数学図

チャートやグラフなどの数学的な図は、主に時間の経過に伴う比較など、数学的な関係を伝えるために設計されています。^[1]

複素数は、アルガンド図と呼ばれる図上でベクトルを形成する一対の数として視覚的に表現できます。 複素平面はアルガンド図で使用されるため、アルガンド平面と呼ばれることもあります。アルガンド図はジャン＝ロベール・アルガン（1768年 - 1822年）にちなんで名付けられましたが、最初に記述したのはノルウェー系デンマーク人の測量士で数学者のカスパル・ヴェッセル（1745年 - 1818年）です。^{[2]アルガンド図は、}関数の極と零点の位置を複素平面にプロットするためによく使用されます。

複素平面の概念により、複素数の幾何学的解釈が可能になります。加法の下では、複素数はベクトルのように加算されます。2 つの複素数の乗算は、極座標で最も簡単に表現できます。つまり、積の大きさまたは係数は、2 つの絶対値、つまり係数の積であり、積の角度または引数は、2 つの角度、つまり引数の合計です。 特に、係数 1 の複素数による乗算は、回転として機能します。

高速フーリエ変換アルゴリズムのコンテキストでは、バタフライとは、小さな離散フーリエ変換(DFT)の結果を大きな DFT に結合する計算部分、またはその逆 (大きな DFT をサブ変換に分割する) を指します。「バタフライ」という名前は、以下で説明するように、基数 2 の場合のデータフロー図の形状に由来しています。同じ構造は、最も可能性の高い隠れた状態のシーケンスを見つけるために使用されるビタビ アルゴリズムにも見られます。

バタフライ ダイアグラムは、基数 2 のCooley–Tukey FFT アルゴリズムの「バタフライ」ステップで、入力x (左) とそれに依存する出力y (右) を接続するデータ フロー ダイアグラムを示します。このダイアグラムは、比較のために示したモルフォ蝶のように蝶に似ているため、この名前が付けられています。

数学、特に圏論において、可換図とは、頂点とも呼ばれるオブジェクトと、矢印または辺とも呼ばれる射の図であり、2 つのオブジェクトを選択した場合、図を通る任意の有向パスは、合成によって同じ結果につながります。

可換図は、代数学における方程式の役割を圏論において果たします。

ハッセ図は有限の半順序集合の簡単な図であり、半順序の推移的縮小の図を形成します。具体的には、集合の各要素をページ上の頂点として表し、 x < yかつx < z < yとなるzが存在しない場合に、 xからyに向かって上向きの線分または曲線を描きます。この場合、 y がx を覆う、または y が x の直後にあると言います。ハッセ図では、各曲線がちょうど 2 つの頂点、つまり 2 つの端点と交わるように描く必要があります。このような図は (頂点にラベルが付けられている場合) 一意に半順序を決定し、任意の半順序には一意の推移的縮小がありますが、平面上での要素の配置は多数あり、その結果、特定の順序に対してさまざまなハッセ図が生成され、外観が大きく変化する可能性があります。

結び目理論では、結び目を視覚化して操作する便利な方法は、結び目を平面に投影することです。壁に影を落とす結び目を想像してください。投影の選択に少し変化を加えると、交差と呼ばれる二重点を除いて、1対1であることが保証されます。交差では、結び目の「影」が横方向に1回交差します^[3]

交差するたびに、どの部分が「上」でどの部分が「下」であるかを示し、元の結び目を再現できるようにする必要があります。これは、下に向かうストランドに切れ目を入れることでよく行われます。図に従って、結び目が交互に「上」と「下」を交差する場合、図は特によく研究されている結び目のクラス、交互結びを表しています。

ベン図は数学的な集合の表現法である。集合を円で表した数学的な図であり、集合同士の関係が重なり合う位置で表現され、集合間のあらゆる関係が示される。^[4]

ベン図は、平面上に描かれた単純な閉曲線の集合で構築されます。これらの図の原理は、クラスが互いに関係する領域によって表され、これらのクラスのすべての可能な論理関係が同じ図で示されるというものです。つまり、図には最初にクラスのあらゆる可能な関係のための余地が残されており、実際のまたは与えられた関係は、特定の領域がヌルであるかヌルでないかを示すことによって指定できます。^[5]

ボロノイ図は、空間内の特定の離散的なオブジェクト集合 (たとえば、離散的な点集合) までの距離によって決定される距離空間の特殊な分解です。この図は、ジョージ・ボロノイにちなんで名付けられ、ボロノイ分割、ボロノイ分解、またはピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレにちなんでディリクレ分割とも呼ばれます。

最も単純なケースでは、平面上の点の集合 S が与えられ、これがボロノイサイトです。各サイト s には、他のサイトよりも s に近いすべての点からなるボロノイセル V(s) があります。ボロノイ図の線分は、平面上の 2 つのサイトから等距離にあるすべての点です。ボロノイノードは、3 つ (またはそれ以上) のサイトから等距離にある点です。

壁紙グループ、平面対称グループ、または平面結晶グループは、パターンの対称性に基づいた 2 次元の繰り返しパターンの数学的分類です。このようなパターンは、建築や装飾芸術で頻繁に発生します。17 の異なるグループが考えられます。

壁紙グループは、2 次元の対称グループであり、複雑さの点ではより単純なフリーズ グループと 3 次元の結晶グループ (空間グループとも呼ばれる) の中間です。壁紙グループは、パターンを対称性によって分類します。微妙な違いによって類似のパターンが異なるグループに分類される場合もありますが、スタイル、色、スケール、または方向が大きく異なるパターンが同じグループに属する場合もあります。

ヤング図またはヤングタブロー(フェラーズ図とも呼ばれる) は、左揃えの行に配置されたボックスまたはセルの有限の集合であり、行のサイズは徐々に減少します (各行の長さは前の行と同じか短くなります)。

各行のボックスの数を列挙すると、図のボックスの総数である正の整数nの分割 が得られます。ヤング図は の形状であると言われ、その分割と同じ情報を持ちます。各列のボックスの数を列挙すると、の共役または転置分割という別の分割が得られます。元の図をその主対角線に沿って反転させることで、その形状のヤング図が得られます。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$

ヤングの表は、 1900年にケンブリッジ大学の数学者アルフレッド・ヤングによって導入されました。その後、1903年にゲオルク・フロベニウスによって対称群の研究に応用されました。その理論は多くの数学者によってさらに発展しました。

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• Barker-Plummer, Dave; Bailin, Sidney C. (1997). 「数学的証明における図の役割」.マシングラフィックスとビジョン. 6 (1): 25–56. CiteSeerX  10.1.1.49.4712 .（図式的表現と推論特集号）。
• Barker-Plummer, Dave; Bailin , Sidney C. ( 2001) 。「数学的ダイアグラムの実際的意味論について」。Anderson, M. (編)。図式的表現による推論。Springer Verlag。CiteSeerX 10.1.1.30.9246。ISBN  978-1-85233-242-6。
• Kidman, G. (2002)。「カリキュラム教材における数学的図表の正確さ」。Cockburn, A.、Nardi, E. (編) 。PME 26 議事録。第 3 巻。イースト アングリア大学。pp. 201–8。
• Kulpa, Zenon (2004)。「数学的知識の図式的表現について」。Andréa Asperti、Bancerek, Grzegorz、Trybulec, Andrzej (編)。数学的知識管理: 第 3 回国際会議、MKM 2004、ポーランド、ビャウォヴィエジャ、2004 年 9 月 19 ～ 21 日: 議事録。Springer。pp. 191 ～204。ISBN 978-3-540-23029-8。
• Puphaiboon, K.; Woodcock, A.; Scrivener, S. (2005 年 3 月 25 日)。「数学的ダイアグラムを作成するための設計方法」。Bust, Philip D.; McCabe, PT (編)。Contemporary ergonomics 2005 Proceedings of the International Conference on Contemporary Ergonomics (CE2005)。Taylor & Francis。ISBN 978-0-415-37448-4。

ウィキメディア・コモンズには、数学図に関連するメディアがあります。

• 「図表」。スタンフォード哲学百科事典。2008 年秋。
• Kulpa, Zenon . 「ダイアグラムマティクス: 図を使って考える技術」。2013 年 4 月 25 日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• オットー・ノイゲバウアーによるユークリッドの現存する最古の図形の一つ
• ロマス、デニス (1998)。「数学教育における図表: 哲学的評価」。教育哲学協会。2011 年 7 月 21 日のオリジナルからアーカイブ。