主束のモジュライスタック

代数幾何学において、有限体上の滑らかな射影曲線Xが与えられたとき${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$そして、その上に滑らかなアフィン群スキームG があり、 X上の主束のモジュライスタックは、次のように表される。${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$は、次の式で与えられる代数スタックである。 ^{[ 1 ]}任意の${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$-代数R、

${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)(R)=}$相対曲線上の主G束のカテゴリー${\displaystyle X\times _{\mathbf {F} _{q}}\operatorname {Spec} R}$。

特に、${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$-ポイント${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$つまり、${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})}$は、 X上のGバンドルのカテゴリです。

同様に、${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$曲線X が複素数体上にある場合にも定義できます。大まかに言うと、複素数体の場合、次のように定義できます。${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$X上の正則接続の空間をゲージ群で割った商スタックとして。商スタック (位相空間ではない) をホモトピー商(位相空間である)で置き換えると、ホモトピー型が得られます。${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$。

有限体の場合、ホモトピー型を定義することは一般的ではない。${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$しかし、滑らかなコホモロジーとホモロジーを定義することは依然として可能である。${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$。

知られているように${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$滑らかな次元のスタックです${\displaystyle (g(X)-1)\dim G}$どこ${\displaystyle g(X)}$はXの種数です。有限型ではありませんが、局所的に有限型です。そのため、通常は有限型の開いたサブスタックによる層化を使用します (ハーダー-ナラシムハン層化を参照)。曲線 X 上のパラホリック G については^{[ 2 ]}を、G のみについては X 上の有限型の平坦群スキームを使用します^{[ 3 ]を参照してください。}

Gが分割還元群である場合、連結成分の集合は${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {Bun} _{G}(X))}$基本群と自然な全単射関係にある$\displaystyle \pi _{1}(G)$[ ^{4 ]​}

これは、レフシェッツのトレース公式の（推測的な）バージョンです。${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$Xが有限体上の場合、 1993 年にBehrendによって導入されました。 ^{[ 5 ]}これは次のように述べられています。^{[ 6 ]} Gが半単純連結一般ファイバーを持つ滑らかなアフィン群スキームである場合、

${\displaystyle \#\operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})=q^{\dim \operatorname {Bun} _{G}(X)}\operatorname {tr} (\phi ^{-1}|H^{*}(\operatorname {Bun} _{G}(X);\mathbb {Z} _{l}))}$

ここで（詳細はベーレンドのトレース公式も参照）

• lはpではない素数であり、環${\displaystyle \mathbb {Z} _{l}}$l進整数の は、${\displaystyle \mathbb {C} }$。
• ${\displaystyle \phi }$は幾何学的フロベニウスです。
• ${\displaystyle \#\operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})=\sum _{P}{1 \over \#\operatorname {Aut} (P)}}$、 X上のG バンドルのすべての同型クラスにわたる和であり、収束する。
• ${\displaystyle \operatorname {tr} (\phi ^{-1}|V_{*})=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {tr} (\phi ^{-1}|V_{i})}$次数付きベクトル空間の場合${\displaystyle V_{*}}$ただし、右側の級数が絶対収束する場合に限る。

先験的に、この式の左辺も右辺も収束しない。したがって、この式は両辺が有限の値に収束し、それらの値が一致することを示している。

• Heinloth, Jochen (2010)、「曲線上のベクトル束のモジュライスタックに関する講義」(PDF)、Schmitt, Alexander (編)、Affine flag manifolds and principal bundles、Trends in Mathematics、Basel: Birkhäuser/Springer、pp. 123–153、doi : 10.1007/978-3-0346-0288-4_4、ISBN  978-3-0346-0287-7MR 3013029​ 
• J. Heinloth、AHW Schmitt、「曲線上の主束のモジュライスタックのコホモロジー環」、2010年プレプリント、http://www.uni-essen.de/~hm0002/で入手可能。
• Gaitsgory, Dennis ; Lurie, Jacob (2019), Weil's conjecture for function fields, Vol. 1 (PDF) , Annals of Mathematics Studies, vol.  199, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-18214-8MR 3887650​ 

• C. ソルガー著『代数曲線上の主G束のモジュライに関する講義』

• 幾何学的ラングランズ予想
• 宇宙を走った
• ベクトル束のモジュリスタック