M理論

現代物理学における最も深刻な問題の一つは、量子重力の問題である。現在の重力の理解は、古典物理学の枠組みの中で定式化されたアルベルト・アインシュタインの一般相対性理論に基づいている。しかし、非重力的な力は、確率に基づいて物理現象を記述する根本的に異なる形式である量子力学の枠組みの中で記述される。^{[ a ]}一般相対性理論と量子力学の原理を調和させるためには、重力の量子理論が必要であるが、^{[ b ]}量子理論の通常の処方を重力に適用しようとすると困難が生じる。^{[ c ]}

弦理論は、重力と量子力学を調和させようとする理論的枠組みです。弦理論では、素粒子物理学における点状の粒子は、弦と呼ばれる一次元物体に置き​​換えられます。弦理論は、弦が空間をどのように伝播し、互いにどのように相互作用するかを記述します。弦理論のあるバージョンでは、弦は1種類しか存在せず、それは小さなループや通常の弦の断片のように見え、さまざまな方法で振動することができます。弦のスケールよりも大きな距離スケールでは、弦は通常の粒子とまったく同じように見え、その質量、電荷、その他の特性は弦の振動状態によって決定されます。このようにして、すべての異なる素粒子は振動する弦として見なすことができます。弦の振動状態の1つは、重力を運ぶ量子力学的粒子である重力子を生み出します。 ^{[ d ]}

弦理論にはいくつかのバージョンがあります。タイプ I、タイプ IIA、タイプ IIB、および 2 つのフレーバーのヘテロティック弦理論 (スピン(32)${\displaystyle /\mathbb {Z} _{2}}$およびE ₈ × E ₈ )。異なる理論では異なるタイプの弦が許容され、低エネルギーで発生する粒子は異なる対称性を示します。たとえば、摂動レベルでは、タイプ I 理論には開いた弦 (端点を持つセグメント) と閉じた弦 (閉じたループを形成する) の両方が含まれますが、タイプ IIA と IIB には閉じた弦のみが含まれます。^{[ 2 ]} (非摂動では、これらすべてに開いた弦が存在する可能性があります。) これら 5 つの弦理論はそれぞれ、M 理論の特別な極限ケースとして発生します。この理論は、その弦理論の前身と同様に、重力の量子理論の一例です。それは、量子力学の規則に従う、おなじみの重力のような力を記述します。 ^{[ 3 ]}

日常生活では、高さ、幅、奥行きという3つの馴染みのある空間次元があります。アインシュタインの一般相対性理論では、時間を3つの空間次元と同等の次元として扱います。一般相対性理論では、空間と時間は別々の実体としてモデル化されるのではなく、3つの空間次元と1つの時間次元からなる4次元時空に統一されます。この枠組みでは、重力現象は時空の幾何学の結果とみなされます。^{[ 4 ]}

宇宙は4次元時空でよく記述されるにもかかわらず、物理学者が他の次元の理論を検討する理由はいくつかあります。場合によっては、時空を異なる次元数でモデル化することで、理論が数学的に扱いやすくなり、計算や一般的な洞察をより容易に得ることができます。^{[ e ]}また、2次元または3次元の時空理論が凝縮系物理学の現象を記述するのに役立つ場合もあります。^{[ 5 ]}最後に、実際には4次元を超える時空が存在し、それが検出を免れているシナリオも存在します。^{[ 6 ]}

弦理論とM理論の注目すべき特徴の1つは、これらの理論が数学的な整合性を保つために時空の余剰次元を必要とすることです。弦理論では、時空は10次元（9つの空間次元と1つの時間次元）です。M理論では11次元（10の空間次元と1つの時間次元）である。したがって、これらの理論を用いて実際の物理現象を記述するためには、これらの余剰次元が実験で観測されないシナリオを想像する必要がある。^{[ 7 ]}

コンパクト化は、物理理論における次元数を変更する一つの方法です。^{[ f ]}コンパクト化では、余剰次元の一部が「閉じて」円を形成すると仮定されます。^{[ 8 ]}これらの丸まった次元が非常に小さくなる極限では、時空の次元数が実質的に少なくなる理論が得られます。これに対する標準的な類推として、庭のホースのような多次元物体を考えてみましょう。ホースを十分な距離から見ると、長さという一つの次元しか持たないように見えます。しかし、ホースに近づくと、円周という第二の次元を持っていることがわかります。したがって、ホースの表面を這うアリは二次元で移動することになります。^{[ g ]}

M理論の異なる極限として生じる理論は、非常に非自明な方法で関連していることが判明している。これらの異なる物理理論の間に存在しうる関係の1つはS双対性と呼ばれる。これは、ある理論における強く相互作用する粒子の集合が、場合によっては、全く異なる理論における弱く相互作用する粒子の集合と見なすことができるという関係である。大まかに言えば、粒子の集合は、頻繁に結合と崩壊する場合に強く相互作用し、まれにしか結合と崩壊しない場合に弱く相互作用すると言われる。タイプI弦理論は、 S双対性によって、${\displaystyle \mathrm {スピン} (32)/\mathbb {Z} _{2}}$ヘテロティック弦理論。同様に、タイプIIB弦理論はS双対性によって非自明な方法でそれ自身と関連付けられている。^{[ 10 ]}

異なる弦理論間のもう1つの関係はT双対性です。ここでは、円形の余剰次元の周りを伝播する弦を考えます。T双対性とは、半径Rの円の周りを伝播する弦は、半径1/ Rの円の周りを伝播する弦と等価である、つまり、一方の記述におけるすべての観測可能な量が、双対記述における量と同一視される、ということを意味します。たとえば、弦は円の周りを伝播する際に運動量を持ち、円の周りを1回以上巻きつくこともできます。弦が円の周りを巻きつく回数は巻き数と呼ばれます。ある記述で弦が運動量pと巻き数nを持つ場合、双対記述では運動量nと巻き数pを持ちます。たとえば、タイプIIA弦理論はT双対性によってタイプIIB弦理論と等価であり、ヘテロティック弦理論の2つのバージョンもT双対性によって関連付けられています。^{[ 10 ]}

一般的に、双対性とは、一見異なる2つの物理システムが、非自明な方法で等価であることが判明する状況を指します。2つの理論が双対性によって関連付けられている場合、それは一方の理論を何らかの方法で変換することで、他方の理論とまったく同じように見えることを意味します。この変換の下で、2つの理論は互いに双対であると言われます。言い換えれば、2つの理論は同じ現象の数学的に異なる記述です。^{[ 11 ]}

M理論において重要な役割を果たすもう一つの理論的概念は超対称性である。これは、特定の物理理論において、ボソンと呼ばれる粒子群とフェルミオンと呼ばれる粒子群の間に存在する数学的な関係である。大まかに言えば、フェルミオンは物質の構成要素であり、ボソンは粒子間の相互作用を媒介する。超対称性を持つ理論では、各ボソンにはフェルミオンという対応物があり、その逆もまた然りである。超対称性を局所対称性として課すと、重力を含む量子力学理論が自動的に得られる。このような理論は超重力理論と呼ばれる。^{[ 12 ]}

超対称性の概念を取り入れた弦理論は超弦理論と呼ばれます。超弦理論にはいくつかの異なるバージョンがあり、それらはすべてM理論の枠組みに含まれます。低エネルギーでは、超弦理論は10次元の3つの超重力（タイプI、タイプIIA、タイプIIB超重力として知られる）のいずれかで近似されます。同様に、M理論は低エネルギーでは11次元の超重力で近似されます。^{[ 3 ]}

弦理論や超重力理論などの関連理論において、ブレーンは点粒子の概念を高次元に一般化した物理的対象です。例えば、点粒子は次元ゼロのブレーンと見なすことができ、弦は次元１のブレーンと見なすことができます。さらに高次元のブレーンを考えることも可能です。次元pでは、これらはpブレーンと呼ばれます。ブレーンは量子力学の法則に従って時空を伝播できる動的な対象です。質量や電荷などの他の属性を持つことができます。pブレーンは時空に( p  +  1)次元の体積を掃き出し、これをワールドボリュームと呼びます。物理学者はしばしば、ブレーンのワールドボリューム上に存在する電磁場に類似した場を研究します。ブレーンという言葉は、2 次元ブレーンを指す「膜」という言葉に由来します。^{[ 13 ]}

弦理論では、素粒子を生み出す基本的対象は一次元弦である。M理論によって記述される物理現象はまだ十分に理解されていないが、物理学者たちはこの理論が二次元および五次元のブレーンを記述することを知っている。M理論における現在の研究の多くは、これらのブレーンの特性をよりよく理解することを目的としている。^{[ h ]}

20世紀初頭、アルバート・アインシュタインやヘルマン・ミンコフスキーなどの物理学者や数学者は、物理世界を記述するために4次元幾何学の使用を先駆的に行いました。^{[ 14 ]}これらの努力は、重力を4次元時空の幾何学と関連付けるアインシュタインの一般相対性理論の定式化に結実しました。^{[ 15 ]}

一般相対性理論の成功により、他の力を説明するために高次元幾何学を応用する試みが行われた。1919年、テオドール・カルツァの研究により、5次元時空に移行することで、重力と電磁気を単一の力に統一できることが示された。^{[ 15 ]}この考えは物理学者オスカー・クラインによって改良され、カルツァが提案した追加の次元^は半径約10⁻³⁰cmの円の形をとる可能性があると示唆された。^{[ 16 ]}

カルツァ＝クライン理論と、それに続くアインシュタインによる統一場理論の構築の試みは、完全な成功には至らなかった。その理由の一つは、カルツァ＝クライン理論が、存在が証明されていない粒子（ラジオン）を予測したこと、そしてもう一つは、電子の質量と電荷の比を正しく予測できなかったことである。さらに、これらの理論が開発されていた時期は、他の物理学者たちが量子力学を発見し始めた時期と重なっていた。量子力学は、電磁力などの既知の力や、世紀半ばに発見された新しい核力を説明する上で、最終的に成功を収めることになる。そのため、新しい次元の概念が再び真剣に検討されるようになるまでには、ほぼ50年もの歳月を要した。^{[ 17 ]}

新しい概念と数学的ツールによって一般相対性理論に新たな洞察がもたらされ、1960年代から1970年代にかけて、現在では一般相対性理論の黄金時代として知られる時代が到来した。^{[ 18 ]} 1970年代半ばには、物理​​学者たちは一般相対性理論と超対称性を組み合わせた高次元理論、いわゆる超重力理論の研究を開始した。^{[ 19 ]}

一般相対性理論は、時空の可能な次元に制限を設けていません。この理論は通常4次元で定式化されますが、重力場の同じ方程式を任意の次元数で書き下すことができます。超重力は次元数に上限を設けるため、より制限的です。^{[ 12 ]} 1978年、ヴェルナー・ナームの研究により、一貫性のある超対称理論を定式化できる時空の最大次元は11であることが示されました。^{[ 20 ]}同年、エコール・ノルマル・シュペリウールのウジェーヌ・クレマー、ベルナール・ジュリア、ジョエル・シェルクは、超重力は11次元まで許容するだけでなく、実際にはこの最大次元数で最も優雅であることを示しました。^{[ 21 ] [ 22 ]}

当初、多くの物理学者は、11次元超重力をコンパクト化することで、私たちの4次元世界の現実的なモデルを構築できるのではないかと期待していた。そのようなモデルが、電磁力、強い核力と弱い核力、そして重力という自然界の4つの基本力を統一的に記述してくれると期待されていた。しかし、この計画に様々な欠陥が発見されるにつれ、11次元超重力への関心はすぐに薄れていった。問題の一つは、物理法則が時計回りと反時計回りを区別しているように見えることであり、これはカイラリティとして知られる現象である。エドワード・ウィッテンらは、このカイラリティの性質は11次元からコンパクト化することで容易に導き出せるものではないと指摘した。^{[ 22 ]}

1984年の最初の超弦理論革命では、多くの物理学者が素粒子物理学と量子重力の統一理論として弦理論に注目しました。超重力理論とは異なり、弦理論は標準模型のカイラリティを包含することができ、量子効果と整合する重力理論を提供しました。^{[ 22 ]} 1980年代と1990年代に多くの物理学者が弦理論に惹かれたもう1つの特徴は、その高い独自性でした。通常の素粒子理論では、任意のラグランジアンで古典的挙動が記述される素粒子の任意の集合を考えることができます。弦理論では、可能性ははるかに制限されています。1990年代までに、物理学者は、この理論の整合的な超対称性バージョンは5つしかないと主張していました。^{[ 22 ]}

一貫性のある超弦理論はごく少数しか存在しなかったが、なぜ一貫性のある定式化が一つもないのかは謎のままだった。^{[ 22 ]}しかし、物理学者たちが弦理論をより詳しく調べ始めると、これらの理論が複雑かつ非自明な方法で関連していることに気づいた。^{[ 23 ]}

1970年代後半、クラウス・モントネンとデイビッド・オリーブは、ある物理理論の特別な性質を推測した。^{[ 24 ]}彼らの推測のより精緻なバージョンは、原子核を構成するクォークとグルーオンに形式的に類似した理論粒子を記述する、N = 4超対称ヤン・ミルズ理論と呼ばれる理論に関するものである。この理論の粒子が相互作用する強さは、結合定数と呼ばれる数値で測定される。モントネンとオリーブの結果は、現在モントネン・オリーブ双対性として知られており、結合定数gのN = 4超対称ヤン・ミルズ理論は、結合定数1/ gの同じ理論と等価であると述べている。言い換えれば、強く相互作用する粒子のシステム (大きな結合定数) は、弱く相互作用する粒子のシステム (小さな結合定数) と等価な記述を持ち、その逆もまた同様である^{[ 25 ]}。

1990年代には、複数の理論家がモントネン・オリーブ双対性をS双対性関係に一般化し、異なる弦理論を結びつけた。アショケ・センは、 4次元のヘテロティック弦の文脈でS双対性を研究した。^{[ 26 ] [ 27 ]}クリス・ハルとポール・タウンゼントは、大きな結合定数を持つタイプIIB弦理論が、小さな結合定数を持つ同じ理論とS双対性によって等価であることを示した。^{[ 28 ]}理論家はまた、異なる弦理論がT双対性によって関連付けられる可能性があることも発見した。この双対性は、完全に異なる時空幾何学上で伝播する弦が物理的に等価である可能性があることを意味する。^{[ 29 ]}

弦理論は、ゼロ次元の点粒子を弦と呼ばれる一次元オブジェクトに置き換えることで、通常の素粒子物理学を拡張します。1980年代後半には、粒子を二次元スーパーメンブレンやブレーンと呼ばれるより高次元のオブジェクトに置き換える他の拡張を理論家が定式化しようと試みるのは自然なことでした。このようなオブジェクトは、1962年にはポール・ディラックによって検討されており^{[ 30 ]}、1980年代には少数の熱心な物理学者グループによって再検討されました^{[ 22 ]。}

超対称性は、ブレーンの次元数を厳しく制限します。1987年、エリック・ベルグショフ、エルギン・セズギン、ポール・タウンゼントは、11次元超重力理論には2次元ブレーンが含まれることを示しました。^{[ 31 ]}直感的には、これらの物体は11次元時空を伝播するシートまたは膜のように見えます。この発見の直後、マイケル・ダフ、ポール・ハウ、竹尾稲見、ケロッグ・ステルは、1つの次元が円に巻き上がった11次元超重力理論の特定のコンパクト化を検討しました。^{[ 32 ]}この設定では、膜が円形の次元を包み込んでいる様子を想像できます。円の半径が十分に小さい場合、この膜は10次元時空における弦のように見えます。実際、ダフとその共同研究者は、この構成がタイプIIA超弦理論に現れる弦を正確に再現することを示しました。^{[ 25 ]}

1990年、アンドリュー・ストロミンガーは、 10次元の強く相互作用する弦は、弱く相互作用する5次元ブレーンで同等に記述できる可能性があることを示唆する同様の結果を発表した。^{[ 33 ]}当初、物理学者は2つの重要な理由からこの関係を証明することができなかった。一方では、モントネン・オリーブ双対性がまだ証明されていなかったため、ストロミンガーの予想はさらに根拠が薄弱だった。他方では、5次元ブレーンの量子特性に関連する多くの技術的な問題があった。^{[ 34 ]}これらの問題のうち最初のものは、1993年にアショケ・センが、モントネンとオリーブの研究によって予測された、電気的電荷と磁気的電荷の両方を持つ物体の存在を必要とする特定の物理理論を確立したときに解決された。 ^{[ 35 ]}

このような進歩にもかかわらず、理論家がブレーンを量子化できなかったため、弦と5次元ブレーンの関係は推測の域を出ませんでした。1991年から、マイケル・ダフ、ラムジ・クリ、ジアンシン・ルー、ルーベン・ミナシアンを含む研究者チームは、10次元のうち4次元が巻き上がる弦理論の特別なコンパクト化を検討しました。これらの余剰次元に巻き付いた5次元ブレーンを考えると、ブレーンは1次元弦のように見えます。このようにして、弦とブレーンの間の推測された関係は弦と弦の間の関係に還元され、後者は既に確立された理論的手法を使用して検証できるようになりました。^{[ 29 ]}

1995年に南カリフォルニア大学で開催されたStrings '95で講演した高等研究所のエドワード・ウィッテンは、5つの超弦理論は実際には11次元の時空における単一の理論の異なる極限ケースにすぎないという驚くべき提案をした。ウィッテンの発表は、S双対性とT双対性、および弦理論における2次元および5次元ブレーンの出現に関するこれまでのすべての結果をまとめたものである。^{[ 36 ]}ウィッテンの発表後数ヶ月で、新しい理論が重要な意味で膜に関係していることを確認する数百もの新しい論文がインターネット上に現れた。^{[ 37 ]}今日、この一連の研究は第2次超弦革命として知られている。^{[ 38 ]}

ウィッテン氏の発表に続く重要な進展の一つは、1996年にウィッテン氏が弦理論家のペトル・ホラヴァ氏と行った研究である。^{[ 39 ] [ 40 ]}ウィッテン氏とホラヴァ氏は、2つの10次元境界成分を持つ特殊な時空幾何学上でM理論を研究した。彼らの研究はM理論の数学的構造を明らかにし、M理論を現実世界の物理学に結びつける可能性のある方法を示唆した。^{[ 41 ]}

当初、一部の物理学者はこの新しい理論が膜の基本的な理論であると示唆したが、ウィッテンはこの理論における膜の役割に懐疑的だった。1996年の論文で、ホラヴァとウィッテンは次のように書いている。

11次元理論は超膜理論であると提案されているが、その解釈に疑問を抱く理由がいくつかあるため、ここでは断定せずにM理論と呼び、Mと膜の関係については将来に委ねることにする。^{[ 39 ]}

M理論の真の意味と構造が理解されていないため、ウィッテンは、Mは好みに応じて「魔法」、「神秘」、「膜」のいずれかを表すべきであり、理論のより根本的な定式化が判明したときにタイトルの真の意味が決定されるべきだと提案した。^{[ 1 ]}数年後、彼は「同僚たちはそれが本当に膜を表していることを理解してくれると思っていた。残念ながら、人々を混乱させてしまった」と述べた。^{[ 42 ]}

数学では、行列は数値やその他のデータの長方形配列です。物理学では、行列モデルは、その数学的定式化に重要な形で行列の概念が含まれる特定の種類の物理理論です。行列モデルは、量子力学の枠組みの中で一連の行列の挙動を記述します。^{[ 43 ] [ 44 ]}

行列モデルの重要な例の 1 つは、1997 年にTom Banks、Willy Fischler、Stephen Shenker、Leonard Susskindによって提案されたBFSS 行列モデルです。この理論は、9 つ​​の大きな行列の集合の挙動を記述します。彼らの元の論文では、この行列モデルの低エネルギー極限が 11 次元超重力によって記述されることなどが示されました。これらの計算により、彼らは BFSS 行列モデルが M 理論と完全に等価であると提案しました。したがって、BFSS 行列モデルは、M 理論の正しい定式化のプロトタイプとして、また比較的単純な設定で M 理論の特性を調査するためのツールとして使用できます。^{[ 43 ]}

幾何学では、座標を導入することがしばしば有用です。たとえば、ユークリッド平面の幾何学を研究するために、平面上の任意の点と一対の軸との間の距離として座標xとyを定義します。通常の幾何学では、点の座標は数値であるため、乗算することができ、2 つの座標の積は乗算の順序に依存しません。つまり、xy = yxです。この乗算の性質は交換法則として知られており、幾何学と座標の交換代数との間のこの関係は、現代幾何学の多くの出発点となっています。^{[ 45 ]}

非可換幾何学は、この状況を一般化しようとする数学の一分野です。通常の数を扱う代わりに、行列など、乗算が可換法則を満たさない類似の対象（つまり、xy が必ずしもyxと等しくない対象）を考えます。これらの非可換な対象は、より一般的な「空間」の概念上の座標であると想定し、通常の幾何学との類推を利用して、これらの一般化された空間に関する定理を証明します。^{[ 46 ]}

1998年の論文で、アラン・コンヌ、マイケル・R・ダグラス、アルバート・シュワルツは、行列モデルとM理論のいくつかの側面が非可換量子場理論によって記述されることを示した。非可換量子場理論とは、時空上の座標が可換性を満たさない特殊な物理理論である。^{[ 44 ]}これにより、一方では行列モデルとM理論、他方では非可換幾何学との間に繋がりが確立された。これはすぐに、非可換幾何学とさまざまな物理理論との間の他の重要な繋がりの発見につながった。^{[ 47 ] [ 48 ]}

空間と時間に広がる電磁場などの物理的対象に量子力学を適用することは、量子場理論として知られています。^{[ i ]}素粒子物理学では、量子場理論は、基本場の励起としてモデル化される素粒子の理解の基礎を形成します。量子場理論は、凝縮系物理学全体で準粒子と呼ばれる粒子のような対象をモデル化するためにも使用されます。^{[ j ]}

M理論を定式化し、その性質を研究するアプローチの一つとして、反ド・ジッター/共形場理論（AdS/CFT）対応が挙げられる。 1997年末にJuan Maldacenaによって提案されたAdS/CFT対応は、M理論が場合によっては量子場理論と等価であることを示唆する理論的結果である。^{[ 49 ]} AdS/CFT対応は、弦とM理論の数学的構造に関する洞察を提供するだけでなく、従来の計算手法が効果的でない領域における量子場理論の多くの側面にも光を当ててきた。^{[ 50 ]}

AdS/CFT対応では、時空の幾何学は、アインシュタイン方程式の特定の真空解である反ド・ジッター空間によって記述されます。^{[ 51 ]}ごく基本的な用語で言えば、反ド・ジッター空間は、点間の距離の概念（計量）が通常のユークリッド幾何学における距離の概念と異なる時空の数学モデルです。これは双曲空間と密接に関連しており、左図のように円盤として見ることができます。 ^{[ 52 ]}この図は、三角形と正方形による円盤のテセレーションを示しています。この円盤の点間の距離は、すべての三角形と正方形が同じサイズで、円形の外側境界が内部のどの点からも無限に遠くなるように定義できます。^{[ 53 ]}

ここで、各ディスクが特定の時点における宇宙の状態を表す双曲ディスクの積み重ねを想像してください。結果として得られる幾何学的オブジェクトは、3 次元の反ド・ジッター空間です。 ^{[ 52 ]}これは、任意の断面が双曲ディスクのコピーである中実の円筒のように見えます。この図では、時間は垂直方向に流れます。この円筒の表面は、AdS/CFT 対応において重要な役割を果たします。双曲平面と同様に、反ド・ジッター空間は、内部の任意の点が実際にはこの境界表面から無限に遠く離れているような形で曲がっています。 ^{[ 53 ]}

この構成は、空間次元が2つと時間次元が1つしかない仮想的な宇宙を記述していますが、任意の数の次元に一般化することができます。実際、双曲空間は2つ以上の次元を持つことができ、双曲空間のコピーを「積み重ねる」ことで、反ド・ジッター空間の高次元モデルを得ることができます。^{[ 52 ]}

反ド・ジッター空間の重要な特徴は、その境界（3次元反ド・ジッター空間の場合は円筒のように見える）です。この境界の特性の1つは、任意の点の周りの表面上の小さな領域内では、非重力物理学で使用される時空のモデルであるミンコフスキー空間とまったく同じように見えることです。 ^{[ 54 ]}したがって、「時空」が反ド・ジッター空間の境界によって与えられる補助理論を考えることができます。この観察は、反ド・ジッター空間の境界が量子場理論の「時空」とみなせるというAdS/CFT対応の出発点です。この量子場理論は、一方の理論における実体と計算を他方の理論における対応するものに変換するための「辞書」が存在するという意味で、バルク反ド・ジッター空間上の重力理論と等価であるという主張です。たとえば、重力理論における1つの粒子は、境界理論における粒子の集合に対応する可能性があります。さらに、2つの理論における予測は定量的に同一であるため、重力理論において2つの粒子が衝突する確率が40パーセントであれば、境界理論における対応する集合も衝突する確率が40パーセントとなる。^{[ 55 ]}

AdS/CFT対応の特定の実現の一つは、積空間AdS ₇ × S ⁴上のM理論が、6次元境界上のいわゆる(2,0)理論と等価であると述べている。 ^{[ 49 ]}ここで「(2,0)」は、理論に現れる特定の超対称性を指す。この例では、重力理論の時空は実質的に7次元であり（したがってAdS ₇という表記）、さらに4つの「コンパクト」次元（S ⁴因子によって符号化される）が存在する。現実世界では、時空は少なくとも巨視的には4次元であるため、この対応のバージョンは重力の現実的なモデルを提供しない。同様に、双対理論は6次元の時空を持つ世界を記述するため、現実世界のシステムの有効なモデルではない。^{[ k ]}

それにもかかわらず、(2,0)理論は量子場理論の一般的な性質を研究する上で重要であることが証明されている。実際、この理論は数学的に興味深い多くの有効量子場理論を包含し、これらの理論を関連付ける新しい双対性を示している。例えば、Luis Alday、Davide Gaiotto、Yuji Tachikawaは、この理論を表面上でコンパクト化することで4次元量子場理論が得られ、この理論の物理を表面自体に関連する特定の物理概念に関連付けるAGT対応と呼ばれる双対性があることを示した。 ^{[ 56 ]}最近では、理論家たちはこれらの考えを拡張して、コンパクト化によって3次元に縮小して得られる理論を研究している。^{[ 57 ]}

量子場理論への応用に加えて、(2,0)理論は純粋数学において重要な成果を生み出してきた。例えば、(2,0)理論の存在は、ウィッテンによって、幾何学的ラングランズ対応と呼ばれる数学における予想関係の「物理的」説明を与えるために使用された。^{[ 58 ]}その後の研究で、ウィッテンは、(2,0)理論がホバノフホモロジーと呼ばれる数学の概念を理解するために使用できることを示した。^{[ 59 ]} 2000年頃にミハイル・ホバノフによって開発されたホバノフホモロジーは、結び目のさまざまな形状を研究および分類する数学の分野である結び目理論のツールを提供する。 ^{[ 60 ]}数学における(2,0)理論のもう1つの応用は、物理的なアイデアを使用してハイパーケーラー幾何学で新しい結果を導き出したダヴィデ・ガイオット、グレッグ・ムーア、アンドリュー・ナイツケの研究である。^{[ 61 ]}

AdS/CFT対応の別の実現では、 AdS ₄ × S ⁷上のM理論は、 3次元のABJM理論と呼ばれる量子場理論と等価であるとされています。この対応のバージョンでは、M理論の7つの次元が巻き上げられ、4つの非コンパクトな次元が残ります。私たちの宇宙の時空は4次元であるため、この対応のバージョンは重力のより現実的な記述を提供します。^{[ 62 ]}

この書簡のバージョンに登場する ABJM 理論もさまざまな理由で興味深い。アハロニー、バーグマン、ジャフェリス、マルダセナによって導入されたこの理論は、チャーン・サイモンズ理論と呼ばれる別の量子場理論と密接に関連している。後者の理論は、結び目理論への応用により、1980 年代後半にウィッテンによって普及した。^{[ 63 ]}さらに、ABJM 理論は、凝縮系物理学で発生する問題を解決するための半現実的な単純化モデルとして機能する。^{[ 62 ]}

M理論は、理論的に非常に興味深いアイデアであるだけでなく、一般相対性理論と素粒子物理学の標準模型を組み合わせた現実世界の物理学のモデルを構築するための枠組みを提供する。現象論は、物理学者がより抽象的な理論的アイデアから自然の現実的なモデルを構築する理論物理学の一分野である。弦現象論は、弦とM理論に基づいて素粒子物理学の現実的なモデルを構築しようとする弦理論の一部である。^{[ 64 ]}

一般的に、このようなモデルはコンパクト化の考え方に基づいています。^{[ l ]}弦理論または M 理論の 10 次元または 11 次元の時空から始めて、物理学者は余剰次元の形状を仮定します。この形状を適切に選択することで、既知の粒子の類似物に対する超対称性を持つ追加の未発見粒子とともに、素粒子物理学の標準モデルとおおよそ類似したモデルを構築できます。 ^{[ 65 ]}弦理論から現実的な物理学を導き出す一般的な方法の 1 つは、10 次元のヘテロティック理論から始めて、時空の 6 つの余剰次元が 6 次元のカラビ・ヤウ多様体のような形状をしていると仮定することです。これは、数学者のエウジェニオ・カラビとシン・トン・ヤウにちなんで名付けられた特殊な幾何学的オブジェクトです。^{[ 66 ]}カラビ・ヤウ多様体は、弦理論から現実的な物理学を抽出する多くの方法を提供します。他の同様の方法を使用して、M 理論に基づいて、ある程度私たちの 4 次元世界の物理学に似た物理学を持つモデルを構築できます。^{[ 67 ]}

理論的および数学的な困難さ、そしてこれらの理論を実験的に検証するために必要な極めて高いエネルギー（近い将来に技術的に可能な範囲を超えている）のため、これまでのところ、これらのモデルのいずれかが自然の正しい根本的な記述であると明確に示す実験的証拠は存在しない。このため、コミュニティの一部では、これらの統一へのアプローチを批判し、これらの問題に関する継続的な研究の価値に疑問を呈している。^{[ 68 ]}

M理論の現象論へのアプローチの一つとして、理論家たちはM理論の7つの余剰次元がG ₂多様体のような形をしていると仮定している。これはオックスフォード大学の数学者ドミニク・ジョイスによって構築された特別な種類の7次元形状である。^{[ 69 ]}これらのG ₂多様体は数学的にまだ十分に理解されておらず、この事実が物理学者がこの現象論へのアプローチを完全に発展させることを困難にしている。^{[ 70 ]}

例えば、物理学者や数学者は空間が滑らかさと呼ばれる数学的性質を持つと仮定することが多いが、我々の4次元世界の物理を再現しようとする場合、G ₂多様体の場合にはこの性質を仮定することはできない。もう一つの問題は、 G ₂多様体は複素多様体ではないため、理論家は複素解析として知られる数学の分野のツールを使用できないことである。最後に、 G ₂多様体の存在、一意性、その他の数学的性質については多くの未解決問題があり、数学者はこれらの多様体を体系的に探索する方法を欠いている。^{[ 70 ]}

G ₂多様体の難しさから、M 理論に基づいて現実的な物理理論を構築しようとする試みのほとんどは、11 次元時空をコンパクト化するために、より間接的なアプローチを採用してきた。Witten、Hořava、Burt Ovrutらが開拓したアプローチの 1 つは、ヘテロティック M 理論として知られている。このアプローチでは、M 理論の 11 次元のうちの 1 つが円の形をしていると想定する。この円が非常に小さい場合、時空は実質的に 10 次元になる。次に、10 次元のうち 6 次元がカラビ・ヤウ多様体を形成すると仮定する。このカラビ・ヤウ多様体も小さいと仮定すると、4 次元の理論が得られる。^{[ 70 ]}

ヘテロティックM理論は、観測可能な宇宙が高次元の周囲空間のブレーン上に存在すると考えられるブレーン宇宙論のモデルを構築するために使用されてきた。また、宇宙インフレーション理論に依存しない初期宇宙の代替理論も生み出してきた。^{[ 70 ]}