ローレンツ力

物理学、特に電磁気学において、ローレンツ力の法則は、電磁場によって点電荷に働く電気力と磁気力の組み合わせです。一方、ローレンツ力は、電気的に中性で電流を流す導体の近くで発生する物理的効果であり、移動する電荷に磁力をもたらします。

ローレンツ力の法則は、電場Eと磁場Bの中を速度vで運動する電荷 q の粒子が受ける力 ( SI 単位系^{[1] [2]} ) が、 (1) 電場Eの方向の力(電場の大きさと電荷の量に比例) と、(2) 磁場 B と電荷の速度 v の両方に直角の力 (電場の大きさ、電荷、速度に比例)の組み合わせであるとしています。 $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).}$$

この基本式のバリエーションは、電流を流す電線にかかる磁力（ラプラス力と呼ばれることもある）、磁場を通過する電線ループの起電力（ファラデーの電磁誘導の法則の一側面）、および移動する荷電粒子にかかる力を表します。^[3]

歴史家は、この法則は1865年に発表されたジェームズ・クラーク・マクスウェルの論文に暗示されていると示唆している。 ^[4] ヘンドリック・ローレンツは1895年に完全な導出に到達し、^[5]オリバー・ヘヴィサイドが磁力の寄与を正しく特定してから数年後に電気力の寄与を特定した。 ^[6]

古典電磁気学の多くの教科書では、ローレンツ力の法則が電場Eと磁場Bの定義として使われている。^{[7] [8] [9]}具体的には、ローレンツ力は次の経験的記述であると理解されている。

特定の時点および時間における試験電荷にかかる電磁力F は、その電荷qと速度vの特定の関数であり、関数形式で正確に 2 つのベクトルEとBによってパラメータ化できます。$${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$$

これは、光速に近づく粒子（つまり、vの大きさ、| v | ≈ c）にも当てはまります。^[10]したがって、2つのベクトル場EとB は空間と時間にわたって定義され、これらは「電場」と「磁場」と呼ばれます。これらの場は、力を経験する電荷が存在するかどうかに関係なく、テスト電荷が受ける力に関して空間と時間のあらゆる場所で定義されます。

EとBの定義として、ローレンツ力は原理的な定義に過ぎない。なぜなら、現実の粒子（無限小の質量と電荷を持つ仮想の「テスト電荷」とは対照的に）は、それ自身の有限のEおよびBフィールドを生成し、それが受ける電磁力を変化させるからである。^[11]さらに、電荷が加速を受けると、曲線軌道に押し込まれたかのように、運動エネルギーを失う放射線を放出する。例えば、制動放射線やシンクロトロン光を参照のこと。これらの効果は、直接的な効果（放射線反作用力と呼ばれる）と間接的な効果（近くの電荷や電流の動きに影響を与えることによる）の両方で発生する。

クーロンの法則は、静止している点電荷に対してのみ有効です。実際、2 つの点電荷間の電磁力は、距離だけでなく相対速度にも依存します。相対速度が小さく、加速度が非常に小さい場合は、クーロン力の代わりにウェーバー力を適用できます。単一のテスト電荷に対する閉じた DC ループ内のすべての電荷キャリアのウェーバー力の合計は、電流ループの形状に関係なく、ローレンツ力を生成します。

修正クーロンの法則による磁気の解釈は、カール・フリードリヒ・ガウスによって初めて提案されました。1835年、ガウスは、直流ループの各セグメントに、異なる速度で移動する負と正の点電荷が同数含まれていると仮定しました。^[12]クーロンの法則が完全に正しければ、そのような電流ループの2つの短いセグメント間には力が作用しないはずです。しかし、1825年頃、アンドレ・マリー・アンペールは、そうではないことを実験的に実証しました。アンペールは力の法則も定式化しました。この法則に基づいて、ガウスは、2つの点電荷間の電磁力は距離だけでなく相対速度にも依存すると結論付けました。

ウェーバー力は中心力であり、ニュートンの第 3 法則に従います。これは、運動量保存だけでなく、エネルギー保存と角運動量保存も適用されることを示しています。ウェーバー電気力学は準静的近似に過ぎず、つまり、より高い速度や加速度には使用しないでください。ただし、ウェーバー力は、ローレンツ力が多数の点状の電荷キャリア間の中心力にまで遡ることができることを示しています。

外部電場Eと磁場Bにより瞬間速度vを持つ電荷qの粒子に作用する力F は、次のように与えられる（SI量の定義^[1]）：^[13]

ここで、× はベクトル積です（太字の数値はすべてベクトルです）。直交座標成分に関しては、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=q\left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right),\\[0.5ex]F_{y}&=q\left(E_{y}+v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}\right),\\[0.5ex]F_{z}&=q\left(E_{z}+v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}\right).\end{aligned}}}$$

一般に、電場と磁場は位置と時間の関数です。したがって、ローレンツ力は次のように明示的に記述できます: ここで、rは荷電粒子の位置ベクトル、tは時間、オーバードットは時間微分です。 $${\displaystyle \mathbf {F} \left(\mathbf {r} (t),{\dot {\mathbf {r} }}(t),t,q\right)=q\left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+{\dot {\mathbf {r} }}(t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right]}$$

正に帯電した粒子は、 Eフィールドと同じ直線方向に加速されますが、右手の法則に従って、瞬間速度ベクトルvとBフィールドの両方に対して垂直に曲がります (詳細には、右手の指をvの方向を指すように伸ばし、次にBの方向を指すように曲げると、伸ばした親指はFの方向を指します)。

q Eは電気力と呼ばれ、q ( v × B )は磁力と呼ばれます。^[14]いくつかの定義によれば、「ローレンツ力」という用語は特に磁力の式を指し、^[15]総電磁力（電気力を含む）には別の（非標準的な）名前が付けられています。この記事ではこの命名法には従いません。以下では、「ローレンツ力」という用語は総力の式を指します。

ローレンツ力の磁力成分は、磁場内で電流を流す電線に作用する力として現れます。この文脈では、ラプラス力とも呼ばれます。

ローレンツ力は、電磁場が荷電粒子に及ぼす力、つまり、線形運動量が電磁場から粒子に伝達される速度です。これに関連して、エネルギーが電磁場から粒子に伝達される速度である電力があります。この電力は、磁力は 常に粒子の速度に対して垂直であるため、磁場は電力に寄与しないことに注意してください。 $${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {F} =q\,\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} .}$$

運動している連続電荷分布の場合、ローレンツ力の方程式は次のようになります。 ここでは電荷分布の小さな部分に電荷が加わる力です。この方程式の両辺を電荷分布のこの小さな部分の体積で割ると、結果は次のようになります。 ここでは力の密度（単位体積あたりの力）、 は電荷密度（単位体積あたりの電荷）です。次に、電荷連続体の運動に対応する 電流密度は なので 、この方程式の連続的な類似体は^{[16]です。}$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =\mathrm {d} q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathrm {d} q}$${\displaystyle \mathrm {d} V}$$${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} }$$

総力は電荷分布の 体積積分です。$${\displaystyle \mathbf {F} =\int \left(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right)\mathrm {d} V.}$$

とを消去し、マクスウェル方程式を使用し、ベクトル解析の定理を使用して操作することで、この形式の方程式を使用してマクスウェル応力テンソルを導出することができ、次にこれをポインティングベクトルと組み合わせて、一般相対性理論で使用される電磁応力エネルギーテンソルTを得ることができます。^[16]${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

とを用いて、ローレンツ力（単位体積あたり）を別の方法で表すと^[16]となります。 ここで は光速、∇ · はテンソル場の発散を表します。この式は、電場や磁場における電荷の量とその速度ではなく、場のエネルギー流束（単位時間あたり単位距離あたりのエネルギーの流れ）と電荷分布に及ぼされる力を関連付けます。詳細については、 古典電磁気学の共変定式化を参照してください。${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle \mathbf {S} }$ $${\displaystyle \mathbf {f} =\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}}$$${\displaystyle c}$

物質媒体におけるローレンツ力に関連する力の密度は $${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} .}$$

全電荷と全電流を自由部分と束縛部分に分けると、ローレンツ力の密度は次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {f} =\left(\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\mathbf {E} +\left(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\times \mathbf {B} .}$$

ここで、は自由電荷の密度、は分極密度、は自由電流の密度、は磁化密度である。このように、ローレンツ力は磁場によって永久磁石に作用するトルクを説明することができる。関連する電力の密度は ${\displaystyle \rho _{f}}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {J} _{f}}$${\displaystyle \mathbf {M} }$$${\displaystyle \left(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\cdot \mathbf {E} .}$$

上記の式は、最も一般的なSIで使用される電場と磁場の定義の規則を使用しています。ただし、同じ物理法則 (つまり、電子などに働く力) を持つ他の規則も可能であり、使用されています。一部の理論物理学者や凝縮系実験者の間ではやや一般的な、 古いCGS ガウス単位で使用される規則では、代わりに となります。ここ で、cは光速です。この式は若干異なっているように見えますが、次の関係があるため同等です。^[1] ε ₀は真空の誘電率 で、μ _{0 は}真空の透磁率です。実際には、下付き文字の「G」と「SI」は省略され、使用されている規則 (および単位) は文脈から判断する必要があります。 $${\displaystyle \mathbf {F} =q_{\mathrm {G} }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {G} }+{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} _{\mathrm {G} }\right),}$$ $${\displaystyle q_{\mathrm {G} }={\frac {q_{\mathrm {SI} }}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}},\quad \mathbf {E} _{\mathrm {G} }={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\,\mathbf {E} _{\mathrm {SI} },\quad \mathbf {B} _{\mathrm {G} }={\sqrt {4\pi /\mu _{0}}}\,{\mathbf {B} _{\mathrm {SI} }},\quad c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}.}$$

電磁力を定量的に記述する初期の試みは、18世紀半ばになされた。1760年にヨハン・トビアス・マイヤーらによって磁極に働く力は^[17] 、 1762年にヘンリー・キャベンディッシュによって帯電物体に働く力は[ ^{18] 、}逆二乗則に従うと提唱された。しかし、どちらの場合も実験的証明は完全でも決定的でもなかった。1784年にシャルル＝オーギュスタン・ド・クーロンがねじり天秤を使って実験によってこれが真実であることを決定的に証明するまで^{[19]、 1820年に}ハンス・クリスチャン・エルステッドが磁針に電流が作用することを発見した直後、同年アンドレ＝マリー・アンペールは実験によって、2つの電流要素間の力の角度依存性に関する式を考案した。^{[20] [21]}これらすべての説明において、力は電場や磁場ではなく、関係する物質の特性と2つの質量または電荷間の距離によって常に説明されていました。^[22]

現代の電場と磁場の概念は、マイケル・ファラデーの理論、特に力線の考えの中で最初に生まれ、後にケルビン卿とジェームズ・クラーク・マクスウェルによって完全に数学的に説明されました。^[23]現代的な観点からは、1865年にマクスウェルが定式化した場の方程式の中に、電流に関連するローレンツの力の方程式の一形式を見出すことができますが、^[4]マクスウェルの時代には、彼の方程式が移動する荷電物体に働く力とどのように関係しているかは明らかではありませんでした。JJトムソンは、マクスウェルの場の方程式から、移動する荷電物体に働く電磁力を、物体の特性と外部場の観点から導出しようとした最初の人物でした。トムソンは、陰極線中の荷電粒子の電磁気的挙動を決定することに興味を持ち、1881年に論文を発表し、外部磁場によって粒子に働く力を次のように示した。 ^{[6] [24]} トムソンは正しい基本形を導出したが、いくつかの計算ミスと変位電流の不完全な記述のために、式の前に誤ったスケール係数として半分を含めた。オリバー・ヘヴィサイドは現代のベクトル表記を発明し、それをマクスウェルの場の方程式に適用した。彼はまた（1885年と1889年に）トムソンの導出の誤りを修正し、移動する荷電物体に働く磁力の正しい形に到達した。^{[6] [25] [26]}最終的に、1895年に、^{[5] [27]}ヘンドリック・ローレンツは、電場と磁場の両方からの全力への寄与を含めた電磁力の式の現代的な形を導出した。ローレンツは、エーテルと伝導に関するマクスウェルの記述を放棄することから始めた。代わりに、ローレンツは物質と光伝導エーテルを区別し、マクスウェル方程式を微視的スケールに適用しようとした。静止エーテルに対するヘヴィサイド版のマクスウェル方程式を使用し、ラグランジアン力学（下記参照）を適用することで、ローレンツは、現在彼の名を冠する力の法則の正確かつ完全な形に到達した。^{[28] [29]}$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {q}{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

実用上興味深い多くのケースでは、荷電粒子（プラズマ中の電子やイオンなど）の磁場内での運動は、誘導中心と呼ばれる点の周りの比較的高速な円運動と、この点の比較的低速なドリフトの重ね合わせとして扱うことができます。ドリフト速度は、荷電状態、質量、または温度に応じてさまざまな種で異なり、電流や化学分離が発生する可能性があります。

現代のマクスウェル方程式は、電荷を帯びた粒子と電流、あるいは移動する荷電粒子がどのように電場と磁場を生じるかを記述しているが、ローレンツ力の法則は、電磁場の存在下で移動する点電荷qに作用する力を記述することで、その図を完成させる。 ^{[13] [30]ローレンツ力の法則は、点電荷に対する}EとBの影響を記述しているが、このような電磁力は全体像ではない。荷電粒子は、おそらく他の力、特に重力や核力と結合している。したがって、マクスウェル方程式は他の物理法則から独立しているのではなく、電荷と電流密度を介してそれらと結合している。点電荷がローレンツの法則に応答することが 1 つの側面であり、電流と電荷によって EとBが生成されることが別の側面である。

現実の物質では、ローレンツ力は、原理的にも計算上も、荷電粒子の集団的挙動を説明するのに不十分です。物質媒体内の荷電粒子は、EフィールドとBフィールドに対応するだけでなく、これらのフィールドも生成します。電荷の時間的および空間的応答を決定するには、ボルツマン方程式、フォッカー・プランク方程式、ナビエ・ストークス方程式などの複雑な輸送方程式を解く必要があります。たとえば、磁気流体力学、流体力学、電気流体力学、超伝導、恒星進化を参照してください。これらの問題に対処するための物理的な装置全体が開発されました。たとえば、グリーン・久保関係式やグリーン関数 (多体理論)を参照してください。

電流が流れる電線を磁場の中に置くと、電流を構成する各移動電荷はローレンツ力を受け、一緒になって電線にマクロな力（ラプラス力と呼ばれることもある）を生み出すことができます。上記のローレンツ力の法則と電流の定義を組み合わせると、均一な磁場内のまっすぐな静止電線の場合、次の式が得られます。^[31] ここで、ℓは、大きさが電線の長さで、方向が電線に沿ったベクトルであり、従来の電流Iの方向と一致しています。 $${\displaystyle \mathbf {F} =I{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} ,}$$

電線が直線でない場合は、この式を電線の各微小セグメントに適用し、積分によってこれらすべての力を合計することで、電線にかかる力を計算できます。これにより、同じ形式表現が得られますが、ℓ は、従来の電流の開始点から終了点への方向を持つ、曲がった電線の端点を結ぶベクトルとして理解される必要があります。通常、正味のトルクも存在します。 ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$

さらに、磁場が不均一である場合、定常電流Iを流す静止した剛体ワイヤにかかる正味の力は、ワイヤに沿った積分によって与えられる。 $${\displaystyle \mathbf {F} =I\int \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} .}$$

この法則の応用例の 1 つに、アンペールの力の法則があります。これは、電流が流れる 2 本の電線が、互いの磁場からローレンツ力を受けることで、互いに引き合ったり反発したりする仕組みを説明しています。

ローレンツ力の磁力 ( q v × B ) 成分は、多くの発電機の基礎となる現象である運動 起電力(または運動 EMF ) の原因です。導体が磁場内を移動すると、磁場はワイヤ内の電子と原子核に反対の力を及ぼし、EMF が生成されます。EMF はワイヤの運動によるものであるため、この現象には「運動 EMF」という用語が適用されます。

他の発電機では、磁石は動くが導体は動かない。この場合、起電力はローレンツ力方程式の電気力（q E）項によるものである。問題の電界は変化する磁場によって生成され、マクスウェル・ファラデー方程式（現代の4つのマクスウェル方程式の1つ）で説明されるように誘導起電力をもたらす。^[32]

これら 2 つの EMF は、その起源が明らかに異なるにもかかわらず、同じ方程式で説明されます。つまり、EMF は電線を通る磁束の変化率です。(これはファラデーの電磁誘導の法則です。下記を参照してください。) アインシュタインの特殊相対性理論は、この 2 つの効果の関係をよりよく理解したいという願望によって部分的に動機付けられました。^[32]実際、電場と磁場は同じ電磁場の異なる側面であり、ある慣性系から別の慣性系に移動すると、Eフィールドのソレノイド ベクトル フィールド部分が全体的または部分的にBフィールドに変化したり、その逆になったりすることがあります。^[33]

磁場の中にある電線のループを考えると、ファラデーの電磁誘導の法則によれば、電線に 誘導される起電力(EMF) は次のようになります。 ここで 、 はループを通る磁束、 Bは磁場、Σ( t )は、時刻tにおける閉輪郭∂Σ( t )で囲まれた表面、d A はΣ( t )の微小ベクトル面積要素です(大きさは微小表面パッチの面積、方向はその表面パッチに 直交します)。$${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}$$$${\displaystyle \Phi _{B}=\int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}$$

EMF の符号はレンツの法則によって決まります。これは静止したワイヤだけでなく、動いているワイヤにも当てはまることに注意してください。

ファラデーの電磁誘導の法則（モーターなどの動く電線に有効）とマクスウェル方程式から、ローレンツ力を導き出すことができます。逆もまた真で、ローレンツ力とマクスウェル方程式を使用してファラデーの法則を導き出すことができます。

Σ( t )を回転せずに一定の速度vで一緒に動く可動ワイヤとし、Σ ( t )をワイヤの内面とします。閉じた経路∂Σ( t )の周囲のEMFは次のように与えられます。^[34] ここで、は電界であり、d ℓは輪郭∂Σ( t )の微小ベクトル要素です。 $${\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q}$$$${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {F} /q}$$

注意: d ℓとd A はどちらも符号が曖昧です。正しい符号を得るには、ケルビン・ストークスの定理の記事で説明されているように、右手の法則が使用されます。

上記の結果は、現代のマクスウェル方程式に現れるファラデーの電磁誘導の法則のバージョン（ここではマクスウェル-ファラデー方程式と呼ぶ）と比較することができます。 $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,.}$$

マクスウェル・ファラデー方程式はケルビン・ストークスの定理を用いて積分形式で表すこともできる。^[35]

そこで、マクスウェル・ファラデー方程式 とファラデーの法則が成立します。 $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)=-\ \int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\mathrm {d} t}}}$$$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t).}$$

ワイヤが動いていない場合、この2つは等価です。ライプニッツの積分則とdiv B = 0を使用すると、次のようになります。 また、 マクスウェル・ファラデー方程式を使用すると、 これはどのワイヤの位置でも有効であるため、次のようになります。 $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,t)=-\int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$$$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$$$${\displaystyle \mathbf {F} =q\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)+q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t).}$$

ファラデーの電磁誘導の法則は、電線のループが剛体で静止しているか、運動しているか変形過程にあるかに関係なく適用され、磁場が時間的に一定であるか変化しているかに関係なく適用されます。ただし、ファラデーの法則が不十分であったり使用が困難な場合があり、その場合は基礎となるローレンツ力の法則を適用する必要があります。ファラデーの法則の不適用を参照してください。

磁場が時間的に固定され、導電ループが磁場内を移動すると、ループを結ぶ磁束Φ _{B は}いくつかの方法で変化する可能性があります。たとえば、B磁場が位置によって変化し、ループが異なるB磁場の場所に移動すると、Φ _{B が}変化します。あるいは、ループがB磁場に対して向きを変えると、Bとd Aの角度が異なるため、 B ⋅ d A微分要素が変化し、 Φ _Bも変化します。3 番目の例として、回路の一部が均一で時間に依存しないB磁場を通過し、回路の別の部分が静止している場合、閉回路全体を結ぶ磁束は、回路の構成部品の相対位置が時間とともに変化するため変化する可能性があります (表面∂Σ( t )時間依存)。3 つのケースすべてにおいて、ファラデーの電磁誘導の法則は、 Φ _Bの変化によって生成される EMF を予測します。

マクスウェル・ファラデー方程式は、磁場Bが時間とともに変化する場合、電場Eは非保存的であり、スカラー場の勾配として表現できず、その回転がゼロでないため勾配定理の対象にならないことを意味していることに注意してください。^{[34] [36]}

E場とB場は、磁気ベクトルポテンシャル Aと（スカラー）静電ポテンシャル ϕに置き換えることができます。 ここで、 ∇は勾配、∇⋅は発散、∇×は回転です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\[1ex]\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$$

力は $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right].}$$

三重積の恒等式を使うと、これは次のように書き直すことができる。 $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)-\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right],}$$

(座標と速度成分は独立変数として扱われる必要があることに注意してください。そのため、del 演算子は にのみ作用し、には作用しません。したがって、上記の式でファインマンの下付き文字表記を使用する必要はありません)。連鎖律を使用すると、の全導関数は次のようになります。 したがって、上記の式は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} }$$$${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla (\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\right].}$$

v = ẋとすると、この式は便利なオイラー・ラグランジュ形で表される。

どこでそして$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial z}}}$$$${\displaystyle \nabla _{\dot {\mathbf {x} }}={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {z}}}}.}$$

電磁場中の質量m、電荷qの荷電粒子のラグランジアンも、粒子に働く力ではなく、粒子のエネルギーで粒子の運動を記述するのと同じである。古典的な表現は次のように与えられる。 ^[37] ここで、Aとϕは上記のようなポテンシャル場である。この量は速度依存のポテンシャル関数と考えることができる。^[38]ラグランジュの方程式を用いると、上記で示したローレンツ力の方程式を再び得ることができる。 $${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi }$$${\displaystyle V=q(\phi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} )}$

位置エネルギーは粒子の速度に依存するため、力は速度に依存し、保存的ではありません。

相対論的ラグランジアンは $${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}+q\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi (\mathbf {r} )}$$

作用は、時空における粒子の経路の相対論的な弧長から、位置エネルギーの寄与を差し引いたものに、量子力学的には荷電粒子がベクトル位置に沿って移動するときに得る余分な位相である余分な寄与を加えたものです。

計量シグネチャ (1, −1, −1, −1)を用いると、電荷q^{に対するローレンツ力は[39]} 共変形式で表すことができる。

ここで、p ^αは4 元運動量で、 τ は粒子の固有時間、F αβは^反変電磁テンソル 、U は粒子の 共変4 元速度で、次のように定義されます。 ここで、 はローレンツ因子 です。 $${\displaystyle p^{\alpha }=\left(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(\gamma mc,p_{x},p_{y},p_{z}\right),}$$ $${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle U_{\beta }=\left(U_{0},U_{1},U_{2},U_{3}\right)=\gamma \left(c,-v_{x},-v_{y},-v_{z}\right),}$$$${\displaystyle \gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

場は、次のように一定の相対速度で移動するフレームに変換されます。 ここで、Λ ^μ _αはローレンツ変換テンソルです。 $${\displaystyle F'^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }\,,}$$

力の α = 1成分（x成分）は$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=qU_{\beta }F^{1\beta }=q\left(U_{0}F^{10}+U_{1}F^{11}+U_{2}F^{12}+U_{3}F^{13}\right).}$$

共変電磁テンソルFの成分を代入すると、 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\left[U_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+U_{2}(-B_{z})+U_{3}(B_{y})\right].}$$

共変4速度成分 を使用すると、$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left[c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+(-v_{y})(-B_{z})+(-v_{z})(B_{y})\right]=q\gamma \left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)=q\gamma \left[E_{x}+\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)_{x}\right]\,.}$$

α = 2, 3 （ y方向とz方向の力の成分）の計算でも同様の結果が得られるので、3つの式を1つにまとめると 、座標時間dtと固有時間dτ の微分はローレンツ因子によって関連している ので、次の式が得られます。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),}$$$${\displaystyle dt=\gamma (v)\,d\tau ,}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).}$$

これはまさにローレンツ力の法則であるが、pは相対論的な表現であることに注意する必要がある。 $${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (v)m_{0}\mathbf {v} \,.}$$

電場と磁場は観測者の速度に依存するため、ローレンツ力の法則の相対論的形式は、電磁場と磁場、および任意の時間方向に対する座標に依存しない表現から始めて、最もよく表すことができます。これは、擬似ユークリッド空間上で定義されるクリフォード代数の一種である時空代数（または時空の幾何代数）を通じて 、^[40]として解決できます。 および は、ブースト（時空平面での回転）と回転（空間間平面での回転）に対応する6つの自由度を持つ時空バイベクトル（有向平面セグメント）です。ベクトルとのドット積は、並進部分からベクトル（空間代数内）を引き出し、ウェッジ積は、通常の磁場ベクトルであるベクトルと双対であるトリベクトル（空間代数内）を作成します。相対論的速度は、時間位置ベクトルの（時間的な）変化によって与えられ、ここで （これは計量の選択を示す）、速度は ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \gamma _{0}}$$${\displaystyle \mathbf {E} =\left({\mathcal {F}}\cdot \gamma _{0}\right)\gamma _{0}}$$$${\displaystyle i\mathbf {B} =\left({\mathcal {F}}\wedge \gamma _{0}\right)\gamma _{0}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle v={\dot {x}}}$$${\displaystyle v^{2}=1,}$$$${\displaystyle \mathbf {v} =cv\wedge \gamma _{0}/(v\cdot \gamma _{0}).}$$

ローレンツ力の法則の適切な形（不変量は変換が定義されていないため不適切な用語である）は単純に

順序が重要であることに注意してください。なぜなら、バイベクトルとベクトルの間ではドット積が反対称だからです。時空を分割すると、速度とフィールドが上記と同様に得られ、通常の表現が得られます。

一般相対性理論では、質量と電荷を持ち、計量テンソルと電磁場 を持つ空間を運動する粒子の運動方程式は、（軌道に沿って取る）、、 として与えられます 。${\displaystyle m}$${\displaystyle e}$${\displaystyle g_{ab}}$${\displaystyle F_{ab}}$$${\displaystyle m{\frac {du_{c}}{ds}}-m{\frac {1}{2}}g_{ab,c}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b},}$$${\displaystyle u^{a}=dx^{a}/ds}$${\displaystyle dx^{a}}$${\displaystyle g_{ab,c}=\partial g_{ab}/\partial x^{c}}$${\displaystyle ds^{2}=g_{ab}dx^{a}dx^{b}}$

この方程式は、 と書くこともできます。 ここではクリストッフェル記号(一般相対性理論におけるねじれのない計量接続)、または は一般相対性理論における共変微分(計量、ねじれのない) です。$${\displaystyle m{\frac {du_{c}}{ds}}-m\Gamma _{abc}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b},}$$${\displaystyle \Gamma _{abc}}$$${\displaystyle m{\frac {Du_{c}}{ds}}=eF_{cb}u^{b},}$$${\displaystyle D}$

ローレンツ力は、次のような多くのデバイスで発生します。

• サイクロトロンおよびその他の円形軌道粒子加速器
• 質量分析計
• 速度フィルター
• マグネトロン
• ローレンツ力速度測定

この力は、導体内の電流に対するラプラス力として現れ、次のような多くのデバイスで発生します。