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数理モデルを支配する方程式は、既知の変数（すなわち独立変数）の1つ以上が変化したときに、未知の変数（すなわち従属変数）の値がどのように変化するかを記述する。
物理システムは、さまざまなレベルの精緻さで現象論的にモデル化することができ、各レベルはシステムに関する異なる詳細度を捉える。支配方程式は、特定のシステムに対して現在利用可能な最も詳細かつ基本的な現象論的モデルを表す。
例えば、最も粗いレベルでは、梁は単なる1次元曲線であり、そのトルクは局所的な曲率の関数です。より洗練されたレベルでは、梁は2次元物体であり、その応力テンソルは局所的なひずみテンソルの関数であり、ひずみテンソルはその変形の関数です。この場合、方程式は偏微分方程式系となります。どちらの洗練度も現象論的なものですが、一方は他方よりも深いことに注意してください。別の例として、流体力学では、ナビエ・ストークス方程式はオイラー方程式よりも洗練されています。
研究分野が進展し、その根底にあるメカニズムへの理解が深まるにつれて、支配方程式は、システムの挙動をより正確に表す、より新しい、より精度の高いモデルに置き換えられたり、改良されたりする可能性があります。これらの新しい支配方程式は、その時点における現象論的モデルの最も深いレベルとみなすことができます。
質量収支（物質収支とも呼ばれる）は、物理システムの解析に質量保存の法則を応用したものです。これは最も単純な支配方程式であり、対象となる量に関する収支計算（バランス計算）に他なりません。
大学で講義されている古典物理学の支配方程式[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] を以下に示します。
古典連続体力学における基本方程式はすべて平衡方程式であり、そのため、それぞれの方程式には従属変数が時間とともにどれだけ変化するかを計算する時間微分項が含まれています。孤立した摩擦のない／粘性のない系の場合、最初の4つの方程式は古典力学でおなじみの保存方程式です。
ダルシーの地下水流法則は、圧力勾配によって生じる体積流量の形をとります。古典力学における流量は、通常、支配方程式ではなく、輸送特性を定義する方程式です。ダルシーの法則はもともと経験式として確立されましたが、後にナビエ・ストークス方程式の近似式と経験的な複合摩擦力項を組み合わせたものとして導出できることが示されました。これが、ダルシーの法則が支配方程式と絶対透水率を定義する方程式という二重性を持つ理由です。
一般的に、平衡方程式における物質微分の非線形性、およびコーシーの運動量方程式とナビエ・ストークス方程式の複雑さにより、古典力学の基本方程式はより単純な近似を確立する必要に迫られる。
古典連続体力学における支配微分方程式の例をいくつか挙げると、
生物学における支配微分方程式の有名な例は
支配方程式は、システムの状態を記述する状態方程式である場合もあります。つまり、問題のモデルが方程式に時間依存項を含めることを想定していなかったため、「上位にランク付けされた」構成方程式である可能性があります。これは、平均的に定常状態モードで動作する石油生産プラントのモデルの場合に当てはまります。1 つの熱力学的平衡計算の結果は、いくつかの新しい状態パラメータとともに、次の平衡計算への入力データとなり、以下同様です。この場合、アルゴリズムと入力データのシーケンスは、最初の状態（入力データのみに基づく）から、計算シーケンスから最終的に得られる最後の状態までの状態変化を記述する一連のアクション、つまり計算を形成します。
