基準の変更

ある基底ベクトル（紫色）の線形結合によって、新しいベクトル（赤色）が生成されます。これらのベクトルが線形独立であれば、新しい基底が形成されます。元の基底と別の基底を関連付ける線形結合は、基底変換と呼ばれる線形変換へと拡張されます。

2つの異なる基点（紫と赤の矢印）で表されるベクトル。

数学では、有限次元nのベクトル空間の順序付き基底によって、ベクトル空間の任意の要素を座標ベクトルで一意に表現できます。座標ベクトルは、座標と呼ばれるn個のスカラーの有限列です。2 つの異なる基底を考慮すると、一方の基底でベクトルvを表す座標ベクトルは、一般に、もう一方の基底でv を表す座標ベクトルとは異なります。基底の変換は、一方の基底に関する座標で表現されたすべての主張を、もう一方の基底に関する座標で表現された主張に変換することです。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

このような変換は、ある基底に関する座標を別の基底に関する座標で表す基底変換公式から得られます。行列を用いると、この公式は次のように書くことができます。

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }=A~\mathbf {x} _{\mathrm {new} },}$

どこ${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }}$そして${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {new} }}$これらは、「古い」（最初に定義された）基底と「新しい」（その他の）基底における同じベクトルの座標の列ベクトルです。${\displaystyle A}$は基底変換行列（遷移行列とも呼ばれる）であり、列が「古い」基底上の「新しい」基底ベクトルの座標である行列です。

基底変換は、座標変換と呼ばれることもありますが、多くの座標変換は含まれません。物理学、特に力学の分野では、基底変換は、物理空間における回転として理解される正規直交基底の変換を伴うことが多く、したがって平行移動は含まれません。

本稿では主に有限次元ベクトル空間を扱うが、ここで提示する原理の多くは無限次元ベクトル空間にも適用可能である。

させて${\displaystyle B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$体F上の有限次元ベクトル空間Vの基底となる。^{[ b ]}

j = 1, ..., nに対して、ベクトルw _{j を}その座標によって定義することができる。${\displaystyle a_{i,j}}$以上${\displaystyle B_{\mathrm {old} }\colon }$

${\displaystyle w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}.}$

させて

${\displaystyle A=\left(a_{i,j}\right)_{i,j}}$

を、j番目の列がw _jの座標によって形成される行列とする。（ここで、そして以下では、添え字iは常にAの行と を指す。）${\displaystyle v_{i},}$インデックスjは常にAの列と${\displaystyle w_{j};}$このような慣例は、明示的な計算における誤りを回避するのに役立つ。）

設定${\displaystyle B_{\mathrm {new} }=(w_{1},\ldots ,w_{n}),}$1つは${\displaystyle B_{\mathrm {new} }}$がVの基底となるのは、行列A が可逆である場合、または同等に、行列式がゼロでない場合である。この場合、Aは基底からの基底変換行列と呼ばれる。${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$基礎へ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }.}$

ベクトルが与えられた場合${\displaystyle u\in V,}$させて${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$座標は${\displaystyle u}$以上${\displaystyle B_{\mathrm {old} },}$そして${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$その座標は${\displaystyle B_{\mathrm {new} };}$それは

${\displaystyle u=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}.}$

（2つの和に対して同じ総和記号を用いることもできますが、古い基底には記号i 、新しい基底には記号jを体系的に選択することで、以降の式がより明確になり、証明や具体的な計算における誤りを回避するのに役立ちます。）

基底変換式は、古い基底上の座標を新しい基底上の座標で表します。上記の表記では、

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.}$

行列の観点から見ると、基底変換の公式は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {x} =A~\mathbf {y} ,}$

どこ${\displaystyle \mathbf {x} }$そして${\displaystyle \mathbf {y} }$は、座標の列ベクトルです。${\displaystyle u}$以上${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$そして${\displaystyle B_{\mathrm {new} },}$それぞれ。（この逆の用語は紛らわしいが、国際的に採用されている。）

証明：上記の基底変換行列の定義を用いると、次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\right)v_{i}.\end{aligned}}}$

として${\displaystyle u=\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i},}$基底変換の公式は、基底上のベクトルの分解が一意であることから導かれる。

ユークリッドベクトル空間を考える$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$そしてその標準基底は、ベクトルから構成される。${\displaystyle v_{1}}$そして${\displaystyle v_{2}}$列ベクトル付き

${\displaystyle \mathbf {v_{1}} ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\quad }$そして${\displaystyle \quad \mathbf {v_{2}} ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$

角度を回転させて${\displaystyle t}$ベクトルによって形成される「新しい」基底を与える${\displaystyle w_{1}}$そして${\displaystyle w_{2}}$列ベクトル付き

$\displaystyle \mathbf {w_{1}} ={\begin{bmatrix}\cos t\\\sin t\end{bmatrix}}\quad }$そして${\displaystyle \quad \mathbf {w_{2}} ={\begin{bmatrix}-\sin t\\\cos t\end{bmatrix}}.}$

したがって、基底変換行列は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}.}$

基底変換の公式は、「古い」座標を持つベクトルに対して、${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$そして「新しい」座標${\displaystyle (y_{1},y_{2}),}$1つは

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.}$

つまり、

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=y_{1}\cos t-y_{2}\sin t\\x_{2}=y_{1}\sin t+y_{2}\cos t.\end{cases}}}$

これは、次のように書くことで示すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}w_{1}+y_{2}w_{2}&=y_{1}{\Big (}(\cos t)~v_{1}+(\sin t)~v_{2}{\Big )}+y_{2}{\Big (}\!-(\sin t)~v_{1}+(\cos t)~v_{2}{\Big )}\\&={\big (}y_{1}\cos t-y_{2}\sin t{\big )}v_{1}+{\big (}y_{1}\sin t+y_{2}\cos t{\big )}v_{2}\\&=x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}.\end{aligned}}}$

通常、行列は線形写像を表し、行列と列ベクトルの積は、対応する線形写像を、その列ベクトルを構成する座標を持つベクトルに適用した関数を表します。基底変換公式は、この一般原理の特殊なケースですが、その定義と証明からはすぐには明らかではありません。

行列が線形写像を表すと言うとき、暗黙のうちに暗黙のベクトル空間の基底と、基底の選択がベクトル空間と行列の間に線形同型を誘導するという事実に言及している。${\displaystyle F^{n}}$ここで、Fはスカラーの基底体です。各ベクトル空間に対して 1 つの基底のみを考慮する場合、この同型性を暗黙のうちに残しておき、同型性へと導いていくのが便利です。ここでは同じベクトル空間の複数の基底を考慮するため、より正確な表現が必要です。

Fを体とし、集合を${\displaystyle F^{n}}$n組のFベクトル空間は、加算とスカラー乗算が成分ごとに定義される。その標準基底は、 i番目の要素が1である以外はすべての成分が0である組を i 番目の要素とする基底である。

基礎${\displaystyle B=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$F-ベクトル空間Vの線形同型を定義する${\displaystyle \varphi \colon F^{n}\to V}$による

${\displaystyle \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}.}$

逆に、このような線形同型は基底を定義し、それは${\displaystyle \varphi }$標準基準の${\displaystyle F^{n}.}$

させて${\displaystyle B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$基準変更の「古い」基準であり、${\displaystyle \varphi _{\mathrm {old} }}$関連する同型性。基底変換（可逆）行列Aが与えられた場合、それを自己同型（全単射自己同型）の行列と考えることができる。${\displaystyle \psi _{A}}$の${\displaystyle F^{n}.}$最後に定義する

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {new} }=\varphi _{\mathrm {old} }\circ \psi _{A}}$

（どこ${\displaystyle \circ }$は関数合成を表し、

${\displaystyle B_{\mathrm {new} }=\varphi _{\mathrm {new} }\left(\varphi _{\mathrm {old} }^{-1}(B_{\mathrm {old} })\right).}$

簡単な検証により、この定義は${\displaystyle B_{\mathrm {new} }}$前のセクションと同じである。

さて、方程式を構成することで${\displaystyle \varphi _{\mathrm {new} }=\varphi _{\mathrm {old} }\circ \psi _{A}}$と${\displaystyle \varphi _{\mathrm {old} }^{-1}}$左側と${\displaystyle \varphi _{\mathrm {new} }^{-1}}$右側には、

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {old} }^{-1}=\psi _{A}\circ \varphi _{\mathrm {new} }^{-1}.}$

したがって、${\displaystyle v\in V,}$1つは

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {old} }^{-1}(v)=\psi _{A}\left(\varphi _{\mathrm {new} }^{-1}(v)\right),}$

これは、座標ではなく線形マップを用いて表現された基底変換の公式である。

ベクトル空間を定義域とする関数は、一般的に、その関数が適用されるベクトルの何らかの基底上の座標を変数とする多変数関数として指定されます。

基底が変更されると、関数の式も変更されます。この変更は、「古い」座標を「新しい」座標で表した式に置き換えることで計算できます。より正確には、f ( x )が「古い」座標で表した関数の式であり、x = Ayが基底変換式である場合、f ( Ay )は「新しい」座標で表した同じ関数の式となります。

基底変換の公式が「古い」座標を「新しい」座標で表すという事実は不自然に思えるかもしれないが、ここでは行列の逆行列計算が不要なため、有用であるように思われる。

基底変換の公式は線形関数のみを含むため、基底変換によって多くの関数特性が保持されます。これにより、これらの特性を、特定の基底とは関係のない変数ベクトルの関数の特性として定義することができます。したがって、定義域がベクトル空間またはその部分集合である関数は

• 線形関数、
• 多項式関数、
• 連続関数、
• 微分可能な関数、
• 滑らかな関数、​
• 解析関数、

ある基底上でそれを表す多変数関数（したがって、すべての基底上でそれを表す多変数関数）が同じ性質を持つ場合。

これは多様体の理論において特に有用であり、連続関数、微分可能関数、滑らか関数、解析関数といった概念を、多様体上で定義された関数に拡張することを可能にする。

n次元ベクトル空間Vからm次元ベクトル空間Wへの線形写像L : V → Wを考える。これは、VとWの「古い」基底上でm × n行列Mによって表される。基底変換は、Vについてはn × n基底変換行列P、Wについてはm × m基底変換行列Qによって定義される。

「新しい」基底では、Lの行列表現は次のようになります。

${\displaystyle M'=Q^{-1}MP.}$

これは、基準変更の公式から当然導かれる結果である。

体F上のベクトル空間V上の双線形形式は関数である${\displaystyle \varPhi \colon V\!\times V\to F}$これは両方の引数に関して線形です。つまり、${\displaystyle \varPhi }$マップが双線形である場合${\displaystyle v\mapsto \varPhi (v,w)}$そして${\displaystyle v\mapsto \varPhi (w,v)}$すべての固定値に対して線形である${\displaystyle w\in V.}$

マトリックス${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$双線形形式の${\displaystyle \varPhi }$基準に基づいて${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$（「古い」基底）は、 i行j列目の要素が次のようになる行列である。${\displaystyle \varPhi (v_{i},v_{j})}$したがって、座標列ベクトルがvとwである2つのベクトルvとwに対して、次の式が成り立つ。

${\displaystyle \varPhi (v,w)=\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\Phi } \mathbf {w} ,}$

どこ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}$は列ベクトルvの転置を表します。

行列Pによる基底変換の場合、簡単な計算により、「新しい」基底上の双線形形式の行列は次のようになることが示される。

${\displaystyle \mathbf {\Phi '} =P^{\mathsf {T}}\mathbf {\Phi } P.}$

対称双線形形式とは、次のような双線形形式Sのことである。${\displaystyle S(v,w)=S(w,v)}$Vのすべてのvとwに対して。したがって、任意の基底上のSの行列は対称行列である。これは、上記の基底変換式によって対称行列であるという性質が維持されなければならないことを意味する。また、行列積の転置は、逆順に計算された転置の積であることに注目することで、これを検証することもできる。したがって、

${\displaystyle (P^{\mathsf {T}}\mathbf {S} P)^{\mathsf {T}}=P^{\mathsf {T}}\mathbf {S} ^{\mathsf {T}}P;}$

最後に、行列Sは対称行列であるため、

${\displaystyle (P^{\mathsf {T}}\mathbf {S} P)^{\mathsf {T}}=P^{\mathsf {T}}\mathbf {S} P.}$

基底体Fの特性が 2 でない場合、すべての対称双線形形式に対して、行列が対角となる基底が存在します。さらに、結果として得られる対角上の非ゼロ要素は、平方数による乗算を除いて定義されます。したがって、基底体が体である場合、${\displaystyle \mathbb {R} }$実数のうち、これらのゼロでない要素は1または-1 のいずれかに選択できます。シルベスターの慣性の法則は、 1と-1の数は双線形形式のみに依存し、基底変換には依存しないと主張する定理です。

実数上の対称双線形形式は、幾何学や物理学、特に二次曲面や剛体の慣性の研究においてよく見られます。このような場合、正規直交基底が特に有用です。つまり、一般的には、直交基底変換行列を持つもの、すなわち、次のような行列を持つものに限定して基底変換を行うことが好まれます。${\displaystyle P^{\mathsf {T}}=P^{-1}.}$このような行列は、対称双線形形式と、同じ対称行列で表される自己準同型写像に対して、基底変換式が同じであるという基本的な性質を持ちます。スペクトル定理は、このような対称行列が与えられた場合、直交基底変換が存在し、その結果得られる行列（双線形形式と自己準同型写像の両方）は、元の行列の固有値を対角成分とする対角行列になると主張します。したがって、実数体上では、自己準同型写像の行列が対称であれば、それは対角化可能であることがわかります。

• 能動的および受動的な変換
• ベクトルの共分散と反分散
• 積分変換は、基底変換の連続的な類似物である。
• チャーグウィン・コールソン重み―計算化学への応用 

• アントン、ハワード（1987）『初等線形代数（第5 版）』ニューヨーク：ワイリー、ISBN 0-471-84819-0
• ボーレガード、レイモンド A.、フレイリー、ジョン B. (1973)『線形代数入門：群、環、体へのオプション入門』ボストン：ホートン・ミフリン社、ISBN 0-395-14017-X
• ネリング、エヴァー・D. (1970)、線形代数と行列理論（第2 版）、ニューヨーク：ワイリー、LCCN 76091646 

• MITオープンコースウェアより、MIT線形代数講座「基底変換」
• カーンアカデミーの「基準の変更」に関する講義（カーンアカデミーより）