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1940年代初頭、ニコラス・ラシェフスキー[ 2 ] [ 3 ]、そしてその後1940年代後半にはアナトール・ラポポートらが、ノードが人物、リンクが知り合い関係である大規模なソーシャルネットワークの特性評価に関係論的かつ確率論的なアプローチを開発した。1940年代後半には、接触の閉鎖性（AがBとCの両方にリンクされている場合、BとCが互いにリンクしている確率は偶然よりも高い）などの局所的なパラメータを、ネットワーク全体の特性である接続性に結びつける公式が導き出された。[ 4 ]
さらに、知り合いであることは肯定的なつながりですが、人々の間の敵意などの否定的なつながりはどうでしょうか? この問題を解決するために、点と線のネットワークの抽象的な表現を数学的に研究するグラフ理論を拡張して、これら 2 種類のリンクを含めることができ、それによって、符号付きグラフとして表現される肯定的および否定的な感情関係の両方を表すモデルを作成できます。符号付きグラフは、すべてのサイクル (すべてのグラフ サイクル内のリンク) のすべての関係の符号の積が正である場合にバランスが取れていると呼ばれます。数学者Frank Hararyによる形式化により、この研究はこの理論の基本定理を生み出しました。それは、相互に関連する肯定的および否定的なつながりのネットワークがバランスが取れている場合、たとえば、「友人の敵は私の敵」という心理学的原則で示されているように、それは、各サブ ネットワークのノード間に肯定的なつながりがあり、異なるサブ ネットワークのノード間には否定的なつながりしかない 2 つのサブ ネットワークから構成されていると述べています。[ 5 ] ここでのイメージは、2 つの派閥に分裂する社会システムです。ただし、2 つのサブネットワークのうちの 1 つが空になるという特別なケースがあり、これは非常に小さなネットワークで発生する可能性があります。別のモデルでは、つながりには相対的な強さがあります。「知り合い」は「弱い」つながりと見なすことができ、「友情」は強いつながりとして表されます。上記で説明した均一な従兄弟と同様に、強い三項閉鎖と呼ばれる閉鎖の概念があります。グラフが強い三項閉鎖を満たすのは、A が B に強く接続され、B が C に強く接続されている場合、A と C はつながり (弱いまたは強い) を持たなければならない場合です。
これら2つの発展には、構造の分析に関連する数学モデルが含まれています。数学社会学におけるその他の初期の重要な発展は、プロセスに関するものでした。例えば、1952年にハーバート・A・サイモンは、決定論的な微分方程式系からなるモデルを構築することにより、社会集団に関する既発表の理論[ 6 ]を数学的に定式化しました。このシステムの形式的な研究により、あらゆる集団のダイナミクスと暗黙の平衡状態に関する定理が得られました。
社会科学における数学モデルの出現は、1940年代と1950年代の時代精神の一部であり、情報理論、ゲーム理論、サイバネティクス、社会科学および行動科学における数学モデル構築など、さまざまな新しい学際的な科学的革新が起こった。[ 7 ]
社会学研究における数学に焦点を当てた数理社会学は、数学を用いて社会理論を構築する。数理社会学は、社会学理論を数学的な用語で表現することを目指す。このアプローチの利点としては、明確性の向上や、直感では到達できない理論の含意を数学を用いて導き出す能力などが挙げられる。数理社会学では、「数学モデルの構築」という表現が好まれるスタイルである。これは、ある社会現象について特定の仮定を立て、それを形式的な数学で表現し、そのアイデアに経験的な解釈を与えることを意味する。また、モデルの特性を推論し、それらを関連する経験的データと比較することも意味する。 社会ネットワーク分析は、この分野が社会学全体および科学コミュニティ全体にもたらした最もよく知られた貢献である。数理社会学で一般的に使用されるモデルは、社会学者が局所的な相互作用がどれほど予測可能であるかを理解することを可能にし、多くの場合、社会構造の全体的なパターンを引き出すことができる。[ 8 ]
1954年、社会学者のジェームズ・S・コールマンは、ラシェフスキーの社会行動モデルに関する批判的な解説分析を執筆した。[ 9 ]ラシェフスキーのモデルとサイモンが構築したモデルは、次のような疑問を提起する。このような理論モデルを、社会学のデータにどのように結びつけることができるのか。社会学のデータとは、多くの場合、人々が何かを信じたり行動したりする割合という形で結果が表される調査の形をとる。これは、個人が短い時間間隔で状態を変える可能性についての仮定から方程式を導き出すことを示唆しており、確率過程の数学ではよく知られた手順である。
コールマンはこの考えを1964年の著書『数理社会学入門』で具体化し、社会ネットワークにおける確率過程を、関連データとの比較によって構築されたモデルを検証できるように分析する方法を示した。同じ考え方は、社会関係の変化過程にも適用可能であり、社会ネットワーク研究における活発な研究テーマであり、科学誌『サイエンス』に掲載された実証研究によって示されている。[ 10 ]
コールマンは別の研究で、一般均衡理論などの経済学から得た数学的アイデアを用いて、一般的な社会理論は目的的行為の概念から始めるべきであり、分析上の理由から、合理的な選択モデルを用いてそのような行為を近似すべきであると主張した（Coleman、1990）。この主張は、他の社会学者が社会学的分析に合理的な選択理論を用いようと試みた見解と類似しているが、そのような試みは実質的および哲学的批判に直面している。[ 11 ]
一方、先に述べたタイプの構造分析は、制度化された社会関係、特に親族関係に基づく社会ネットワークへとさらに拡張された。ここで数学と社会学を結びつけたのは抽象代数学、特に群論である。[ 12 ] これにより、複雑な社会ネットワークの準同型還元に関するデータ分析版に焦点が当てられるようになった（これは他の多くの手法とともに、WassermanとFaust 1994 [ 13 ]で紹介されている）。
ラポポートのランダムで偏ったネット理論に関して言えば、彼がホルヴァートと共著した1961年の大規模な社会図の研究は、非常に影響力のある論文となった。[ 14 ]この影響の初期の証拠があった。1964年、トーマス・ファラロと共著者は、偏ったネットモデルを使用して別の大規模な友情社会図を分析した。[ 15 ] 1960年代後半、スタンレー・ミルグラムはスモールワールド問題を記述し、それに関するフィールド実験を行った。[ 16 ] [ 17 ]マーク・グラノヴェッターは、ラポポートの1961年の論文に基づいて、弱い結びつきと強い結びつきの区別を提案し適用するという、非常に有益なアイデアを提案し適用した。重要なアイデアは、弱い結びつきにも「強さ」があるということだった。[ 18 ]
社会学の研究プログラムの中には、社会的相互作用のプロセスを研究するために実験的手法を用いるものがある。 ジョセフ・バーガーとその同僚は、理論的概念「期待状態」を用いて、対人関係のプロセス、例えば社会における外部的地位と地域集団の意思決定における影響力の差異を結びつけるプロセスを説明する理論モデルを構築するという中心的な考え方に基づくプログラムを開始した。この理論的研究の多くは、特に1970年代後半に社会情報処理のグラフ理論的表現が採用されて以降、数学的モデル構築と結びついており、バーガー（2000）は自身の研究プログラムの発展を振り返ってこう述べている。1962年、彼と共同研究者は、モデル構築者の目標を参照することでモデル構築を説明した。その目標とは、理論における概念の解明、単一の反復的な社会プロセスの表現、あるいは理論的構成に基づく広範な理論であり、それぞれ心理的および社会的構造におけるバランスの概念、実験状況における同調のプロセス、刺激サンプリング理論などが挙げられる。[ 19 ]
ラポポート、サイモン、ハラリー、コールマン、ホワイト、バーガーに続く数学社会学者の世代、そして1960年代にこの分野に参入したトーマス・ファラロ、フィリップ・ボナチッチ、トム・メイヤーなどを含む多くの人々は、様々な形で彼らの研究成果を活用した。
数理社会学は社会学の分野の中では小さなサブフィールドにとどまっているが、社会生活を形式的にモデル化するという目標を共有する他の多くのサブフィールドを生み出すことに成功している。これらの分野の中で最も重要なのはソーシャルネットワーク分析であり、これは21世紀に社会学の中で最も急速に成長した分野の一つとなっている。[ 20 ] この分野におけるもう一つの大きな発展は、コンピュータシミュレーション、人工知能、高度な統計的手法を用いて数学的ツールキットを拡張する計算社会学の台頭である。後者のサブフィールドは、インターネット上の社会的相互作用によって生成される社会活動に関する膨大な新しいデータセットも利用している。
数理社会学の重要性を示す重要な指標の一つは、この分野の総合的な学術誌、例えば『アメリカ社会学ジャーナル』や『アメリカ社会学レビュー』といった中心的な学術誌が、この分野全体に影響を与える数理モデルを発表してきたことである。
数学社会学における近年の動向は、『数学社会学ジャーナル』（JMS）への寄稿論文に顕著に表れている。いくつかの傾向が際立っている。小集団プロセスに関する実験データを説明する形式理論のさらなる発展、主要な数学的・理論的概念としての構造的均衡への継続的な関心、理論指向の数学的モデルと方法論に関連する革新的な定量的手法の相互浸透、社会複雑性の問題研究におけるコンピュータシミュレーションの利用、ミクロ・マクロ連関と創発の問題への関心、そして社会関係のネットワークに関する研究の絶え間ない増加などである。
このように、初期の頃から扱われてきたバランスモデルやネットワークモデルといったテーマは、現代においてもなお関心を集めています。用いられる形式的な手法は、微分方程式、確率過程、ゲーム理論など、数学における標準的でよく知られた手法が依然として多く用いられています。コンピュータシミュレーション研究で用いられるエージェントベースモデルのような新しいツールも、重要な位置を占めています。社会拡散、社会的影響、社会的地位の起源と結果、隔離、協力、集団行動、権力など、長年にわたり研究を牽引してきた実質的な問題も、依然として研究の原動力となっています。
数理社会学における多くの発展、特に形式理論は、著名な数理社会学者や形式理論家による先駆的な貢献から始まり、数十年にわたる顕著な進歩を遂げてきました。これは、近年の貢献に注目するもう一つの方法であり、「研究プログラム」という概念を用いることで、初期の研究との連続性を強調することができます。研究プログラムとは、何らかの基本原理やアプローチに基づいた、一貫性のある一連の理論的・実証的研究のことです。このようなプログラムは数多く存在し、以下では、この概念を代表する代表的な研究事例を簡潔に紹介するにとどめます。各プログラムにおける先駆的なリーダーシップと、数十年にわたるその後の発展に重点を置いています。
（１）合理選択理論とジェームズ・S・コールマン：1964年の先駆的な『数理社会学入門』の後、コールマンは社会理論と数理モデル構築に貢献し続け、1990年の著書『社会理論の基礎』は、 1950年代から1990年代にかけての彼のキャリアにおける主要な理論的著作であり、他にも多くの研究に基づく貢献が含まれていた。[ 21 ] 『基礎』は、合理選択理論が権威、信頼、社会資本、規範（特にその出現） といった社会学的トピックの分析においてどのように機能するかを示す分かりやすい例を組み合わせたものである。このようにして、この本は、合理選択理論が社会学的説明のミクロレベルからマクロレベルへの移行に効果的な基盤を提供できることを示した。本書の重要な特徴は、数学的アイデアを用いて合理的選択モデルを一般化し、対人感情関係を結果の修正要因として含め、その一般化された理論が、より自己中心的な元の理論を特殊なケースとして捉えるようにしている点である。この点は、後の理論分析で強調されている。[ 22 ]この理論の合理性に関する前提は、社会学理論家の間で議論を巻き起こした。[ 23 ]それにもかかわらず、多くの社会学者は、コールマンによるミクロからマクロへの移行に関する一般的なテンプレートの定式化を利用して、彼自身と学問分野がさまざまなマクロ社会現象の説明に焦点を当てている中心的なトピックの継続に有利な立場を得た。これらの現象では、合理的選択は、個々の行動を組み合わせて社会プロセスのマクロな結果を説明するために、ミクロレベルを単純化していた。[ 24 ]
（２）構造主義（形式的）とハリソン・C・ホワイト：初期の貢献以来、数十年にわたり、ハリソン・ホワイトは社会構造分析を数学的かつ経験的な基盤の上に構築する分野で先導的な役割を果たしてきました。その一例として、1970年に出版された『Chains of Opportunity: System Models of Mobility in Organizations 』では、組織内および組織間の移動に関する空席連鎖モデルを提示し、データに適用しました。彼の非常に影響力のある他の業績には、ブロックモデルと構造的等価性の操作的概念があり、これらは社会関係データの集合体から出発し、これらの手順と概念を使用して分析結果を生成します。これらのアイデアと方法は、彼の元教え子であるフランソワ・ロレーヌ、ロナルド・ブライガー、スコット・ブーアマンとの共同作業で開発されました。この３人は、1963年から1986年の間にホワイトの下で博士号を取得した３０人以上の学生のうちの３人です。[ 25 ]ブロックモデルの理論と応用については、最近のモノグラフで詳細に説明されています。[ 26 ]ホワイトの後期の貢献には、市場に対する構造主義的アプローチ[ 27 ]や、1992 年の一般的な理論的枠組み[ 28 ]があり、これは後に改訂版として出版された[ 29 ] 。
（３）期待状態理論とジョセフ・バーガー：バーガーの知的かつ組織的なリーダーシップの下、期待状態理論は、期待状態という基本概念に基づいてそれぞれ特定の問題を扱う多数の具体的な研究プログラムへと枝分かれしていった。彼と彼の同僚であり、頻繁に共同研究を行ったモーリス・ゼルディッチ・ジュニアは、自らの研究成果を発表しただけでなく、スタンフォード大学に博士課程を創設し、マレー・ウェブスター、デイビッド・ワグナー、ハミット・フィセクといった著名な元学生による膨大な研究成果を生み出した。数学者ロバート・Z・ノーマンとの共同研究により、自己と他者の相互作用における社会的情報処理を表現・分析する方法として、数学的グラフ理論が用いられるようになった。バーガーとゼルディッチはまた、 1962年には早くも、モデルの種類に関する共同解説分析によって、形式的理論化と数学的モデル構築の研究を進展させた。[ 30 ] バーガーとゼルディッチは、新しい研究成果を発表する場を提供することで、他の理論的研究プログラムの進歩を刺激し、2002年に編集された書籍[ 31 ]に結実しました。この書籍には、集団プロセスを扱う累積的な研究プログラムとしての期待状態理論の権威ある概観を示す章が含まれています。
（4）理論社会学における形式化とトーマス・J・ファラロ：この社会学者の貢献の多くは、数学的思考を社会学理論により近づけることに捧げられてきた。[ 32 ] 彼は社会学理論家が出席するシンポジウムを組織し、そこで形式理論家が論文を発表し、それらは後に2000年に出版された。[ 33 ] 学生や同僚との共同研究を通じて、彼自身の理論研究プログラムは、マクロ構造理論とE状態構造主義（いずれも元学生のジョン・スクヴォレッツと共同）、階層化の主観的イメージ[ 34 ]（元学生のケンジ・コサカと共同）、三部構造分析（同僚のパトリック・ドレイアンと共同）[ 35 ] 、計算社会学（同僚のノーマン・P・ハモンと共同） [ 36 ] [ 37 ]といったトピックを扱った。彼の著書のうち2冊は、理論社会学への彼のアプローチを詳細に論じたものである。[ 38 ] [ 39 ]
（５）ソーシャルネットワーク分析とリントン・C・フリーマン：1960年代初頭、フリーマンはコミュニティの権力構造に関する高度な実証研究を指揮した。1978年、彼は学術誌『ソーシャルネットワーク』を創刊した。 この雑誌は、ネットワークデータを分析するために数学的手法を用いた独創的な研究論文の主要な発表の場として急速に発展した。同誌はまた、彼の論文「ソーシャルネットワークにおける中心性：概念の明確化」を含む概念的および理論的な貢献も掲載している。そして、その論文で定義された数学的概念は、アイデアのさらなる発展、実験的検証、そして実証研究における数多くの応用につながった。[ 40 ] 彼はソーシャルネットワーク分析の分野の歴史と社会学に関する研究の著者でもある。[ 41 ]
（６）定量的方法論とケネス・C・ランド：ケネス・ランドは、社会学における定量的方法論と形式理論モデル構築の最前線に立ってきた。影響力のある年刊誌『社会学的方法論』は、定量的方法論と数理社会学の交差点に位置する論文を発表するランドのお気に入りの媒体の一つである。彼の理論論文のうち２つは、この雑誌に初期に掲載された。「デュルケームの分業理論の数学的形式化」（1970年）と「形式理論」（1971年）である。彼の数十年にわたる研究プログラムには、社会統計、社会指標、確率過程、数理犯罪学、人口統計学、社会予測など、数多くの特殊なトピックと方法論に関する貢献が含まれている。このように、ランドはこれらの分野に、統計学者、数学者、社会学者のスキルを兼ね備えている。
（７）感情制御理論とデイビッド・R・ハイゼ：1979年、ハイゼは解釈社会学、特に象徴的相互作用論の伝統に則った画期的な形式的かつ実証的研究『出来事の理解：感情と社会的行動の構築』を発表した。これは、ハイゼ自身やリン・スミス＝ロビン、ドーン・ロビンソン、ニール・マッキノンといった他の社会学者によるその後の理論的・実証的研究を含む研究プログラムの始まりとなった 。状況の定義と自己・他者の定義は、感情制御理論における主要な概念の２つである。ハイゼや他の貢献者が用いた形式主義は、検証済みの測定形式とサイバネティック制御メカニズムを使用し、即時の感情を根本的な感情と比較することで、状況における即時の感情を感情と一致させようとする努力を生み出す。最も単純なモデルでは、相互作用するペアの各人物は、役割関係の一方の側として表され、それぞれの役割に関連付けられた根本的な感情が即時の相互作用のプロセスを導く。状況の定義が変化する、より高次の制御プロセスが活性化される可能性がある。この研究プログラムは、社会学における制御システム理論（パワーズ1975 [ 43 ]の意味での）への貢献をまとめた2006年の書籍[ 42 ]の主要章のいくつかを包含している。
（８）「分配的正義理論」とギレルミナ・ハッソ：1980年以来、ハッソは数学的手法を用いた独自の理論で分配的正義の問題に取り組んできた。[ 44 ]彼女はこの理論を詳細に検討し、幅広い社会現象に適用してきた。[ 45 ] 彼女の最も一般的な数学的手法は、分配的正義理論を特殊なケースとして、実際の状態とそれに対する参照レベルとの間の主観的な比較、例えば実際の報酬と期待される報酬の比較などを扱う。彼女の正義理論では、正義評価関数（実際の報酬と正当な報酬の比率の自然対数）という非常に単純な前提から出発し、そこから経験的に検証可能な多くの含意を導き出している。[ 46 ]
（9）共同研究とジョン・スクヴォレッツ。現代科学の大きな特徴は、参加者の特異なスキルが組み合わさって独創的な研究を生み出す共同研究である。スクヴォレッツは、他の貢献に加えて、さまざまな理論研究プログラムで頻繁に共同研究者として活動しており、実験計画、統計データ分析、シミュレーション手法のスキルだけでなく、数学の専門知識もよく活用している。いくつかの例を挙げると、次の通りである。（1）バイアスネット理論における理論的、統計的、数学的問題に関する共同研究。[ 47 ] （2） 期待状態理論への共同貢献。[ 48 ] （3）初等理論への共同貢献。[ 49 ]（4）ブルース・メイヒューとの構造主義研究プログラムにおける共同研究。[ 50 ] 1970年代初頭から、スクヴォレッツは数理社会学の発展に最も多作な貢献者の一人である。[ 51 ]
上記の議論は、ピーター・アベルや故レイモン・ブードンといったヨーロッパの社会学者を含む、他の多くのプログラムや個人にも拡大することができるだろう。
アメリカ社会学会の数理社会学部門は2002年、この分野への貢献を称える賞を創設し、その中にはジェームズ・S・コールマン功労賞も含まれている。（コールマンは同部門設立前の1995年に死去している。）隔年で授与されるこの賞の受賞者には、キャリアを通じての研究活動で名を連ねた、先に挙げた人々も含まれる。
同セクションのその他の賞のカテゴリーとその受賞者は、ASA数理社会学セクションのウェブサイトに掲載されています。
数理社会学の教科書は様々なモデルを扱っており、通常は文献における重要な研究を論じる前に、必要な数学的背景を説明しています（Fararo 1973、Leik and Meeker 1975、Bonacich and Lu 2012）。Otomar Bartos (1967) による初期のテキストも依然として関連性があります。より広範な範囲と高度な数学的知識を必要とするテキストとしては、Rapoport (1983) があります。モデルにつながる説明的思考への非常に分かりやすく想像力豊かな入門書としては、Lave and March (1975、1993年再版) があります。Journal of Mathematical Sociology (1971年創刊) は、特に頻繁な特集号を通して、様々な種類の数学を用いた幅広いトピックを扱った論文を受け入れています。数学を多用した論文を掲載している社会学の他のジャーナルとしては、Computational and Mathematical Organization Theory、Journal of social structure、Journal of Artificial Societies and Social Simulationなどがあります。
社会構造分析を専門とする学術誌『ソーシャル・ネットワークス』に掲載される論文では、数学モデルや関連する構造データ分析が頻繁に用いられている。さらに、社会学研究への数学モデル構築の浸透を示す重要な例として、社会学の主要な総合学術誌、特に『アメリカ社会学ジャーナル』と『アメリカ社会学レビュー』では、数学的定式化を特徴とする論文が定期的に掲載されている。