集する新しい方法とともに、心理物理スケーリング関数の新しい形式が開発されたことです。[ 12 ]
1950年代には、ルースの選択理論、タナーとスウェッツによる人間の刺激検出のための信号検出理論の導入、ミラーの情報処理アプローチなど、心理過程の数学的理論が急増した。 [ 6 ] 1950年代末までに、心理測定学者を除いて、数理心理学者の数はほんの一握りから10倍以上に増加した。これらのほとんどは、インディアナ大学、ミシガン大学、ペンシルベニア大学、スタンフォード大学に集中していた。[ 6 ] [ 13 ]これらのうち何人かは、米国社会科学研究評議会からスタンフォード大学で社会科学者向けの数学の夏季ワークショップで教えるよう定期的に招待され、協力関係を促進した。
数理心理学の分野をより明確に定義するために、1950 年代の数理モデルが、Luce、Bush、Galanter によって編集された一連の巻にまとめられました。2 つの読本[ 14 ]と 3 つのハンドブック[ 15 ]です。この一連の巻は、この分野の発展に役立つことがわかりました。1963 年夏、主に因子分析の研究を除く、心理学のすべての分野の理論的および数学的研究のためのジャーナルの必要性が感じられました。RC Atkinson、RR Bush、WK Estes、RD Luce、P. Suppesが主導したイニシアチブにより、 1964 年 1 月にJournal of Mathematical Psychologyの創刊号が発行されました[ 13 ]。
1960年代、コンピュータ科学、論理学、言語理論の発展の影響を受け、モデリングは計算メカニズムやデバイスへと傾倒していった。後者の例としては、いわゆる認知アーキテクチャ（例えば、プロダクションルールシステム、ACT-R）や、コネクショニストシステム、ニューラルネットワークなどが挙げられる。
刺激の物理的特性と主観的知覚の関係を表す重要な数学的表現としては、ウェーバー・フェヒナーの法則、エクマンの法則、スティーブンスのべき乗則、サーストンの比較判断の法則、信号検出理論（レーダー工学から借用）、マッチング法則、古典的条件づけに関するレスコーラ・ワーグナーの法則などがある。最初の3つの法則はすべて決定論的性質を持つが、後に確立された関係はより根本的に確率的である。これは、心理過程の数学的モデリングの進化における一般的なテーマであり、古典物理学に見られる決定論的関係から本質的に確率的なモデルへと移行してきた。
出典: [ 16 ]
発達心理学は、時間の経過に伴う心理的変化の特徴を記述するだけでなく、これらの変化の根底にある原理や内部メカニズムを説明することにも関心を寄せている。心理学者は、モデルを用いることでこれらの要因をより深く理解しようと試みてきた。モデルは、プロセスが起こる手段を説明するものでなければならない。これは、発達過程における行動の変化に対応する可能性のある脳の変化を参照することによって行われる場合がある。
発達心理学において、数理モデルは理論を正確かつ容易に研究できる形で実装するのに役立ち、多様な現象の生成、説明、統合、予測を可能にする。発達には、記号モデル、コネクショニスト（ニューラルネットワーク）モデル、動的システムモデルなど、いくつかのモデリング手法が応用されている。
動的システムモデルは、複雑なシステムのさまざまな特徴がどのように相互作用して、創発的な行動や能力を生み出すかを示します。非線形ダイナミクスは、特に人生の転換期、人間の発達、時間の経過に伴う行動や感情の変化など、時間性に注意を払う必要がある問題に対処するために、人間のシステムに適用されてきました。非線形動的システムは現在、感情[ 17 ]、第二言語の習得[ 18 ] 、移動[ 19 ]などの人間の発達の離散的な現象を説明する方法として研究されています。
主要な学術誌としては、『Journal of Mathematical Psychology』、『Computational Brain & Behavior』、そして『British Journal of Mathematical and Statistical Psychology』が挙げられる。この分野では、毎年3つの学会が開催されており、米国で開催される数理心理学会の年次総会、ヨーロッパで開催される欧州数理心理学グループの年次総会、そしてオーストラリア・ニュージーランド数理心理学会議である。