ラングランズ計画

数学において、ラングランズ計画は数論と幾何学の関係についての一連の予想である。ロバート・ラングランズ （1967、1970）によって提唱された。代数的数論におけるガロア群を局所体およびアデール上の代数群の保型形式および表現論に関連付けようとするものである。これは数学研究における最大のプロジェクトである。エドワード・フレンケルによって「数学の大統一理論」と表現された。^[1]

非専門家向けの説明:数値とその抽象化の基礎となる構造、およびそれらの基礎となる不変量を分析的手法によって特徴付けるための、一般化され、ある程度統一されたフレームワークの構築。

ラングランズ プログラムは理論的抽象化で構成されており、専門の数学者にとっても難しいものです。基本的に、このプロジェクトの基本補題は、有限体の一般化された基本表現と、それが不変である保型形式への群拡張を結び付けます。これは、その代数の絶対拡張として特定の解析群への同値性によって、高次元積分への抽象化を通じて実現されます。これにより、数体からその代数構造への強力な不変変換の解析関数構成が可能になります。

このような構成の意味は微妙だが、その特定の解決法と一般化は有用である。そのような理論的対象の存在証明の帰結は、事実上あらゆる数体に対する基本構造の圏的写像を構築するための解析的手法を意味する。素数の可能な正確な分布の類似物として、ラングランズ・プログラムは、一般化された代数構造のレベルで不変性を解決するための潜在的に一般的なツールを可能にする。これにより、今度は、その保型関数を通じて算術オブジェクトのある程度統一された分析が可能になる。ラングランズ概念は、数の抽象化の構造化の一般的な分析を可能にする。この説明は、これらの数学的類似物がその基礎を提供しているとはいえ、プログラムの適切な定理の縮小と過剰一般化である。

ラングランズ・プログラムは、既存のアイデア、すなわち、数年前にハリシュ＝チャンドラとゲルファンド(1963) によって定式化されたカスプ形式の哲学、半単純リー群 に関する研究とハリシュ＝チャンドラのアプローチ、そして技術的にはセルバーグら によるトレース公式に基づいて構築されています。

ラングランズの研究で新しいのは、技術的な深さに加えて、数論との関連が提案され、その豊富な組織構造が仮説されたことです (いわゆる関数性)。

ハリシュ＝チャンドラの研究は、1つの半単純（または簡約）リー群に対してできることは、すべてのリー群に対してもできるという原理を利用した。したがって、モジュラー形式の理論におけるGL(2)などの低次元リー群の役割が認識され、後知恵で類体理論におけるGL(1)の役割が認識されると、一般のn > 2 に対するGL( n )についての推測への道が開かれた。

カスプ形式のアイデアはモジュラー曲線上のカスプから生まれましたが、スペクトル理論では「離散スペクトル」として目に見える意味も持ち、アイゼンシュタイン級数の「連続スペクトル」とは対照的でした。放物線部分群の数が増える ため、より大きなリー群ではより技術的になります。

これらすべてのアプローチでは技術的な方法が利用可能であり、その多くは本質的に帰納的であり、レヴィ分解などに基づいていましたが、この分野は依然として要求が厳しいままでした。^[2]

モジュラー形式の観点からは、ヒルベルトモジュラー形式、ジーゲルモジュラー形式、シータ級数などの例が開発されました。

ラングランズ予想は、ラングランズが最初に述べて以来、進化してきました。ラングランズ予想は、予想を述べることができる多くの異なる分野の多くの異なるグループに適用され、各分野には予想のいくつかのバージョンがあります。^[3]いくつかのバージョン^{[どれ？ ]は曖昧であったり、存在が証明されていない}ラングランズ群などのオブジェクトや、複数の非同等な定義を持つ L群に依存したりしています。

ラングランズ予想が述べられる対象:

• 局所体上の簡約群の表現（アルキメデス局所体、p進局所体、関数体の完備化に対応する異なるサブケースを含む）
• 大域体上の簡約群上の保型形式（数体または関数体に対応するサブケースを含む）。
• 有限体の類似物。
• 複素数上の関数体などのより一般的な体。

推測は、密接に関連しているが明らかに同等ではないさまざまな方法で述べることができます。

プログラムの出発点は、エミール・アルティンの相互法則であり、これは二次相互法則を一般化したものである。アルティンの相互法則は、ガロア群がアーベルである代数体のガロア拡大に適用され、このガロア群の 1 次元表現にL関数を割り当て、これらのL関数がヘッケ指標から構成される特定のディリクレL級数またはより一般的な級数 (つまり、リーマン ゼータ関数の特定の類似体)と同一であることを規定する。これらの異なる種類のL関数間の正確な対応が、アルティンの相互法則を構成する。

非可換ガロア群とその高次元表現の場合、L関数は自然な方法で定義できます: Artin L関数。

ラングランズの洞察は、ディリクレのL関数の適切な一般化を見つけることであり、これにより、アルティンの命題をラングランズのより一般的な設定で定式化できるようになります。ヘッケは、以前にディリクレのL関数を保型形式(特定の関数方程式 を満たす複素数平面の上半平面上の正則関数)と関連付けていました。次に、ラングランズはこれを保型尖頭表現に一般化しました。これは、 (有理数)のアデール環上の一般線型群GL( n )の特定の無限次元既約表現です。(この環は、 p進数のすべての完備化を追跡します。) ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

ラングランズはこれらの保型表現に保型L関数を付加し、数体のガロア群の有限次元表現から生じるすべてのアルティンL関数は、保型尖頭表現から生じるものと等しいと予想した。これは彼の相互性予想として知られている。

大まかに言えば、この予想は、簡約群の保型表現と、ラングランズ群からL群への準同型との間の対応関係を与える。ラングランズ群とL群の定義が固定されていない こともあり、この予想にはさまざまなバリエーションがある。

局所体上では、これは局所体上の簡約群の許容既約表現のLパケットのパラメータ化を与えることが期待されます。たとえば、実数上では、この対応は実簡約群の表現のラングランズ分類です。大域体上では、保型形式のパラメータ化を与えるはずです。

関数性予想は、L群の適切な準同型が、自己同型形式 (大域的ケース) または表現 (局所的ケース) 間の対応を与えることが期待されると述べています。大まかに言えば、ラングランズの相互性予想は、簡約群の 1 つが自明である場合の関数性予想の特殊なケースです。

ラングランズは、関数論の考え方を一般化した。つまり、一般線型群 GL( n ) の代わりに、他の連結簡約群を使用できるということである。さらに、そのような群Gが与えられた場合、ラングランズはラングランズ双対群^L G を構築し、Gのすべての保型尖頭表現と^L Gのすべての有限次元表現に対して、L関数を定義した。彼の予想の 1 つは、これらのL関数が、他の既知のL関数の関数方程式を一般化する特定の関数方程式を満たすというものである。

彼は次に、非常に一般的な「関数原理」を定式化します。2 つの簡約群と、対応するL群間の(行儀のよい)射が与えられた場合、この予想は、それらのL関数と互換性のある方法でそれらの自己同型表現を関連付けます。この関数原理の予想は、これまでに提示された他のすべての予想を暗示しています。これは、誘導表現構成の性質を持ちます。これは、より伝統的な自己同型形式の理論では「持ち上げ」と呼ばれていたもので、特殊なケースで知られており、したがって共変です (制限された表現は反変です)。直接構成を指定しようとすると、条件付きの結果しか得られませんでした。

これらの予想はすべて、 の代わりに、より一般的な体、すなわち代数的数体(元々の最も重要なケース)、局所体、関数体 ( F _p ( t )の有限拡大。ここでpは素数で、F _p ( t ) はp個の元を持つ有限体上の有理関数体) に対して定式化できます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ジェラール・ローモンがウラジミール・ドリンフェルドの考えに従って提案した幾何学的ラングランズ計画は、単なる既約表現以上のものを関連付けようとする通常のラングランズ計画の幾何学的再定式化から生まれた。単純なケースでは、代数曲線のエタール基本群のl進表現を、曲線上のベクトル束のモジュライスタック上のl進層の導来カテゴリの対象に関連付ける。

デニス・ゲイツゴリー率いる9人の共同プロジェクトは、ヘッケの固有層を証明の一部として活用した（カテゴリカル、非分岐）幾何学的ラングランズ予想の証明を発表しました。 ^{[4] [5] [6] [7]}

GL(1, K )に対するラングランズ予想は類体理論から導かれ、本質的には類体理論と同等である。

ラングランズは、アルキメデスの局所体（実数）と（複素数）上の群に対するラングランズ予想を、それらの既約表現の ラングランズ分類を与えることによって証明した。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

有限体上のリー型群の既約表現に関するルスティグの分類は、有限体に対するラングランズ予想の類似物と考えることができる。

アンドリュー・ワイルズによる有理数上の半安定楕円曲線のモジュラ性の証明は、楕円曲線から生じるガロア表現をモジュラ形式に関連付けるという主要なアイデアであるため、ラングランズの相互性予想の一例として見ることができます。ワイルズの結果は、多くの異なる方向で大幅に一般化されましたが、 に対する完全なラングランズ予想は未証明のままです。 ${\displaystyle {\text{GL}}(2,\mathbb {Q} )}$

1998 年、ローラン・ラフォルグは、関数体Kの一般線型群 GL( n , K ) に対するラングランズ予想を検証するラフォルグの定理を証明しました。この研究は、 1980 年代に GL(2, K )の場合を証明したドリンフェルドによる以前の研究の続きでした。

2018年、ヴィンセント・ラフォルグは、大域関数体上の連結簡約群の大域ラングランズ対応（保型形式からガロア表現への方向）を確立した。^{[8] [9] [10]}

フィリップ・クツコ （1980）は局所体上の一般線型群GL(2, K )に対する局所ラングランズ予想を証明した。

Gérard Laumon、Michael Rapoport、Ulrich Stuhler (1993) は、正特性局所体Kに対する 一般線型群 GL( n , K ) の局所ラングランズ予想を証明しました。彼らの証明では大域的議論が用いられています。

マイケル・ハリスとリチャード・テイラー(2001) は、特性 0 の局所体Kに対する一般線型群 GL( n , K ) の局所ラングランズ予想を証明しました。ガイ・ヘニアール (2000) は別の証明を与えました。どちらの証明も大域的議論を使用しています。ピーター・ショルツ (2013) は別の証明を与えました。

2008年、ゴ・バオ・チャウは「基本補題」を証明した。これはもともと1983年にラングランズとシェルスタッドによって予想され、ラングランズ計画におけるいくつかの重要な予想の証明に必要とされていた。^{[11] [12]}

素人の読者や数学の専門家でない人にとって、ラングランズ プログラム内の抽象化は、いくぶん理解しがたいものかもしれません。しかし、基本的なラングランズ予想の証明や反証には、強力で明確な意味合いがあります。

このプログラムは解析的数論と代数幾何学の一般化との間に強力なつながりを仮定しているので、数体の抽象代数表現とその解析的素数構成との間の「関数性」という概念は、素数分布の正確な定量化を可能にする強力な関数ツールをもたらします。これにより、ディオファントス方程式の分類や代数関数のさらなる抽象化が可能になります。

さらに、仮定されたオブジェクトに対するそのような一般化された代数の相互性が存在し、それらの解析関数が明確に定義されていることが示されれば、数学におけるいくつかの非常に深い結果が証明できる可能性があります。例としては、楕円曲線の有理解、代数多様体の位相的構成、有名なリーマン予想などがあります。^{[13]そのような証明では、}一般化された解析級数の対象における抽象的な解を利用することが期待され、それぞれが数体の 構造内の不変性に関係しています。

さらに、ラングランズ・プログラムとM 理論の間にはいくつかのつながりが想定されており、その双対性が非自明な方法でつながり、超弦理論における正確な解の可能性を提供している(同様に、怪物的な密造酒を通じて群論でも行われた)。

簡単に言えば、ラングランズ プロジェクトは、解析関数を幾何学的形式に埋め込んだ代数方程式の正確な解の高次の一般化を通じて、数学の最も基本的な領域に触れる、深く強力な解の枠組みを意味します。これにより、多くの離れた数学の分野を強力な解析手法の形式に統合できます。

• ジャケ・ラングランズ対応
• エアランゲンプログラム

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• ロバート・ラングランズの作品