相対速度

観測者Aに対する物体Bの相対速度は(または とも表記) 、Aの静止系で測定されたBの速度ベクトルです。相対速度は相対速度の ベクトルノルムです。${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid A}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{BA}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{B\operatorname {rel} A}}$ ${\displaystyle v_{B\mid A}=\|\mathbf {v} _{B\mid A}\|}$

まず、古典的（または非相対論的、あるいはニュートン近似）における相対運動から始めます。つまり、すべての速度は光速よりはるかに遅いということです。この限界はガリレイ変換と関連しています。この図は、電車の後端の上にいる男性を示しています。午後 1 時、彼は 10 km/h の歩行速度で前方に歩き始めます。電車は 40 km/h で動いています。この図は、男性と電車の 2 つの異なる時間を示しています。最初は旅が始まったとき、そして 1 時間後の午後 2 時です。この図は、男性が 1 時間移動した後（徒歩と電車で）、出発点から 50 km のところにいることを示唆しています。これは定義により 50 km/h であり、この方法で相対速度を計算するには、2 つの速度を加算する必要があることを示唆しています。

この図には時計と定規が描かれていますが、これは読者に、この計算の背後にある論理は完璧に見えるものの、時計と定規の動作については誤った仮定がされていることを思い起こさせるためです。(列車とプラットフォームの思考実験を参照してください。) この相対運動の古典的なモデルが特殊相対性理論に違反していることを認識するために、この例を次の方程式に一般化します。

${\displaystyle \underbrace {\mathbf {v} _{M\mid E}} _{\text{50 km/h}}=\underbrace {\mathbf {v} _{M\mid T}} _{\text{10 km/h}}+\underbrace {\mathbf {v} _{T\mid E}} _{\text{40 km/h}},}$

どこ：

${\displaystyle \mathbf {v} _{M\mid E}}$は地球に対する地球の速度である。

${\displaystyle \mathbf {v} _{M\mid T}}$はTrainに対するManの速度であり、

${\displaystyle \mathbf {v} _{T\mid E}}$は、地球の東に対する東の雨の速度です。

「B に対する A の速度」を表す完全に正当な表現には、「B に対する A の速度」や「B が常に静止している座標系における A の速度」などがあります。相対速度のこの式は、光の動きを観察するときに観測者によって測定される速度が異なると誤って予測するため、特殊相対性理論に違反します。 ^{[注 1]}

この図は、一定の速度で動く 2 つの物体AとB を示しています。運動方程式は次のとおりです。

${\displaystyle \mathbf {r} _{A}=\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {v} _{A}t,}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{B}=\mathbf {r} _{Bi}+\mathbf {v} _{B}t,}$

ここで、下付き文字i は初期変位（時刻tがゼロのとき）を表します。2 つの変位ベクトルの差は、A から見た B の位置を表します。 ${\displaystyle \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}=\underbrace {\mathbf {r} _{Bi}-\mathbf {r} _{Ai}} _{\text{initial separation}}+\underbrace {(\mathbf {v} _{B}-\mathbf {v} _{A})t} _{\text{relative velocity}}.}$

したがって:

${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid A}=\mathbf {v} _{B}-\mathbf {v} _{A}.}$

と を代入すると、次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{A|C}=\mathbf {v} _{A}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{B|C}=\mathbf {v} _{B}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid A}=\mathbf {v} _{B\mid C}-\mathbf {v} _{A\mid C}\Rightarrow }$   ${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid C}=\mathbf {v} _{B\mid A}+\mathbf {v} _{A\mid C}.}$

特殊相対性理論と整合する相対運動理論を構築するには、別の慣例を採用する必要がある。（非相対論的） ニュートン極限での作業を続けると、1次元のガリレイ変換から始めることになる。 ^{[注 2]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle t'=t}$

ここで、x' は、速度 v で動いている「プライムなし」の (x) 参照フレームから見た位置です。^{[注 3]} 上記の 2 つの方程式の最初の微分をとると、 となり、 ^{[注 4]}という明白なステートメントのように見えるかもしれませんが、次のようになります。 ${\displaystyle dx'=dx-v\,dt}$${\displaystyle dt'=dt}$

${\displaystyle {\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx}{dt}}-v}$

相対速度の以前の式を復元するには、粒子A が、プライムなしの基準で dx/dt によって定義される経路 (プライム付きフレームではdx ′/ dt ′) をたどっていると仮定します。したがって、および となります。ここで、および は、それぞれプライムなしのフレームとプライム付きフレームで観測者から見たAの動きを表します。vは、プライムなしのフレームから見た、プライム付きフレームでの静止物体の動きであることを思い出してください。したがって、およびとなります。 ${\displaystyle dx/dt=v_{A\mid O}}$${\displaystyle dx'/dt=v_{A\mid O'}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle O'}$${\displaystyle v=v_{O'\mid O}}$

${\displaystyle v_{A\mid O'}=v_{A\mid O}-v_{O'\mid O}\Rightarrow v_{A\mid O}=v_{A\mid O'}+v_{O'\mid O},}$

後者の形式は望ましい（簡単に習得できる）対称性を備えています。

古典力学と同様に、特殊相対論における相対速度は、物体または観測者Bの、別の物体または観測者Aの静止系における速度である。しかし、古典力学の場合とは異なり、特殊相対論では、一般的に は${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }=-\mathbf {v} _{\mathrm {A|B} }}$

この特異な対称性の欠如は、トーマス歳差運動と、2 つの連続するローレンツ変換が座標系を回転させるという事実に関連しています。この回転はベクトルの大きさには影響を及ぼさないため、相対速度は対称的です。

${\displaystyle \|\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }\|=\|\mathbf {v} _{\mathrm {A|B} }\|=v_{\mathrm {B|A} }=v_{\mathrm {A|B} }}$

2 つの物体が平行方向に移動している場合、相対速度の相対論的式は、相対速度の加算の式と形式が似ています。

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }}{1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}$

相対速度は次の式で求められます。

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\left|\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\right|}{1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}$

2 つの物体が垂直方向に移動している場合、相対速度は次の式で表されます。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{\gamma _{\mathrm {A} }}}-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }}$

どこ

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}}$

相対速度は次の式で与えられる。

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\sqrt {c^{4}-\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}}{c}}}$

ある物体または観測者Bの静止系における別の物体または観測者Aの相対速度の一般的な式は、次の式で与えられる: ^[1]${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {1}{\gamma _{\mathrm {A} }\left(1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}\right)}}\left[\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }+\mathbf {v} _{\mathrm {A} }(\gamma _{\mathrm {A} }-1)\left({\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{v_{\mathrm {A} }^{2}}}-1\right)\right]}$

どこ

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}}$

相対速度は次の式で与えられる。

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\sqrt {1-{\frac {\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}{\left(c^{2}-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {B} }\right)^{2}}}}}\cdot c}$

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