多様体分解

数学の一分野である位相幾何学では、多様体Mは、より小さな断片の組み合わせとして記述することで分解または分割することができます。その際、それらの断片が何であるか、そしてそれらがどのように組み合わされてMを形成するかを明確に指定する必要があります。

多様体分解^{[ 1 ]}は2つの方向で機能します。より小さな部分から始めて多様体を構築するか、大きな多様体から始めてそれを分解することができます。後者は多様体を研究する非常に有用な方法であることが証明されています。分解のようなツールがないと、多様体を理解するのは非常に難しい場合があります。特に、3次元多様体の分類の試みや、高次元ポアンカレ予想の証明に役立っています。

以下の表は、さまざまな多様体分解手法をまとめたものです。「 M 」の列は、どのような種類の多様体を分解できるかを示し、「分解方法」の列は、多様体から始めてそれをより小さな断片に分解する方法を示し、「断片」の列は、断片がどのようなものであるかを示し、「それらを組み合わせる方法」の列は、より小さな断片を組み合わせて大きな多様体を作る方法を示しています。