テンソルの不変量

数学では、多重線型代数と表現論の分野において、第2階テンソルの主な不変量は特性多項式の係数である^[1] ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \ p(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )}$、

ここで、は恒等演算子であり、 は多項式の根との固有値です。 ${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle \lambda _{i}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \p}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

より広く言えば、任意のスカラー値関数は、すべての直交 に対してである場合に限り、の不変量です。つまり、不変量を成分 で表す式は、すべての直交基底に対して同じ結果になります。たとえば、 の個々の対角成分は基底の変化に応じて変化しますが、対角成分の合計は変化しません。 ${\displaystyle f(\mathbf {A} )}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle f(\mathbf {Q} \mathbf {A} \mathbf {Q} ^{T})=f(\mathbf {A} )}$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

主不変量は座標系の回転によって変化しません（主不変量は客観的であり、より現代的な用語では、物質的フレーム無差別原理を満たします）。また、主不変量の任意の関数も客観的です。

工学応用の大半では、固有値 、、および を持つ右コーシー-グリーン変形テンソル などの、次元 3 の (ランク 2) テンソルの主不変量が求められます。ここで、 、、および は主伸縮、つまり の固有値です。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \lambda _{1}^{2}}$${\displaystyle \lambda _{2}^{2}}$${\displaystyle \lambda _{3}^{2}}$${\displaystyle \lambda_{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \lambda _{3}}$${\displaystyle \mathbf {U} ={\sqrt {\mathbf {C} }}}$

このようなテンソルの場合、主な不変量は次のように与えられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )=A_{11}+A_{22}+A_{33}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}\\I_{2}&={\frac {1}{2}}\left((\mathrm {tr} (\mathbf {A} ))^{2}-\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} ^{2}\right)\right)=A_{11}A_{22}+A_{22}A_{33}+A_{11}A_{33}-A_{12}A_{21}-A_{23}A_{32}-A_{13}A_{31}={\frac {1}{2}}\left(\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{1}\lambda _{3}+\lambda _{2}\lambda _{3}\right)\\I_{3}&=\det(\mathbf {A} )=-A_{13}A_{22}A_{31}+A_{12}A_{23}A_{31}+A_{13}A_{21}A_{32}-A_{11}A_{23}A_{32}-A_{12}A_{21}A_{33}+A_{11}A_{22}A_{33}=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\end{aligned}}}$

対称テンソルの場合、これらの定義は簡略化されます。^[2]

テンソルの主不変量と特性多項式との対応は、ケーリー・ハミルトン定理と相まって、次のことを明らかにする。

${\displaystyle \ \mathbf {A} ^{3}-I_{1}\mathbf {A} ^{2}+I_{2}\mathbf {A} -I_{3}\mathbf {I} =0}$

ここで、は2次単位テンソルです。 ${\displaystyle \mathbf {I} }$

上記の主要な不変量に加えて、主不変量の概念を導入することもできる^{[3] [4]}

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}&=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=I_{1}\\J_{2}&=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=I_{1}^{2}-2I_{2}\\J_{3}&=\lambda _{1}^{3}+\lambda _{2}^{3}+\lambda _{3}^{3}=I_{1}^{3}-3I_{1}I_{2}+3I_{3}\end{aligned}}}$

これらは、上記の主不変量の関数です。これらは、偏差 の特性多項式の係数であり、トレースレスです。テンソルを恒等式の倍数である成分とトレースレス成分に分離することは、流体力学では標準であり、前者は等方性と呼ばれ、修正圧力を提供し、後者は偏差と呼ばれ、せん断効果を提供します。 ${\displaystyle \mathbf {A} -(\mathrm {tr} (\mathbf {A} )/3)\mathbf {I} }$

さらに、階数2のテンソルのペア間の混合不変量も定義される。^[4]

これらは、たとえば Faddeev-LeVerrier アルゴリズムを使用して特性多項式を直接評価することによって抽出できます。

3階、4階、さらに高次のテンソルの不変量も決定できる。^[5]

テンソルの主不変量に完全に依存するスカラー関数は客観的であり、すなわち座標系の回転に依存しない。この特性は、等方対称性を有する非線形材料のひずみエネルギー密度、またはヘルムホルツ自由エネルギーの閉形式の表現を定式化する際によく使用される。 ^[6]${\displaystyle f}$

この手法は1940年にハワード・P・ロバートソンによって等方性乱流に初めて導入され、不変原理からカルマン・ハワース方程式を導出することができました。 ^[7]ジョージ・バチェラーとスブラマニアン・チャンドラセカールはこの手法を活用し、軸対称乱流の拡張された処理を開発しました。^{[8] [9] [10]}

3次元の実テンソル（つまり、3x3の成分行列を持つテンソル）には、最大6つの独立した不変量があり、そのうち3つは対称部分の不変量であり、残りの3つは対称部分の主方向に対する歪対称部分の軸ベクトルの向きを特徴づける。例えば、の直交座標成分が ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle [A]={\begin{bmatrix}931&5480&-717\\-5120&1650&1090\\1533&-610&1169\end{bmatrix}},}$

最初のステップは、歪対称部分に関連する 軸ベクトルを評価することである。具体的には、軸ベクトルには次の成分がある。${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{1}&={\frac {A_{32}-A_{23}}{2}}=-850\\w_{2}&={\frac {A_{13}-A_{31}}{2}}=-1125\\w_{3}&={\frac {A_{21}-A_{12}}{2}}=-5300\end{aligned}}}$

次のステップでは、 の対称部分の主値を求めます。実非対称テンソルの固有値は複素数になる場合がありますが、その対称部分の固有値は常に実数であるため、最大から最小の順に並べることができます 。対応する正規直交主基底方向には、軸ベクトルが第 1 八分円内を指すように方向を割り当てることができます。この特殊基底に関して、 の成分は${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle [A']={\begin{bmatrix}1875&-2500&3125\\2500&1250&-3750\\-3125&3750&625\end{bmatrix}},}$

の最初の 3 つの不変量は、この行列の対角成分です: (テンソルの対称部分の順序付けられた主値に等しい)。残りの 3 つの不変量は、この基底における軸ベクトルの成分です: 。注: 軸ベクトル の大きさは、の歪曲部分の唯一の不変量ですが、これら 3 つの異なる不変量は、(ある意味で) の対称部分と歪曲部分の間の「配置」を特徴付けます。ちなみに、テンソルの固有値が正であればテンソルは正定値であるというのは誤解です。そうではなく、対称部分の固有値が正である場合に限り、テンソルは正定値です。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle a_{1}=A'_{11}=1875,a_{2}=A'_{22}=1250,a_{3}=A'_{33}=625}$${\displaystyle w'_{1}=A'_{32}=3750,w'_{2}=A'_{13}=3125,w'_{3}=A'_{21}=2500}$${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} }}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

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