電界

電場（E場^[1]と呼ばれることもある）は、電荷を帯びた粒子を取り囲む物理的な場である。荷電粒子は、電荷が反対の場合には互いに引力を及ぼし、電荷が同じ場合には互いに反発する。これらの力は相互に及ぼされるため、力が発生するには2つの電荷が存在する必要がある。単一の電荷（または電荷のグループ）の電場は、別の荷電物体にそのような力を及ぼす能力を表す。これらの力はクーロンの法則によって説明され、電荷が大きいほど力は大きくなり、電荷間の距離が離れるほど力は弱くなる。したがって、非公式には、物体の電荷が大きいほど、その電場は強くなると言うことができる。同様に、電場は荷電物体に近いほど強く、離れるほど弱くなる。電場は電荷と時間とともに変化する電流から発生する。電場と磁場はどちらも電磁場の現れであり、電磁気学は自然界の4つの基本的な相互作用の1つである。

電場は物理学の多くの分野で重要であり、電気技術で利用されています。たとえば、原子物理学と化学では、原子核と電子の間の電場における相互作用は、これらの粒子を原子にまとめる力です。同様に、原子間の電場における相互作用は、分子を形成する化学結合を担う力です。

電場は、空間内の各点に、その点で静止している微小な試験電荷に及ぼされる電荷​​単位あたりの力を関連付けるベクトル場として定義されます。 ^{[2] [3] [4]}電場のSI単位はボルト毎メートル（V/m）で、ニュートン毎クーロン（ N / C）に等しいです。^[5]

電場は、空間内の各点において、極めて小さい静止した試験電荷がその点で受ける力を電荷で割ったものとして定義されます。^{[6] : 469–70}電場は力によって定義され、力 はベクトル（つまり、大きさと方向の両方を持つ）であるため、電場はベクトル場によって記述できるということになります。^{[6] : 469–70} 2 つの電荷間の電場は、 2 つの質量間の重力場と同様に作用します。これは、どちらも距離に対して反比例の法則に従うためです。^[7]これがクーロンの法則の基礎であり、静止した電荷の場合、電場は発生源の電荷に応じて変化し、発生源からの距離の 2 乗に反比例して変化すると述べています。つまり、発生源の電荷が 2 倍になると電場も 2 倍になり、発生源から 2 倍離れると、その点における電場は元の強さの 4 分の 1 しかなくなるということです。

電界は、各点での方向が電界の方向と同じである一連の線で視覚化できます。これはマイケル・ファラデーによって導入された概念で、^[8]「力線」という用語は今でも時々使用されます。この図には、各線が同じ量の磁束を表すように描くと、電界の強さが線の密度に比例するという便利な特性があります。^[9]静止電荷による電界線には、常に正電荷から始まり負電荷で終わる、すべての良導体に直角に進入しない、交差したり閉じたりしないなど、いくつかの重要な特性があります。^{[6] : 479}電界線は代表的な概念です。電界は実際には線の間のすべての介在空間に浸透しています。電界を表現するために必要な精度に応じて、より多くの線またはより少ない線を描くことができます。^[8]静止電荷によって生成される電界の研究は静電気学と呼ばれます。

ファラデーの法則は、時間とともに変化する磁場と電場の関係を説明するものです。ファラデーの法則を述べる一つの方法は、電場の回転が磁場の負の時間微分に等しいということです。 ^{[10] : 327}時間とともに変化する磁場が存在しない場合は、電場は保存的（すなわち回転しない）と呼ばれます。^{[10] : 24, 90–91}これは、静電場と時間とともに変化する磁場から生じる場の2種類の電場があることを意味します。^{[10] : 305–307}静電場の回転しない性質により、静電気学を使用したより単純な処理が可能になりますが、時間とともに変化する磁場は一般に統一された電磁場の要素として扱われます。時間とともに変化する磁場と電場の研究は電気力学と呼ばれます。

電場は、ガウスの法則^[11]で説明される電荷​​と、ファラデーの電磁誘導の法則^[12]で説明される時間変化する磁場によって発生します。これらの法則を合わせると、電場の挙動を定義するのに十分です。しかし、磁場は電場の関数として説明されるため、両方の場の方程式が結合して、電荷と電流の関数として両方の場を説明するマクスウェル方程式を形成します。

定常状態（静止した電荷と電流）の特別なケースでは、マクスウェル-ファラデーの誘導効果は消えます。結果として得られる2つの方程式（誘導項のないガウスの法則とファラデーの法則）を合わせると、クーロンの法則 と等しくなります。クーロンの法則は、位置 の電荷を持つ粒子が位置の電荷を持つ粒子に力を及ぼすことを示しています。^[13] ここで ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0}$${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle q_{0}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{01}={\frac {q_{1}q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{2}}={\frac {q_{1}q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\mathbf {r} _{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{3}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{01}}$は荷電粒子によって荷電粒子に及ぼされる力です。${\displaystyle q_{0}}$${\displaystyle q_{1}}$
• ε _{0 は}自由空間の誘電率です。
• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{01}}$は からへ向かう単位ベクトルです。${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{01}}$は からへの変位ベクトルです。${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$

電荷が空でない媒体にある場合、 を、誘電率に置き換える必要があることに注意してください。電荷とが同じ符号の場合、この力は正で、他の電荷から遠ざかる方向に向いており、粒子が互いに反発していることを示します。電荷が異なる符号の場合、この力は負で、粒子が引き合うことを示します。位置の任意の電荷に対するクーロン力の計算を容易にするために、この式は、他の電荷（ソース電荷）のみに依存する式を残して分割することができます^{[14] [4]} ここで ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle q_{0}}$${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle q_{0}}$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} _{0})={\frac {\mathbf {F} _{01}}{q_{0}}}={\frac {q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{2}}={\frac {q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\mathbf {r} _{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{3}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} _{0})}$は によるの電場の成分です。${\displaystyle q_{0}}$${\displaystyle q_{1}}$

これは、点電荷 による点 の電場です。これは、位置 で正の点電荷が受ける単位電荷あたりのクーロン力に等しいベクトル値関数です。この式は、空間内の任意の点(電荷自体の位置 では電場が無限大になる)での電場の大きさと方向を与えるため、ベクトル場を定義します。上記の式から、点電荷 による電場は、それが正であればどこでも電荷から離れる方向に、負であれば電荷に向かう方向に向いており、その大きさは電荷からの距離の2 乗に反比例して減少することがわかります。 ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$

空間内の任意の点における電荷の大きさに対するクーロン力は、その点における電荷と電界の積に等しくなります。 電界の SI 単位は ニュートン毎クーロン( N/C) またはボルト毎メートル(V/m) です。SI基本単位ではkg⋅m⋅s ⁻³ ⋅A ⁻¹です。 ${\displaystyle q}$$${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} .}$$

マクスウェル方程式の線形性により、電場は重ね合わせの原理を満たします。これは、電荷の集合による一点における全電場は、その点における個々の電荷による電場のベクトル和に等しいというものです。^[4]この原理は、複数の点電荷によって生成される電場を計算するのに役立ちます。電荷が空間内の点で静止し、電流がない場合、重ね合わせの原理によれば、結果として生じる電場は、クーロンの法則で説明されるように、各粒子によって生成される電場の合計になります。 ここで ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{n}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} )=\mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} )+\mathbf {E} _{2}(\mathbf {r} )+\dots +\mathbf {E} _{n}(\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{\mathbf {r} _{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{3}}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{i}}$点から点への方向の単位ベクトルである${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$は点から点までの変位ベクトルです。${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$

重ね合わせの原理により、電荷密度 の分布による電界を計算することができます。点の各微小空間の電荷を点電荷と見なすと、点における電界は 次 のように計算できます 。${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')dv}$${\displaystyle dv}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle d\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle d\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}' \over {|\mathbf {r} '|}^{2}}dv={\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}dv}$$

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}'}$は からを指す単位ベクトルです。${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \mathbf {r} }$
• ${\displaystyle \mathbf {r} '}$は からへの変位ベクトルです。${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \mathbf {r} }$

全体の電界は、電荷密度を体積にわたって積分し、体積のすべての増分からの寄与を合計することによって求められます。 ${\displaystyle V}$$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint _{V}\,\rho (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}dv}$$

表面電荷密度 が表面上にある表面電荷と、線電荷密度が線上にある 線電荷についても同様の式が成り立ちます。${\displaystyle \sigma (\mathbf {r} ')}$${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iint _{S}\,\sigma (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}da,}$$ ${\displaystyle \lambda (\mathbf {r} ')}$${\displaystyle L}$ $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{L}\,\lambda (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}d\ell .}$$

システムが静的で、磁場が時間的に変化しない場合、ファラデーの法則により、電場は回転しません。この場合、電位、つまり となる関数を定義できます。^{[15]これは}重力ポテンシャルに類似しています。空間内の2点の電位差は、 2点間の電位差（または電圧）と呼ばれます。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi }$

しかし、一般的には、電場は磁場とは独立して記述することはできません。磁気ベクトルポテンシャルAが⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$と定義されると、次のように電位を定義できます。 ここで、は電位の勾配、 は時間に関する Aの偏微分です。${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}$$${\displaystyle \nabla \varphi }$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

ファラデーの電磁誘導の法則は、 事後的にEの前の形式を正当化する方程式^[16]の回転をとることによって回復することができます。 $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {A} )}{\partial t}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},}$$

電磁気学の方程式は連続的な記述で最もよく説明されます。ただし、電荷は離散的な点として記述する方が最適な場合もあります。たとえば、一部のモデルでは、電子を空間の微小な部分で電荷密度が無限大となる点源として記述する場合があります。

にある電荷は、数学的には電荷密度⁠ ⁠として記述することができ、ここではディラックのデルタ関数(3 次元) が使用されます。逆に、電荷分布は多数の小さな点電荷で近似できます。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}$

静電場は時間とともに変化しない電場である。このような場は、帯電物質のシステムが静止しているとき、または電流が変化しないときに存在する。その場合、クーロンの法則は場を完全に記述する。^[17]

電荷の相互作用を記述するクーロンの法則は、 ニュートンの万有引力の法則 に似ています: (ただし)。 $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left({\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {\hat {r}} }{|\mathbf {r} |^{2}}}\right)=q\mathbf {E} }$$$${\displaystyle \mathbf {F} =m\left(-GM{\frac {\mathbf {\hat {r}} }{|\mathbf {r} |^{2}}}\right)=m\mathbf {g} }$$${\textstyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {\frac {r}{|r|}} }$

これは電場Eと重力場g、あるいはそれらに関連するポテンシャルの類似性を示唆している。質量は「重力電荷」と呼ばれることもある。^[18]

静電気力と重力はどちらも中心力、保存力であり、反比例の法則に従います。

均一電界とは、電界がどの点でも一定である電界のことである。2 枚の導電性プレートを互いに平行に置き、その間に電圧(電位差) を維持することで、均一電界を近似することができる。境界効果 (平面の端の近くでは、平面が連続していないため電界が歪む) があるため、これは近似値にすぎない。平面が無限であると仮定すると、電界Eの大きさは次のようになる。 ここで、Δ Vはプレート間の電位差、dはプレート間の距離である。負の符号は正電荷が反発するときに発生するため、正電荷は正電荷プレートから離れる力を受ける。この力は、電圧が増加する方向とは反対の方向である。マイクロおよびナノアプリケーション、たとえば半導体に関連して、電界の典型的な大きさは次のオーダーである。$${\displaystyle E=-{\frac {\Delta V}{d}},}$$10 ⁶  V⋅m ⁻¹、1 μm離れた導体間に1ボルト程度の電圧を印加することで達成されます。

電磁場は電場と磁場から成り、電荷が動いているときなど、時間とともに変化することがあります。移動する電荷は、アンペールの回路法則（マクスウェルの加法）に従って磁場を生成します。この法則は、マクスウェルの他の方程式とともに、磁場 をその回転によって定義します。 ここで、 は電流密度、は真空の透磁率、 は真空の誘電率です。 ${\displaystyle \mathbf {B} }$$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right),}$$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

電流密度と時間に関する電場の偏微分は、どちらも磁場の回転に寄与します。さらに、マクスウェル・ファラデー方程式は 、これらはマクスウェルの 4 つの方程式 のうちの 2 つを表し、電場と磁場を複雑に結び付けて、電磁場を生み出します。これらの方程式は、4 つの結合した多次元偏微分方程式のセットを表し、これをシステムについて解くと、電磁場の複合的な動作が記述されます。一般に、電磁場内で試験電荷が受ける力は、ローレンツ力の法則によって与えられます。 $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$$$${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

電磁場によって蓄えられる単位体積あたりの総エネルギーは^[19] で、εは電磁場が存在する媒体の誘電率、透磁率、EとBはそれぞれ電場ベクトルと磁場ベクトルです。 $${\displaystyle u_{\text{EM}}={\frac {\varepsilon }{2}}|\mathbf {E} |^{2}+{\frac {1}{2\mu }}|\mathbf {B} |^{2}}$$${\displaystyle \mu }$

EフィールドとBフィールドは結合しているため、この表現を「電気」と「磁気」の寄与に分けるのは誤解を招く恐れがあります。特に、一般に、任意の参照フレーム内の静電場は、相対的に移動するフレーム内では磁気成分を持つフィールドに変換されます。したがって、電磁場を電気成分と磁気成分に分解することはフレーム固有であり、関連するエネルギーについても同様です。

与えられた体積V内の電磁場に蓄えられる全エネルギーU _EMは $${\displaystyle U_{\text{EM}}={\frac {1}{2}}\int _{V}\left(\varepsilon |\mathbf {E} |^{2}+{\frac {1}{\mu }}|\mathbf {B} |^{2}\right)dV\,.}$$

物質が存在する場合、電場の概念を3つのベクトル場に拡張すると便利です。^[20] ここで、Pは電気分極（電気双極子モーメントの体積密度）、Dは電気変位場です。EとPは別々に定義されているため、この式を使用してDを定義できます。Dの物理的な解釈は、E（実質的には物質に適用される場）やP （物質内の双極子による誘導場）ほど明確ではありませんが、マクスウェル方程式は自由電荷と電流の観点から簡略化できるため、便利な数学的簡略化として役立ちます。 $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$$

E場とD場は物質の誘電率εによって関係している。^{[21] [20]}

線形、均質、等方性の材料の場合、 EとD は領域全体で比例して一定であり、位置依存性はありません。 $${\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} )=\varepsilon \mathbf {E} (\mathbf {r} ).}$$

不均質材料の場合、材料全体にわたって位置依存性がある：^[22] $${\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} )=\varepsilon (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$$

異方性材料の場合、EフィールドとDフィールドは平行ではないため、EとD は誘電率テンソル(2 次テンソル場)によって成分形式で関連付けられます。 $${\displaystyle D_{i}=\varepsilon _{ij}E_{j}}$$

非線形媒体の場合、EとD は比例しません。材料は、さまざまな程度の線形性、均質性、等方性を持つことができます。

マクスウェル方程式の形のローレンツ変換に対する不変性は、一様に動く点電荷の電場を導くのに使用できます。実験的証拠によってサポートされているように、粒子の電荷はフレーム不変であると考えられます。^[23]あるいは、一様に動く点電荷の電場は、クーロンの法則によって与えられたソースの静止フレームでテスト電荷が経験する4元力のローレンツ変換から導き出され、ローレンツ力の形で与えられた定義によって電場と磁場が割り当てられます。^[24]ただし、次の式は、クーロンの法則が考慮されるか、対称性の議論を使用してマクスウェル方程式を簡単な方法で解くことができる、粒子の履歴に加速が含まれない場合にのみ適用できます。このように均一に動く点電荷の電場は次のように表されます。^[25] ここで、は点源の電荷、は点源から空間内の点までの位置ベクトル、は観測された荷電粒子の速度と光速の比、はと観測された荷電粒子の速度 の間の角度です。 $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}\mathbf {r} ,}$$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {r} }$

上記の式は、点電荷の非相対論的速度に対するクーロンの法則によって与えられる式に簡約されます。球対称性は、場の計算に速度の方向を指定することで問題の対称性が破れるため満たされません。これを説明するために、移動する電荷の場の線は、共動参照フレームでは等間隔に見える不等間隔の放射状線として表されることがあります。^[23]

特殊相対性理論は局所性の原理を課し、原因と結果は時間的に分離されたイベントであり、因果関係の効力が光速よりも速く伝わらないことを要求する。^[26] マクスウェルの法則は、電磁気的擾乱が光速で伝わることを示す遅延時間で場の一般解が与えられるため、この見解を裏付けるものであることがわかった。マクスウェルの法則の解も提供する進行時間は、非物理的な解として無視されている。

荷電粒子の運動については、例えば、上述の電場を有する移動粒子が突然停止する場合を考えると、そこから離れた点の電場は、静止した電荷に対して古典的に与えられた状態にすぐには戻りません。停止すると、静止点の周囲の場は予想される状態に戻り始め、この効果は光速で外側に伝播しますが、ここから遠く離れた電場線は、想定される移動電荷に向かって放射状を指し続けます。この仮想粒子は、電磁場内の擾乱の伝播範囲の外側には決して出ません。これは、荷電粒子は光速よりも遅い速度に制限されているためであり、この領域でガウスの法則に違反するガウス面を構築することは不可能です。これをサポートするもう1つの技術的な困難は、光速以上の速度で移動する荷電粒子は、もはや固有の遅延時間を持たなくなることです。電場線は連続しているため、光速で外側に移動するこの擾乱の境界で接続する放射の電磁パルスが生成されます。^[27]一般に、加速する点電荷は電磁波を放射しますが、電荷システムでは 非放射加速が可能である。

任意に運動する点電荷の場合、ローレンツゲージ場などのポテンシャル場の光速での伝播は、リエナール・ヴィーヒャートポテンシャルを使用して説明される必要がある。^[28]ポテンシャルはマクスウェル方程式を満たすので、点電荷に対して導出される場もマクスウェル方程式を満たす。電場は次のように表される。^[29] ここで、は点源の電荷、は遅延時間または電場の源の寄与が発生した時間、は粒子の位置ベクトル、は荷電粒子から空間内の点を指す単位ベクトル、は粒子の速度を光速で割った値、 は対応するローレンツ因子である。遅延時間は次の解として与えられる。 $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\mathbf {t} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} _{s}\times {\big (}(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})\times {\dot {{\boldsymbol {\beta }}_{s}}}{\big )}}{c(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t=t_{r}}}$$${\displaystyle q}$${\textstyle {t_{r}}}$${\textstyle {r}_{s}(t)}$${\textstyle {n}_{s}(\mathbf {r} ,t)}$${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)}$${\textstyle \gamma (t)}$${\displaystyle t_{r}=\mathbf {t} -{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|}{c}}}$

および が与えられた場合の解の一意性は、光速よりも遅く運動する荷電粒子に対して有効である。加速する電荷の電磁放射は、ラモアの公式の相対論的補正が得られる電場の加速度依存項によって引き起こされることが知られている。^[29]${\textstyle {t_{r}}}$${\displaystyle \mathbf {t} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle r_{s}(t)}$

マクスウェル方程式には、同じ形式だが遅れ時間ではなく進んだ時間に対する解の別の集合が存在します。これは次の解として与えられます。 ${\textstyle {t_{a}}}$

${\displaystyle t_{a}=\mathbf {t} +{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{a})|}{c}}}$

この物理的解釈は、ある点における電場が将来のある時点での粒子の状態によって支配されることを示しているため、非物理的な解であると考えられ、したがって無視されている。しかし、ファインマン・ホイーラー吸収体理論など、マクスウェル方程式の高度な時間解を探求する理論は存在する。

上記の式は、均一に移動する点電荷の式およびその非相対論的極限と一致していますが、量子力学的効果については補正されていません。

静電平衡状態にある導電面の無限に近い電界は、その点で電荷密度を持ちます。これは、電荷が表面にのみ形成され、無限小スケールの表面が無限の 2D 平面に似ているためです。外部電界がない場合、球状導体は表面に均一な電荷分布を示し、したがって均一な球面分布の電界と同じ電界を持ちます。 ${\displaystyle \sigma }$${\textstyle {\frac {\sigma }{\varepsilon _{0}}}{\hat {\mathbf {x} }}}$

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• パーセル、エドワード、モリン、デイビッド（2013）。電気と磁気（第3版）。ケンブリッジ大学出版局、ニューヨーク。ISBN 978-1-107-01402-2。
• ブラウン、マイケル (2011)。工学と科学のための物理学(第 2 版)。McGraw-Hill、Schaum、ニューヨーク。ISBN 978-0-07-161399-6。

ウィキメディア・コモンズには、電界に関連するメディアがあります。

• 「電気と磁気」における電界、R Nave –ジョージア州立大学ハイパー物理学
• フランク・ウルフスのロチェスター大学での講義、第23章と第24章
• フィールド アーカイブ 2010-05-27 at the Wayback Machine – オンライン教科書の章