シャスルの定理（運動学）

運動学において、シャレスの定理、あるいはモッツィ・シャレスの定理は、最も一般的な剛体の変位は、ある線（そのねじ軸あるいはモッツィ軸と呼ばれる）に沿った並進運動と、それに続く（あるいは先行する）その線に平行な軸の周りの回転によって生み出されるということを述べています。 ^{[1] [2] [3]}このような並進運動と回転運動の組み合わせは、ねじ変位と呼ばれます。

空間変位が回転と直線の周りおよび直線に沿ったスライドに分解できることの証明は、天文学者で数学者のジュリオ・モッツィ (1763) によるものとされており、実際、ねじ軸はイタリアでは伝統的にアセ・ディ・モッツィと呼ばれています。しかし、ほとんどの教科書は、1830 年に遡るミシェル・シャスルによるその後の同様の研究を参照しています。 ^[4] M. シャスルの同時代人の中には、G. ジョルジーニ、コーシー、ポアンソ、ポアソン、ロドリゲスなど、同じまたは類似の結果を得ている人もいます。ジュリオ・モッツィによる 1763 年の証明とその歴史の一部については、こちらでご覧いただけます。^{[5] [6]}

Mozzi は、剛体が質量の中心を通る軸の周りで回転し、次に任意の方向に D だけ変位する運動をするものとしています。回転軸の存在に関するオイラーの定理により、あらゆる剛体運動をこのようにして実現できます。質量の中心の変位 D は、軸に平行な成分と垂直な成分に分解できます。垂直 (および平行) 成分は剛体のすべての点に作用しますが、Mozzi は、いくつかの点では前の回転がまったく反対の変位で作用したため、それらの点は回転軸に平行に移動することを示しています。これらの点は Mozzi 軸上にあり、ねじれ運動によって剛体運動を実現できます。

モッツィ＝シャスルの定理のもう一つの初歩的な証明は、1904年にETホイッタカーによって与えられました。 ^[7] A をBに変換するとします。ホイッタカーは、回転の軸に平行な直線AK を選択し、 Bからの垂線の足をKとすることを提案しています。適切なねじの変位は、 K がBに移動されるようにAKに平行な軸の周りです。この方法は、回転と平行移動の組み合わせを適切な中心の周りの回転に置き換えることができるユークリッド平面等長変換に対応しています。ホイッタカーの言葉で言えば、「任意の軸の周りの回転は、軸に垂直な方向の単純な平行移動を伴う、それに平行な任意の軸の周りの同じ角度の回転に相当します。」

ねじれ運動から得られる可換な並進運動と回転運動の計算は、 3Dユークリッド空間の幾何代数である3DPGA ( )を使用して実行できます。 ^[8]この計算には、 を満たす、原点を通る直交平面を表す3つのユークリッド基底ベクトルと、を満たす、無限遠平面を表す1つのグラスマン基底ベクトルがあります。原点から の距離にある任意の平面は、となるように正規化された線形結合として形成できます。反射は反射が発生する平面で表すことができるため、2つの平面と の積は二重反射 です。結果はそれらの交差線 の周りの回転ですが、2つの反射が平行である場合は交差線 が無限遠平面上にあることもあり、その場合は二重反射は並進運動になります。 ${\displaystyle \mathbb {R} _{3,0,1}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}^{2}=1}$${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{0}^{2}=0}$${\displaystyle \delta}$$${\displaystyle a=\sum _{i=1}^{3}a^{i}\mathbf {e} _{i}-\delta \mathbf {e} _{0}}$$${\displaystyle a^{2}=1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle a\wedge b}$${\displaystyle ab}$

スクリュー運動は4 つの非共線反射の積であるため、 となります。しかし、モッツィ-シャスルの定理によれば、スクリュー運動は、を満たす並進軸がである可換並進と、を満たす回転軸がである回転に分解できます。2 つの 2 つのバイベクトル線と は直交し、可換です。からと を求めるには、次のように書き出して、結果を段階ごとに検討するだけです。 4 次ベクトル部分と は直接^[9]であることがわかっているため、 したがって となります。したがって、与えられたスクリュー運動に対して、可換並進と回転は上記の 2 つの公式を使用して求めることができます。その後、線と はそれぞれおよびに比例することがわかります。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S=abcd}$$${\displaystyle T=e^{\alpha B_{1}}=1+\alpha B_{1}}$$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle B_{1}^{2}=0}$$${\displaystyle R=e^{\beta B_{2}}=\cos(\beta )+B_{2}\sin(\beta )}$$${\displaystyle B_{2}}$${\displaystyle B_{2}^{2}=-1}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle B_{2}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle {\begin{aligned}S&=TR\\&=e^{\alpha B_{1}}e^{\beta B_{2}}\\&=\underbrace {\cos \beta } _{\text{スカラー}}+\underbrace {\sin \beta B_{2}+\alpha \cos \beta B_{1}} _{\text{バイベクトル}}+\underbrace {\alpha \sin \beta B_{1}B_{2}} _{\text{クアッドベクトル}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \langle S\rangle _{4}=\langle T\rangle _{2}\langle R\rangle _{2}}$${\displaystyle B_{1}^{2}=0}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle T=1+{\frac {\langle S\rangle _{4}}{\langle S\rangle _{2}}}}$$$${\displaystyle R=ST^{-1}=T^{-1}S={\frac {S}{T}}}$$${\displaystyle S}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle B_{2}}$${\displaystyle \langle T\rangle _{2}}$${\displaystyle \langle R\rangle _{2}}$

シャスルの定理は不変分解の特殊なケースです。

ウィキブックの連想合成代数には、ねじの変位に関するページがあります。

• ベンジャミン・パース(1872) 解析力学の体系、III. 回転と並進の複合運動、特に § 32 と § 39、デイビッド・ヴァン・ノストランド& カンパニー、インターネット アーカイブからのリンク