ラーモアの式

電気力学において、ラーモアの公式は、非相対論的な点電荷が加速する際に放射される全エネルギーを計算するために使用されます。この公式は、1897年にJJラーモアによって光の波動理論の文脈で初めて導き出されました^[1]。

荷電粒子（電子、陽子、イオンなど）が加速すると、エネルギーが電磁波の形で放射されます。光速に比べて速度が小さい（つまり非相対論的）粒子の場合、粒子が放射する全電力（点電荷とみなした場合）は、ラーモアの公式で計算できます。 ここで、またはは適切な加速度、は電荷、は光速です。^{[2]相対論的な一般化は}、リエナール・ヴィーヒャルトポテンシャルによって与えられます。 $${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {\dot {v}}{c}}\right)^{2}={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}=\mu _{0}{\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi c}}{\text{ (SI units)}}}$$ $${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}{\text{ (cgs units)}}}$$${\displaystyle {\dot {v}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle q}$${\displaystyle c}$

どちらの単位系でも、単一の電子が放射する電力は、古典的な電子半径と電子質量で次のように表すことができます。 $${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}}$$

1 つの意味は、ボーア モデルのように原子核の周りを回る電子はエネルギーを失い、原子核に落ち込み、原子が崩壊するはずであるということです。このパズルは量子論が導入されるまで解決されませんでした。

位置 にある 点電荷が速度 で放射する電力を計算するには、 半径 R の球の表面上でポインティング ベクトルを積分して次式を得ます。^[3] 電場と磁場は、リエナール-ヴィーヒャルトの場の方程式で与えられます 。 半径ベクトルは、遅延時間 における荷電粒子の位置から現時点での電磁場の観測点までの距離、は電荷の速度を で割った値、は電荷の加速度を で割った値、 です。変数 、、、およびはすべて遅延時間 で評価されます。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbf {v} (t),}$ $${\displaystyle P={\frac {R^{2}}{4\pi }}\oint {\bf {{\hat {r}}\cdot [E(r}},t)\times {\bf {B(r}},t)]d\Omega .}$$$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {q({\bf {{\hat {r}}_{r}}}-{{\boldsymbol {\beta }}_{r})}}{r_{r}^{2}\gamma _{r}^{2}(1-{\bf {{\hat {r}}_{r}}}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{r})^{3}}}+{\frac {q}{c}}\left\{{\frac {{\bf {\hat {r}}}_{r}\times [({\bf {\hat {r}}}_{r}-{\boldsymbol {\beta }}_{r})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{r}]}{r_{r}(1-{\bf {\hat {r}}}_{r}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{r})^{3}}}\right\},}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {E.} }$$${\displaystyle {\bf {r}}_{r}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}}$${\displaystyle {\bf {r}}_{r}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{r}}$${\displaystyle \gamma _{r}}$${\displaystyle {\bf {a}}_{r}}$${\displaystyle t_{r}=t-r_{r}/c}$

点電荷の静止系にローレンツ変換を行います。 ここで、 はに平行な静止系加速度であり、 は に垂直な静止系加速度です。 ${\displaystyle {\bf {v'=0}}}$$${\displaystyle \mathbf {a'} _{\parallel }=\mathbf {a} _{\parallel }\gamma ^{3}}$$ $${\displaystyle {\bf {a'_{\perp }=\mathbf {a} _{\perp }\gamma ^{2}.}}}$$${\displaystyle {\bf {a'}}_{\parallel }}$${\displaystyle {\bf {v}}}$${\displaystyle {\bf {a'_{\perp }}}}$${\displaystyle {\bf {v}}}$

静止フレームのポインティング ベクトルを半径 R' の球面上で積分すると、次の式が得られます。 という 極限をとります。この極限では、 となり、したがって 、現時点で評価されているすべての変数で 電場は次のように表されます 。$${\displaystyle P'={\frac {R'^{2}}{4\pi }}\oint {\bf {{\hat {r}}'\cdot [E'(r'}},t')\times {\bf {B'(r'}},t')]d\Omega ',}$$${\displaystyle R'\rightarrow 0.}$${\displaystyle t'_{r}=t'}$${\displaystyle {\bf {a'}}_{r}={\bf {a'}},}$$${\displaystyle {\bf {E'(r'}},t')={\frac {q{\bf {{\hat {r}}'}}}{r'^{2}}}+{\frac {q[{\bf {{{\hat {r}}'}({{\hat {r}}'}\cdot a')-a'}}]}{c^{2}r'}},}$$

すると、放射電力の表面積分は次のように簡約されます。 放射電力は、移動フレームの元の加速度に戻すと、次の式が得られます 。この式の変数は元の移動フレームのものですが、式の左側のエネルギー放出率は、静止フレームの変数で与えられています。ただし、右側は以下に示すようにローレンツ不変であるため、放射電力は移動フレームにローレンツ変換でき、最終的に次の式が得られます。 この結果（2つの形式）は、Larmorの公式のLiénardによる相対論的拡張^[4] と同じであり 、ここでは現時点でのすべての変数とともに示されています。その非相対論的簡約は、Larmorの元の式に簡約されます。 $${\displaystyle P'={\frac {q^{2}}{4\pi c^{3}}}\oint {\bf {{\hat {r}}'}}\cdot [{\bf {a'\times ({{\hat {r}}'}\times a')}}]d\Omega '={\frac {2q^{2}a'^{2}}{3c^{3}}}.}$$$${\displaystyle P'={\frac {2q^{2}}{3c^{3}}}(a_{\parallel }^{2}\gamma ^{6}+a_{\perp }^{2}\gamma ^{4})={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c^{3}}}[a^{2}-({\bf {v}}\times {\bf {a}}/c)^{2}].}$$$${\displaystyle P={\frac {2q^{2}\gamma ^{4}}{3c^{3}}}(a_{\parallel }^{2}\gamma ^{2}+a_{\perp }^{2})={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c^{3}}}[a^{2}-({\bf {v}}\times {\bf {a}}/c)^{2}].}$$

高エネルギーの場合、速度に平行な加速で放射されるエネルギーは、垂直方向の加速で放射されるエネルギーよりも1倍大きいようです。しかし、リエナールの式を速度で書くと誤解を招く可能性があります。速度ではなく運動量で書くと、リエナールの式は次のようになります。 ${\displaystyle \gamma ^{2}}$

${\displaystyle P={\frac {2q^{2}}{3c^{3}m^{2}}}\left[\left({\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)_{\parallel }^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)_{\perp }^{2}\right].}$

これは、速度に対して垂直に放出される電力が、速度に対して平行に放出される電力よりも 倍大きいことを示しています。この結果、放射減衰は線形加速器では無視できますが、円形加速器では制限要因となります。 ${\displaystyle {\bf {dp}}/dt}$${\displaystyle \gamma ^{2}}$${\displaystyle {\bf {dp}}/dt}$

放射される電力は実際にはローレンツスカラーであり、共変形式で次のように表される。

${\displaystyle P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}.}$

これを示すために、4つのベクトルのスカラー積をベクトル表記に簡約します。まず、 $${\displaystyle {\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\gamma ^{2}\left[\left({\frac {dp_{0}}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {\bf {dp}}{dt}}\right)^{2}\right].}$$

時間微分は、次のとおりです。

$${\displaystyle {\frac {dp_{0}}{dt}}={\frac {d}{dt}}(m\gamma )=m\gamma ^{3}va_{\parallel }}$$ $${\displaystyle {\frac {\bf {dp}}{dt}}={\frac {d}{dt}}(m{\bf {v}}\gamma )=m\gamma ^{3}({\bf {{a}_{\parallel }+a_{\perp }/\gamma ^{2}}}).}$$ これらの導関数を使用すると、$${\displaystyle {\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=-m^{2}\gamma ^{4}(\gamma ^{2}{\bf {a}}_{\parallel }^{2}+{\bf {a}}_{\perp }^{2}).}$$

このスカラー積の表現では、電力の明白に不変な形式は上記のベクトル形式と一致し、放射電力がローレンツスカラーであることを示しています。

放射電力の角度分布は、粒子が相対論的であるかどうかに関係なく適用できる一般的な公式で与えられます。CGS単位では、この式は^[5] で、粒子から観測者に向かう単位ベクトルです。直線運動（速度が加速度に平行）の場合、これは^[6]に簡略化されます。 ここで、観測者と粒子の運動の間の角度です。 $${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}.}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\left|\mathbf {\hat {n}} \times \left[(\mathbf {\hat {n}} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right]\right|^{2}}{(1-\mathbf {\hat {n}} \cdot {\boldsymbol {\beta }})^{5}}},}$$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}}{\frac {\sin ^{2}\theta }{(1-\beta \cos \theta )^{5}}},}$$${\displaystyle \theta }$

荷電粒子からの放射は、エネルギーと運動量を運びます。エネルギーと運動量の保存則を満たすために、荷電粒子は放射時に反動を受けなければなりません。放射は荷電粒子に追加の力を及ぼす必要があります。この力はアブラハム・ローレンツ力として知られ、その非相対論的限界はローレンツ自己力として知られ、相対論的形態はローレンツ・ディラック力またはアブラハム・ローレンツ・ディラック力として知られています。放射反応現象は、ラーモア公式の重要な問題と結果の 1 つです。古典電気力学によると、荷電粒子は加速すると電磁放射を生成します。粒子は、それを運び去る放射の結果として運動量とエネルギーを失います。一方、放射反応力も、放射の結果として荷電粒子に作用します。

この力の存在は荷電粒子の運動に大きな影響を及ぼします。特に、荷電粒子の運動に変化が生じますが、これはローレンツ-ディラック方程式の要素であるラーモアの公式によって説明できます。

ローレンツ-ディラック方程式によれば、荷電粒子の速度は、その粒子自身の放射から生じる「自己力」の影響を受けます。粒子の速度またはエネルギーが有限の時間内に無限大になる暴走解などの非物理的な動作は、この自己力から生じる可能性があります。

電磁放射の放出による自己力の導入から生じるパラドックスの解決策は、自己力は生成されないということである。荷電粒子の加速は電磁放射を生成し、その放射エネルギーは荷電粒子のエネルギーを減少させる。その結果、荷電粒子の加速を減少させる「放射反応」が生じるが、これは自己力としてではなく、粒子の加速が減少するだけである。^[7]

量子物理学の発明、特に原子のボーアモデルは、古典的な予測と実際の現実との間のこのギャップを説明することができました。ボーアモデルは、電子だけが存在できる異なるエネルギーレベル間の遷移が、原子の観測されたスペクトル線を説明できるかもしれないと提唱しました。電子の波のような特性とエネルギーの量子化の考え方は、これらの電子軌道の安定性を説明するために使用されました。

ラーモアの公式は非相対論的粒子にしか使用できないため、その有用性は限られています。リエナール・ヴィーヒャートのポテンシャルは、相対論的速度で移動する粒子に使用する必要がある、より包括的な公式です。状況によっては、荷電粒子が放出する放射線を正確に計算するために、数値手法や摂動論を含むより複雑な計算が必要になる場合があります。

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